Основные теоремы стереометрии Лобачевского
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ОМСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОУ ВПО «Омский государственный педагогический университет»
КУРСОВАЯ РАБОТА
Основные теоремы стереометрии Лобачевского
Выполнила:
студентка 2 курса
Преподаватель:
2012 г.
Содержание
Введение…………………………………………………………
Глава 1.Теоремы планиметрии……….……………
1.1. Доказательство
теорем планиметрии………………………….…
1.2.Основные теоремы стереометрии…………………….….……………..
Глава 2.Геометрия Лобачевского………………
2.1.Модель геометрии
Евклида на орисфере
2.2.Теоремы синусов
и косинусов сферического
2.3. Связь Евклидовой
и Лобачевской геометрии…………………
Заключение …………………………………………………………………..27
Список литературы…………………………………
Введение
Открытие неевклидовой геометрии, начало которому положил Лобачевский, сыграло огромную роль в развитии новых идей и методов в математике.
Актуальность
данной темы обусловлена тем, что
геометрия Лобачевского многими
нитями связана с евклидовой геометрией,
и её изучение дает возможность шире
и разносторонне
Цель моего исследования
– ознакомиться с некоторыми основными
теоремами геометрии
- изучить литературу по данной теме;
- доказать некоторые основные теоремы стереометрии Лобачевского;
- сформулировать и доказать ряд теорем планиметрии Лобачевского;
4)кратко доказать
основные формулы
Глава 1. Теоремы планиметрии
1.1. Доказательство теорем планиметрии
1. Основным пунктом, откуда начинается разделение геометрии на обычную евклидову и неевклидову, является постулат о параллельных линиях.
В основе обычной геометрии лежит предположение, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, не более одной прямой, не пересекающей данную прямую. Тот факт, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит, по крайней мере, одна непересекающая прямая, относится к «абсолютной геометрии», т.е. может быть доказан без помощи постулата о параллельных линиях. Так, прямая ВВ'( рис.1), проходящая через точку P под прямым углом к перпендикуляру PQ, опущенному на АА', не пересекает прямой АА'; эта прямая в евклидовой геометрии называется параллельной к АА'.
В противоположность постулату Евклида, Лобачевский принимает в основу построения теории параллельных линий следующую аксиому:
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, более одной прямой, не пересекающей данную прямую.
Отсюда непосредственно вытекает существование бесконечного множества прямых, проходящих через одну и ту же точку и не пересекающих данную прямую. В самом деле, пусть прямая СС' не пересекает АА' (рис.1); тогда все прямые, проходящие внутри двух вертикальных углов <ВРС и <В'РС', также не пересекаются с прямой АА'.
2. Исследуем прежде
всего связь постулатов
Теорема 1. Сумма углов треугольника не может быть больше двух прямых.
Доказательство — от противного: предположим, что сумма углов треугольника АВС (рис.2) равна 2d+φ. Пусть <ВАС=α — наименьший угол этого треугольника. Проводим медиану АD противоположной стороны и откладываем отрезок DВ₁, равный этой медиане. Из равенства треугольников АВD и В₁DС выводим, что <DВ₁С=<DАВ, <DСВ₁=<DВА.
Таким образом, в треугольнике АВ₁С сумма трех углов равна также 2d+φ, сумма двух углов с вершинами в конечных точках удвоенной медианы исходного треугольника равна α, а наименьший угол α/2. Из первого выводного треугольника получаем аналогичным построением второй выводной: берем его наименьший угол, проводим медиану противолежащей стороны и т.д. В полученном таким образом втором выводном треугольнике сумма трех углов равна по-прежнему 2d+φ., сумма двух углов с вершинами в конечных точках удвоенной медианы первого выводного треугольника ≤ α/2, а наименьший угол ≤ α/2². Продолжая этот процесс далее, получим ряд выводных треугольников. Теорема доказана.
Теорема 2. Если сумма углов треугольника равна 2d, то имеет место постулат Евклида, если же она меньше 2d, то справедлив постулат Лобачевского.
Имеет место и обратное предложение.
Доказательство. Покажем, что если сумма углов треугольника равна 2d, то через точку P (рис. 3), не лежащую на прямой АА', можно провести прямую, образующую с прямой ВВ' сколь угодно малый угол и пересекающую АА'.
Для этого построим отрезок QQ₁=PQ; тогда <B'PQ₁=d/2. Откладываем отрезок Q₁Q₂=PQ₁; <B'PQ₂=d/2². Затем продолжаем этот процесс: строим отрезки Q₂Q₃=PQ₂, Q₃Q₄=PQ₃, …, Qₓ₋₁Qₓ=PQₓ₋₁. Получаем лучи, образующие с лучом PB' углы d/2³, d/2⁴, … , d/2ⁿ. При увеличении n мы можем получить угол, меньший любого заданного.
Рассмотрим теперь предположение, что сумма углов треугольника меньше 2d. Покажем, что имеются прямые, отличные от ВВ', проходящие через точку Р и не пересекающие АА'.
Соединим некоторую точку М, лежащую на АА', с Р (рис.4) и проведем луч PR так, чтобы <MPR был равен <MPQ. Из предположения о сумме углов треугольника вытекает, что <MPB'> < MPQ, т.е. Луч PR пройдет внутри угла MPB'; этот луч не пересекает АА', так как в противном случае получился бы треугольник, у которого внешний угол QMP равен внутреннему, с ним не смежному.
Таким образом, первая половина теоремы доказана, а из нее вытекает обратное предложение.
При помощи доказанных теорем можно показать, что при формулировке постулатов Евклида и Лобачевского можно ограничится более слабыми требованиями; например, постулат Евклида можно сформулировать так: существуют прямая а и не лежащая на ней точка Р, обладающие тем свойством, что в плоскости, определяемой ими, через точку Р проходит не более одной прямой, не пересекающей а.
3. Перейдем к вопросу о связи постулатов параллельности с вопросом о существовании подобных фигур. Покажем, что существование подобных фигур возможно только в том случае, если справедлив постулат Евклида. Докажем следующую теорему.
Теорема 3. Если существует два подобных треугольника, то справедлив постулат Евклида.
Доказательство. Пусть у треугольников АВС и А'В'С' углы попарно равны: <А=<А', <В=<В', <С=<С', но сторона АВ > А'В'. На стороне АВ отложим отрезок А₁В=А'В' и проведем прямую А₁М под углом ВА₁М=<А (рис. 5). Так как А₁М не может пересекать прямую АС, то она пересечет отрезок ВС в некоторой точке С₁. Так как ∆А₁ВС₁=∆А'В'С', то в четырехугольнике АА₁С₁С сумма углов равна 4d. Разделяя его диагональю на два треугольника, получим, что в каждом из них сумма углов равна 2d, т.е справедлив постулат Евклида.
Таким образом, в геометрии Лобачевского подобных фигур не существует, а это связано с многочисленными осложнениями, которые кажутся странными для каждого, начинающего знакомиться с неевклидовой геометрией. Из отсутствия подобия вытекает, что треугольник вполне определяется своими тремя углами, что отрезок может быть определен при помощи угла.
В геометрии Евклида
для определения отрезка
В геометрии Лобачевского мы имеем более тесную аналогию в вопросах измерения отрезков и углов, чем в евклидовой геометрии ( для углов в обеих геометриях существуют абсолютные единицы меры, например прямой угол, получающийся при помощи геометрического построения независимо от задания тел или иных углов).
Параллельные прямые и их простейшие свойства.
Переходим к доказательству основных теорем о параллельных линиях. Прежде всего Лобачевский доказывает, что прямая, параллельная данной прямой в некоторой своей точке, параллельна ей во всех своих точках.
Теорема 4. Прямая сохраняет признак параллельности во всех своих точках.
Доказательство. Пусть прямая ВВ' параллельна в точке Р прямой АА' (рис.6) в направлении АА'. Рассмотрим точку Q, лежащую от точки Р в сторону параллельности, т.е. По ту же сторону от прямой PR, соединяющей Р с некоторой точкой R на АА', что и луч RA'. Возьмем какой-нибудь луч QQ', проходящий внутри угла B'QR, обращенного своим отверстием в сторону параллельности, и докажем, что он пересекает луч RA'. Для этого соединим какую-нибудь его точку Q' с Р; луч PQ' пересечет RA' в некоторой точке S. Луч QQ', пересекающий сторону PS треугольника RPS, не может пересечь отрезка PR и не проходит ни через одну из вершин этого треугольника. Поэтому он должен пересечь отрезок RS. Таким образом, теорема доказана для того случая, когда точка Q расположена от точки Р в сторону параллельности.
Рассмотрим теперь случай, когда Q лежит в обратном направлении от точки Р (рис.7). Соединим произвольную точку R прямой АА' с Р и Q и рассмотрим луч QQ', проходящий внутри угла B'QR. Этот луч пересечет отрезок PR в некоторой точке S. Продолжая луч QQ' по другую сторону точки Q, берем на этом продолжении точку Т. Прямая ТР проходит внутри угла RPB', т.е. пересекает RA' в точке U. Итак, луч QQ' пересекает сторону RP треугольника RPU, не пересекает отрезка PU и не проходит ни через одну из его вершин, т.е. пересекает отрезок RU. Таким образом, признак параллелизма имеется в точке Q.
После того как доказана эта теорема, можем внести упрощение в терминологию теории параллельных: при указании, что прямая ВВ' параллельна АА', не надо задавать той точки прямой ВВ', в которой имеется факт параллелизма.
В геометрии Евклида две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. В геометрии Лобачевского в такой формулировке теорема уже не имеет места. Но все же, если внести ограничение, требуя, чтобы две прямые были параллельны третьей в одном и том же направлении, соответствующая теорема уже имеет место в геометрии Лобачевского(свойство транзитивности параллелизма). Для доказательства этой теоремы установим предварительно две леммы.
Лемма 1. Если две параллельные прямые лежат по разные стороны третьей прямой, то все три эти прямые параллельны в одном направлении.
Лемма 2. Если две прямые параллельны третьей в одном направлении, то две из этих трех прямых лежат по разные стороны третьей прямой.
На основании этих двух лемм уже очень просто доказать свойство транзитивности параллелизма в геометрии Лобачевского.
Теорема 5. Две прямые, параллельные третьей в одном и том же направлении, параллельны между собой в том же направлении.
Доказательство. 1-й случай. Пусть прямые АА' и ВВ', параллельные прямой СС', лежат по разные стороны этой прямой (рис. 8). Пересекаться АА' и ВВ' не могут, и достаточно рассмотреть критерий угла. Отрезок MN, соединяющий точки, лежащие на АА' и ВВ', пересекает прямую СС' в некоторой точке Р. Рассмотрим луч МQ, проходящий внутри угла A'MP, обращенного своим отверстием в сторону параллелизма прямых АА' и СС'; он пересечет луч РС' в некоторой точке R и своим продолжением пройдет внутри угла C'RN, также обращенного своим отверстием в сторону параллелизма прямых СС' и ВВ', пересечет луч NB'.
2-й случай. Прямые АА' и ВВ', параллельные СС' лежат по одну сторону СС'. На основании леммы 2 среди этих трех прямых существует одна, относительно которой остальные две лежат по разные её стороны; пусть это будет прямая ВВ'. Тогда на основании леммы 1 все три прямые параллельны в одном направлении.
Отметим здесь важный факт, вытекающий из леммы 2: из трех прямых a, b, c, параллельных в одном направлении, можно выделить одну, например а, относительно которой две другие b и с лежат по разные ее стороны. Теорема доказана.
1.2. Основные
теоремы стереометрии
Рассмотрим теоремы, связанные с вопросом о пересечении и параллельности прямых и плоскостей.
Две прямые
пространства могут быть или
скрещивающимися, или лежать в
одной плоскости. В первом
Лемма. Если через две параллельные прямые провести пересекающиеся плоскости, то прямая их пересечения будет параллельна обеим данным прямым в направлении их параллельности.
Доказательство. Пусть СС'- прямая пересечения плоскостей α, β, проходящих через прямые АА', ВВ', соответственно параллельные в направлении АА' (рис.9). Докажем, что прямая СС' параллельна АА' в том же направлении.
Прямые АА' и СС' не пересекаются,
так как в противном случае
через точку пересечения
Теорема 6. Две прямые, параллельные третьей в одном и том же направлении, параллельны между собой в том же направлении.
Доказательство. Рассмотрим общий случай. Пусть прямые АА' и ВВ' параллельны прямой СС' в направлении СС'. Выбрав произвольную точку М на прямой АА', проведем в плоскости МВВ' и МСС'. Прямая их пересечения на основании доказанной выше леммы параллельна СС', т.е. совпадает с АА' и в то же время параллельна ВВ' в том же направлении. Таким образом, АА' параллельна ВВ' в направлении СС'. Теорема доказана.
Теорема 7. Если прямая параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости α, то она параллельна плоскости α.
Доказательство сводится к простому применению вышеприведенной леммы.
Рассмотрим взаимное расположение двух плоскостей в пространстве Лобачевского; мы увидим, что и здесь возможны три случая: пересечение, расхождение и параллелизм.
Покажем, что всегда для двух плоскостей α, β можно построить третью плоскость φ, перпендикулярную к ним обеим. Для этого из точки А плоскости α опустим перпендикуляр АВ на плоскость β (рис. 10).
Если АВ лежит в α, то за φ можно взять любую плоскость, перпендикулярную к прямой пересечения плоскостей α, β. В том случае, когда плоскость α не перпендикулярна к β, из точки В опускаем перпендикуляр ВС на α. При этом опять может представиться частный случай, когда ВС совпадает с АС; как нетрудно видеть, за плоскость φ можно тогда взять любую плоскость, проходящую через АВ. Рассмотрим, наконец, общий случай, когда точки А, В, С различны. Плоскость АВС тогда перпендикулярна как к α, так и к β. Рассмотрим прямые ААʹ и ВВʹ пересечения этой плоскости с α и β. Возможны три случая:
- прямые ААʹ, ВВʹ пересекаются; плоскости α и β-пересекающиеся;
- прямые ААʹ и ВВʹ имеют общий перпендикуляр а-случай расходящихся плоскостей; нетрудно видеть, что α является общим перпендикуляром к плоскостям α и β, определяющим кратчайшее расстояние между ними; во все стороны от этого перпендикуляра плоскости безгранично расходятся;
- прямые ААʹ и ВВʹ параллельны - случай параллельности плоскостей.
Итак, две плоскости называются параллельными, если можно построить третью плоскость, перпендикулярную к ним обеим, которая пересекает их по параллельным прямым.
Две параллельные плоскости не имеют общих точек, так как в противном случае плоскость φ (рис.10) была бы перпендикулярна к прямой их пересечения, т.е. прямые ААʹ, ВВʹ были бы пересекающимися.
Если плоскости α, β параллельны, то каждая плоскость перпендикулярная к ним обеим, пересекает их по параллельным прямым.
Можно сказать, что эти плоскости пересекают каждую из плоскостей α, β по прямым, принадлежащим к пучку 3-го рода.
Теорема 8. Через прямую ААʹ, параллельную плоскости α, можно провести только одну плоскость, параллельную α; все остальные плоскости, проходящие через ААʹ, пересекают плоскость α.
Доказательство. Пусть АВ - перпендикуляр на плоскость α, опущенный из некоторой точки А прямой ААʹ, ВВʹ- проекция прямой ААʹ на плоскость α (рис 11). Плоскость, проходящая через ААʹ перпендикулярно к плоскости ААʹВВʹ, параллельна плоскости α(на рис. 11 эта плоскость не изображена).
Покажем, что любая другая плоскость φ, проходящая через ААʹ, пересечет α. Для этого рассмотрим проекцию АС прямой АВ на плоскость φ. Так как <ВАС<<ВААʹ=П(АВ), то АС пересечет свою проекцию BD на плоскость α, т.е. α и φ- пересекающиеся плоскости.
Эта теорема имеет очень важное значение для построения геометрии Лобачевского; можно сказать, что она до некоторой степени является пространственным аналогом постулата Евклида.
Подобно тому, как в плоскости были построены простейшие кривые, в пространстве Лобачевского могут быть получены простейшие поверхности – сфера, поверхность равных расстояний и предельная поверхность. Путь исследования здесь совершенно аналогичный: вводится понятие соответствующих точек относительно связок прямых и плоскостей того или другого рода.
Мы будем различать три вида связок:
- связка 1-го рода – совокупность прямых и плоскостей, проходящих через одну точку, - центр связки;
- связка 2-го рода – совокупность прямых и плоскостей, перпендикулярных к некоторой плоскости – опорной плоскости связки;
- связка 3-го рода – совокупность прямых и плоскостей, параллельных данной прямой в заданном на нем направлении.
Рассмотрим более подробно предельную поверхность. Прямые и плоскости той связки 3-го рода, при помощи которой построена эта поверхность, называются соответственно ее осями и диаметральными плоскостями. Как было указано выше, диаметральные плоскости пересекают предельную поверхность по предельным линиям. Покажем, что этим свойством обладают только диаметральные плоскости.
Теорема 8. Если недиаметральная плоскость имеет с предельной поверхностью общие точки, то она либо пересекает эту поверхность по окружности, либо касается ее в одной точке.
Доказательство. Пусть плоскость α, не являющаяся диаметральной, имеет с предельной поверхностью общие точки и пусть ООʹ-ось этой поверхности, перпендикулярная к α(точка О лежит в α). Рассмотрим сначала случай, когда точка О не принадлежит предельной поверхности. Обозначим через А точку пересечения оси ООʹ с предельной поверхностью, через В - одну из точек плоскости, принадлежащих предельной поверхности (рис.12), через ВВʹ - ось последней. Так как А и В – соответствующие точки, то <ОʹАВ=<ВʹВА. Рассмотрим точки С и D, лежащие на луче ОВ, причем ОС<ОВ<ОD. Проводя через С и D оси ССʹ и DDʹ, имеем:
<ОʹАС<<О'АВ=<В'ВА<<С'СА,
<О'АD><О'АВ=<В'ВА><D'DА.
Таким образом, на каждом луче в плоскости α с вершиной О лежит одна и только одна точка, соответствующая точке А, - на расстоянии от О, равном ОВ.
Если точка О принадлежит к предельной поверхности, то в плоскости α нет более точек этой поверхности.
Глава 2. Геометрия Лобачевского
2.1. Модель геометрии Евклида на орисфере пространства Лобачевского
Теорема 9. На предельной поверхности имеет место геометрия Евклида.
Доказательство. Для доказательства этой теоремы необходимо установить, что геометрия предельной поверхности подчиняется всем аксиомам евклидовой планиметрии. Взяв какую - нибудь систему аксиом евклидовой геометрии, необходимо проверить применимость к предельной поверхности только плоскостных аксиом, так как линейные аксиомы справедливы для геометрии предельной линии.
Покажем, что две точки предельной поверхности определяют одну и только одну проходящую через них предельную линию на этой поверхности. Две точки, не лежащие на одной оси, определяют единственную диаметральную плоскость, которая пересекает предельную поверхность по предельной линии, проходящей через данные две точки. Единственность предельной линии вытекает из того, что только диаметральные плоскости пересекают предельную поверхность по предельным линиям.
Рассмотрим постулат Паша. Пусть АВС-треугольник на предельной поверхности, MN- предельная линия, не проходящая ни через одну из его вершин и пересекающая дугу АВ в точке Р (рис.13). Проектируя MN осями предельной поверхности на плоскость АВС, получим прямую M'N', пересекающую отрезок АВ и не проходящую через точки А, В, С.
Применяя постулат Паша к этой прямой и плоскому треугольнику АВС, выводим, что эта прямая пересечет или отрезок АС, или отрезок ВС в некоторой точке Q'. Проводя через Q' ось поверхности, получим на соответствующей дуге точку Q, через которую проходит предельная линия MN.
Ограничиваясь относительно 5-й аксиомы конгруэнтности, указанием, что её проверка в геометрии предельной поверхности приводится к простому применению критериев равенства трехгранных углов, перейдем к наиболее интересной для нас аксиоме параллельности.
Пусть Р - точка предельной поверхности, не лежащая на предельной линии MN этой поверхности (рис.14). Проводим через Р ось РР', через MN- диаметральную плоскость α. Применяя к РР' и α теорему 7, выводим, что только одна предельная линия, проходящая через Р, именно та, которая соответствует диаметральной плоскости, проходящей через РР' и параллельной α, не пересекает линию MN. Итак, на предельной поверхности имеет место постулат Евклида. Теорема доказана.
2.2. Теоремы
синусов и косинусов
Наша ближайшая задача — вывести основные формулы сферического треугольника (так называется треугольник на сфере, образованный тремя дугами больших окружностей). Эти формулы выражают основные математические соотношений в треугольниках геометрии Лобачевского.
а) Сначала докажем так называемую теорему косинусов. Предположим, что нам дан сферический треугольник с вершинами А( ), В ( ), С ( ), углами A, В, С и противолежащими сторонами соответственно а, b, с.
Очевидно, эти
стороны связаны с радиус-
(2.1)
Предположим далее, что касательная плоскость к сфере в точке С пересекает радиусы ОА и ОВ в точках и . Эти числовые множители , радиусов векторов точек A1 и B1 определяются совсем просто, если учесть ортогональность векторов , и , Действительно,
, т. е.
.
Отсюда на основании (2.1) следует, что
. (2.2)
Повторяя приведенные рассуждения для другой пары и ортогональных векторов, получим
. (2.3)
Найдем теперь скалярное произведение векторов и . С одной стороны, имеем
, где
Следовательно, на основании (2.2, 2.3) имеем
поэтому
.
С другой стороны,
.
Применяя затем (2.1), (2.2), (2.3), получим
(2.5)
Сравнивая (2.4) и (2.5), заключаем
или . (2.6)
Формула (2.6) не зависит от нашего предположения о точках пересечения А1 и В1. Эта формула выражает теорему косинусов сферического треугольника сферы чисто мнимого радиуса: косинус гиперболической стороны сферического треугольника равен произведению косинусов гиперболических двух других сторон без произведения синусов гиперболических этих же сторон на косинус угла между ними.
б) Переходим теперь к выводу теоремы синусов. Вычислим для этого квадрат отношения . На основании (2.6), имеем:
. (*)
Видим, что числитель правой части является симметричным выражением относительно переменных а, b, с. Нетрудно убедиться, что такой же симметричностью относительно этих переменных обладает и знаменатель. В самом деле:
- Основные теоретические аспекты построения организации: выбор организационной системы, организационные структуры и формы бизнеса
- Основные теоретические аспекты системы риск-предпринимательства
- Основные теоретические аспекты стратегического развития организации
- Основные теоретические модели. Спрос на деньги и их предложения
- Основные теоретические модели. Спрос на деньги и их предложения
- Основные теоретические модели экономического роста
- Основные теоретические положения обьектно-ориентированной методики
- Основные тенденции развития социальной рекламы в России
- Основные тенденции развития страхового рынка в России
- Основные тенденции развития строительной отрасли Дальнего Востока в 60-80 гг. XX в
- Основные тенденции развития телевизионной рекламы
- Основные тенденции совершенствования организации производственного процесса на предприятии торговли
- Основные тенденции современной преступности в России
- Основные тенденций и перспективы в экономике государств – членов ЕАЭС
