Основные теоретические сведения по задачам линейного программирования и теории двойственности

Оглавление

 

Введение. 3

Основные теоретические сведения по задачам линейного программирования и теории двойственности. 6

Постановка задачи. 15

Математическая модель задачи, математическая модель в канонической форме, модель двойственной задачи и модель двойственной задачи с ограничениями в форме равенства. 16

Решение задачи в Excel с помощью надстройки Поиск решения. 19

Заключение. 21

Список использованных источников. 22

Приложение. 23

 

 

  Введение

 

Премию памяти Нобеля по экономике  в 1975 г. получили ”за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов”  Канторович Леонид Витальевич совместно  с Тьяллингом Ч. Купмансом.

Еще в 1938 г. Л.В. Канторович разработал метод распределения ресурсов, (известный  сегодня как метод линейного  программирования Канторовича), произвел максимизацию линейной функции, с учетом большого количества ограничений. Он знал, что максимизация при многочисленных ограничениях – это одна из основных экономических проблем и что  его метод может быть использован  во многих производствах, например, определение  оптимального использования посевных площадей, наиболее эффективного распределения  потоков транспорта и т. д.

По оценкам американских экспертов  около 75% от общего числа применяемых  оптимизационных методов приходится на линейное программирование (ЛП). До четверти машинного времени, затраченного в последние годы на проведение научных  исследований, было отведено решению  задач ЛП и их многочисленных модификаций. Метод линейного программирования в последующие годы нашел широкое  экономическое применение во всем мире.

Формирование исследования операций как самостоятельной научной  дисциплины относится к периоду 40-х и 50-х годов. Последующие полтора  десятилетия были отмечены широким  применением полученных фундаментальных  теоретических результатов к  разнообразным практическим задачам  и связанным с этим переосмыслением  потенциальных возможностей теории. Исследованиями операций в эти годы занимались многие представителями  отечественной научной школы, среди  которых в первую очередь должен быть назван Л. В. Канторович. Среди  других отечественных специалистов, успешно работавших в этой области  должны быть названы Е. С. Вентцель, М. К. Гавурин, Н. Н. Моисеев, Д. Б. Юдин. Важный вклад в данную область внесли такие видные ученые, как Дж. Данциг, Дж. фон Нейман, Г. Кун, Д. Гейл, К. Эрроу, Р. Беллман, Р. Гомори, Т. Саати и др.

В работе “Математические методы организации и планирования производства”, опубликованной в 1939 г., Канторович показал, что все экономические проблемы распределения могут рассматриваться  как проблемы максимизации при многочисленных ограничениях, следовательно, могут  быть решены с помощью линейного  программирования. Он представил экономическую  интерпретацию двойственных оценок и показал, что они, в сущности, представляют собой предельные стоимости  ограничивающих факторов, то есть  они аналогичны повышенной цене каждого из факторов производства в режиме полностью конкурентного рынка.

В миссии торгового флота Купманс  в годы Второй мировой войны разрабатывает  маршруты флотов союзников так, чтобы  снизить до минимума затраты на доставку грузов. Задача была крайне сложной: тысячи торговых судов везли миллионы тонн грузов по морским путям между  сотнями портов, рассеянных по всему  миру. Эта работа предоставила возможность  Купмансу применить свои математические знания к решению фундаментальной  экономической проблемы – оптимальному распределению дефицитных ресурсов между конкурирующими потребителями.

Он разработал аналитическую методику, названную анализом деятельности, которая  решительно изменила подход экономистов  и руководителей к распределению  маршрутов. Впервые он описал эту  методику в 1942 г., назвав ее “Соотношение между грузами на различных маршрутах”, где показал возможность подхода  к проблеме распределения как  к математической проблеме максимизации в пределах ограничений. Величина, подлежащая максимальному увеличению, – это  стоимость доставленного груза, равная сумме стоимостей грузов, доставленных в каждый из портов. Ограничения  были представлены уравнениями, выражающими  отношение количества расходуемых  факторов производства (например, судов, времени, труда) к количеству груза, доставленному в различные места  назначения, где величина любой из затрат не должна превышать имеющуюся  в распоряжении сумму.

При работе над проблемой максимизации Купманс разработал математические уравнения, которые нашли широкое  применение, как в экономической  теории, так и в практике управления. Метод анализа деятельности мог  широко применяться любыми руководителями при планировании процессов производства.

Среди наиболее важных проблем, с которыми сталкиваются промышленные предприятия, можно выделить:

1. Неэффективное использование  производственных мощностей. Обычно  эта проблема - следствие непродуманного  производственного планирования и технического обслуживания.

2. Чрезмерный уровень запасов  сырья и готовой продукции.  Сокращение запасов готовой продукции  достигается в результате повышения  эффективности производственного  планирования и его более тесной  связи со службой маркетинга, ответственной за прогнозирование рынка.

3. Низкое качество продукции  и высокий уровень брака. Эти  проблемы вызваны низкой стабильностью  производственного процесса, т.е.  неспособностью предприятия поддерживать  высокие операционные параметры  в течение длительного времени.

4. В значительной степени уровень  конкурентоспособности промышленных  компаний определяет оптимальное  использование капитальных инвестиций. Опыт успешно развивающихся компаний  показывает, что секрет успеха - в  формировании эффективного инвестиционного  процесса, пронизывающего всю организационную  структуру компании.

5. Каждое промышленное предприятие  состоит из производственных  подразделений - цехов, участков, обслуживающих хозяйств, органов  управления, а также организаций  и учреждений, призванных удовлетворять  нужды работников предприятия  и их семей.

Решению этих проблем во многом может  помочь грамотное использование  экономико-математических оптимизационных  моделей.

Курс по исследованию операций занимает ключевую позицию в образовательных  программах студентов большинства  финансово-экономических специальностей. В процессе его освоения курса  у студента должно сформироваться понимание  принципов, лежащих в основе оптимизационных  подходов в экономике. Они должны познакомиться с основными классами экономико-математических оптимизационных  моделей, формулируемых в рамках этих моделей задач и соответствующих  методах поиска их решений. Все эти  вопросы образуют своеобразный фундамент, необходимый в современных условиях любому квалифицированному специалисту  в области экономики и финансов.

Задачами линейного программирования (ЛП) называются задачи, в которых  линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств или неравенств и для которых  методы математического анализа  оказываются непригодными. ЛП представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К их числу  относятся задачи:

 

• рациональное использование  сырья и материалов;
• задачи оптимизации раскроя;
• оптимизации производственной программы предприятий;
• оптимального размещения и концентрации производства;
• составление оптимального плана перевозок;
• управления производственными запасами;
• многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

 

1. Основные теоретические сведения по задачам линейного программирования и теории двойственности

 

Задачи математического  программирования – это задачи определения  наилучшего решения из множества  возможных.

В общем виде математическая формулировка задачи линейного программирования (ЗЛП) следующая: определить значения переменных , при которых достигается максимум или минимум целевой функции:

F ® max (min) целевая функция:

при условиях

_,

,         _{ограничения}                            

…   

  

 

Функция  называется целевой  функцией, а условия – ограничениями  данной задачи. Запись в ограничениях означает, что возможен один из знаков , = или . В данной задаче n обозначает число переменных, а m - число ограничений.

Переменные задачи х₁, х₂, …, х_n могут иметь различный экономический смысл. Например, если предприятие выпускает три вида продукции, и нужно найти оптимальный план производства, то х₁, х₂, х₃ – количество продукции каждого вида, которое необходимо производить. Если в задаче необходимо найти наилучший состав рациона, в которую могут входить несколько составных компонентов (например, сено и силос в рационе коров), то х₁ и х₂ – количество каждого продукта, которое нужно включить в рацион (в данном случае, сена и силоса).

Целевая функция в математическом виде выражает критерий оптимальности, т.е. служит для выбора  наилучшего решения . Если используется максимизируемый критерий оптимальности (например, прибыль от производства продукции), то целевая функция стремится к максимуму. Если же в качестве критерия оптимальности выступают затраты (например, на кормление коров), то целевая функция стремится к минимуму.

Система ограничений  вытекает из ограниченности материальных, трудовых ресурсов, технологических требований или же из здравого смысла. Например, для задачи планирования производства продукции ограничения вытекают из ограниченности на предприятии  материальных и трудовых ресурсов, используемых для производства этой продукции. Для задачи составления рациона ограничения заключаются в необходимости того, чтобы рацион был полноценным (содержал питательные вещества, витамины и микроэлементы, необходимые для жизнедеятельности коров).

В зависимости от характера  целевой функции f  и функций ограничений _, говорят о различных видах задач математического программирования:

• если целевая функция задачи имеет линейный вид, а ограничения заданы в виде линейных уравнений или неравенств, то это задача линейного программирования. Пример линейного выражения: 5х₁+6х₂.
• если целевая функция и/или ограничения содержат нелинейные функции, то это задача нелинейного программирования. Пример нелинейных функций: х*y, х², , sin x, 1/x и т.д.
• если содержательный смысл требует получения решения в целых числах, то такая задача является задачей целочисленного программирования. Пример: выпуск штучной продукции, назначение работников на работы (нельзя назначить на работу не целое число работников).
• если в задаче математического программирования необходимо учитывать фактор времени, то такая задача является задачей динамического программирования. Обычно решение задач динамического программирования может быть представлено как процесс пошагового принятия решений. На каждом шаге выбирается такое решение, которое не обязательно дает оптимальный результат на этом шаге, но обеспечивает наилучший исход всей операции в целом.

Наиболее разработанными являются методы решения задач линейного  программирования.

В общем виде математическая формулировка задачи линейного программирования (ЗЛП) следующая: найти значения переменных х_i (i = 1, ..., n), при которых достигается максимум (минимум) целевой функции:

F = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + с_nх_n ® max (min)

и выполняются ограничения:

а11х1 + а12х2 + … + а1nхn {£, =, ³} b1; а21х1 + а22х2 + … + а2nхn {£, =, ³} b2; аm1х1 + аm2x2 + … + аmnхn {£, =, ³} bm; xj ³ 0, (i = 1, …, n),

 

где а_ij, b_i, c_j — заданные постоянные величины;

m — число уравнений;

n — число переменных.

 

Запись {£, =, ³} в ограничениях означает, что возможен один из знаков (£, = или ³).

Решение Х = (х_1, х_2, …, х_n), при котором выполняются все ограничения, называется допустимым. Допустимое решение, при котором функция F принимает оптимальное значение (максимум или минимум), называется оптимальным.

 

Оптимальное распределение ресурсов анализ отчетов

 

Рассмотрим задачу планирования производства продукции при ограничениях на ресурсы.

Постановка задачи. Для производства продукции n типов требуются ресурсы m видов. Нормы расхода ресурсов на производство одной единицы продукции каждого типа заданы матрицей {a_ij}, где a_ij — количество ресурса i-го вида, необходимое для производства одной единицы продукции j-го типа. Известно количество ресурсов (b_i, где i = 1, ..., m) каждого вида, которое имеется в наличии у предприятия. Известны также величины прибыли (С_j), которую получит предприятие при реализации одной единицы продукции j-го типа. Требуется найти оптимальный план производства продукции, т. е. количество продукции каждого типа, которое нужно произвести, чтобы получить наибольшую прибыль.

Обозначим через x_j количество продукции j-го типа, которое планируется выпустить (j = 1, ..., n). Тогда математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:

 

Целевая функция задачи представляет собой общую прибыль  от производства всей продукции. Ограничения  выражают условие, при котором потребление  ресурса i-го вида не должно превышать  запаса этого ресурса (b_i). Условия неотрицательности переменных вытекают из смысла переменной x_j: количество продукции не может быть отрицательным.

Канонической называется следующая форма записи ЗЛП:

Чтобы привести к виду равенства  ограничение вида

,

в левую часть неравенства  прибавляют дополнительную переменную:

.

Аналогично, чтобы привести к каноническому виду ограничение  вида

,

из левой части неравенства  вычитают дополнительную переменную:

.

Дополнительные переменные вводятся в целевую функцию с  коэффициентами, равными 0:

.

Таким образом, задача может  быть записана в следующем каноническом виде:

 

Экономический смысл переменных y_i (i = 1, …, m) следующий: это остатки ресурсов каждого вида. Если при оптимальном решении какой-либо ресурс будет использован полностью, то ограничение исходной задачи  будет выполнено в виде равенства, а y_i = 0. Такое ограничение в отчетах Exсel называется связанным.

 

Двойственность в линейном программировании.

С каждой задачей  линейного программирования тесно  связана другая линейная задача, называемая двойственной. Первоначальная задача при этом называется исходной, или  прямой. Связь этих задач заключается, в частности, в том, что решение  одной из них может быть получено непосредственно из решения другой.

Рассмотрим двойственную задачу, связанную с рассматриваемой  нами задачей планирования производства продукции.

 

Исходная задача	Двойственная задача

 

Эта задача составляется по следующим правилам:

Поскольку исходная задача составляется на максимум, то двойственная — на минимум целевой функции.

В исходной задаче ограничения имеют знаки неравенств “£”,

 а в двойственной  — “³”.

Каждому ограничению  исходной задачи соответствует переменная двойственной задачи, а каждой переменной исходной задачи — ограничение двойственной задачи.

Матрица системы  ограничений двойственной задачи является транспонированной матрицей системы  ограничений исходной задачи.

Правые части  ограничений в двойственной задаче равны коэффициентам при переменных в целевой функции исходной задачи.

Коэффициенты  при переменных в целевой функции  двойственной задачи равны правым частям ограничений исходной задачи.

В двойственной задаче, как и в исходной, накладываются  ограничения на неотрицательности  переменных.

 

Экономический смысл двойственной задачи.

 Допустим, что  у предприятия есть возможность  реализации всех ресурсов некоторой  организации вместо того, чтобы  организовывать свое производство. Необходимо установить прикидочные  цены на ресурсы. Обозначим  эти цены как z₁, z₂, …, z_m. Они должны быть установлены исходя из несовпадающих интересов предприятия и покупающей организации.

Предприятие согласно продать ресурсы только по таким  ценам, при которых оно получит  за них выручку, не меньшую той, которую  могло бы получить, организовав собственное  производство.

В отчетах Excel, получаемых с помощью надстройки Поиск решения, оптимальное значение двойственной переменной z_i^* называется теневой ценой, или множителем Лагранжа. Отметим, что теневая цена не есть некоторая реальная цена на рынке. Это лишь оценка значимости ресурса, вытекающая из конкретных условий задачи.

 

1-я теорема двойственности.

Если существует единственное решение исходной задачи, то существует и единственное решение  двойственной задачи, причем значения целевых функций на оптимальных  решениях совпадают:

max F = min F_Д.

Эту теорему можно  интерпретировать так: предприятию  безразлично, производить ли продукцию  по оптимальному плану X^* и получить максимальную прибыль либо продать ресурсы по оптимальным ценам Z^* и получить такую же сумму. Для всех других (неоптимальных) планов X и Z прибыль от выпуска продукции всегда меньше внутренней стоимости затраченных ресурсов. Таким образом, F < F_Д, а величина F_Д – F характеризует производственные потери.

 

Следствие (теорема об оценках).

Двойственная  оценка z_i^* (теневая цена) показывает, как изменится целевая функция исходной задачи при изменении ресурса b_i на одну единицу:

D F = Db_iz_i^*.

Таким образом, по теневым ценам можно судить о  том, насколько целесообразно изыскивать резервы для увеличения количества i-го ресурса: если соответствующая теневая цена равна нулю, то увеличение количества этого ресурса никак не повлияет на рост прибыли. С другой стороны, чем больше теневая цена ресурса, тем больше увеличится прибыль при увеличении количества этого ресурса на одну единицу. Поэтому тот ресурс, который имеет большую теневую цену, считается более дефицитным.

Однако эта  теорема справедлива только тогда, когда при изменении количества ресурса b_i значения переменных z_i^* в оптимальном плане двойственной задачи остаются неизменными. В отчете Excel по устойчивости можно получить границы изменения b_i (Db^– и Db⁺), в пределах которых теневая цена есть коэффициент увеличения (уменьшения) целевой функции исходной задачи при изменении доступного количества ресурсов.

 

 

Понятие нормированной стоимости.

Ограничения двойственной задачи так же, как и исходной, можно привести к виду равенства:

Экономический смысл  дополнительных двойственных переменных v_j следующий: это производственные потери на одну единицу изделия j-го типа.

Если это ограничение  выполняется в виде равенства, то оценка затраченных ресурсов равна  прибыли и потерь нет. В этом случае v_j = 0.

Если же это  ограничение выполняется в виде строгого неравенства, то затраты на производство одной единицы продукции j-го типа больше прибыли, и следовательно производить этот вид продукции невыгодно. Разница между стоимостью ресурсов и прибылью представляет собой производственные потери:

.

В отчетах Excel оптимальное значение дополнительной двойственной переменной v_j^* называется нормированной, или редуцированной, стоимостью.

 

2-я теорема двойственности  (теорема о дополняющей нежесткости).

Оптимальные решения  исходной и двойственной задач связаны  соотношениями

z_i^* × y_i^* = 0;

v_j^* × x_j^* = 0.

 

Эта теорема означает, что между переменными исходной и двойственной задач существует взаимосвязь.

 

Рассмотрим связь y_i^* (остаток ресурса i-го вида) и z_i^*(теневую цену ресурса i-го вида).

Если y_i^* = 0, то i-й ресурс использован полностью. Следовательно, он ограничивает дальнейшее увеличение целевой функции, является дефицитным. При увеличении количества этого ресурса может быть произведено больше продукции, следовательно, возрастет прибыль. Соответствующая теневая цена z_i^* > 0.

Если же y_i^* > 0, то имеется остаток ресурса i-го вида, т. е. ресурс не дефицитен. Увеличение количества этого ресурса не вызовет увеличение прибыли. Соответствующая теневая цена z_i^* = 0.

Рассмотрим связь x_j^* (оптимальный объем производства изделий j-го типа) и v_j^* (производственные потери на одну единицу изделия j-го типа).

Если x_j^* > 0, т. е. j-е изделие вошло в оптимальный план производства, то соответствующие потери для этого изделия составляют0 : v_j^* = 0.

Если же x_j^* = 0, т. е. изделие не вошло в оптимальный план производства, то это произошло потому, что данный вид продукции убыточен, т. е. соответствующие потери v_j^* > 0.

Свойство нормированной  стоимости.

Нормированная стоимость v_j^* показывает, насколько уменьшится целевая функция при принудительном выпуске одной единицы продукции j-го типа.

Пусть, например, продукция k-го вида не вошла в оптимальный план производства, т. е. x_k^* = 0. Однако существует некоторое плановое задание, предписывающее выпуск этого вида продукции в количестве T_k единиц. Тогда при производстве этого невыгодного вида продукции на него будут оттянуты ресурсы, и выгодной продукции будет выпущено меньше. Целевая функция (общая прибыль) уменьшится, причем это уменьшение можно количественно измерить:

D F = T_k × v_k^*.

Следует отметить, что равенство  справедливо только в том случае, когда плановое задание T_k не нарушает номенклатуру остальных выпускаемых изделий, т. е., кроме “принудительно производимого” k-го изделия, ассортимент остальных выпускаемых “выгодных” изделий не изменится, а изменится только их количество. Определить предельную величину T_k, при которой равенство (22) справедливо, можно экспериментально.

Анализ устойчивости оптимального решения.

Основные исходные данные рассматриваемой задачи —  это запасы ресурсов (b_i, где i = 1, ..., m) и величина прибыли на одну единицу выпускаемой продукции (C_j, где j = 1, ..., n). Исследовать устойчивость — значит определить пределы изменения исходных данных, при которых не изменяется решение или же его структура. Отчет Excel по устойчивости дает допустимое увеличение и допустимое уменьшение по целевому коэффициенту C_j, при которых решение задачи, остается прежним. Кроме того, в отчете по устойчивости приведены пределы увеличения и уменьшения правых частей ограничений b_i, при которых прежней остается структура решения. Под неизменностью структуры решения понимается следующее: те ресурсы, которые были дефицитными в исходном решении, остаются дефицитными и в новом оптимальном решении, хотя само решение (количество выпускаемых изделий) и значение целевой функции могут изменяться.

 

2. Постановка задачи

 

В распоряжении фабрики имеется  определенное количество ресурсов: рабочая  сила (80 чел./дней), сырье (480 кг) и оборудование (130 станко/час). Фабрика может выпускать  ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида, и доходах, получаемых предприятием от одного ковра, приведена в таблице. Требуется  найти такой план выпуска продукции, при котором общая стоимость  продукции будет максимальной.

Ресурсы	Нормы расхода ресурсов на единицу  изделия				Наличие ресурсов
	Ковер   “Лужайка”	Ковер “Силуэт”	Ковер “Детский”	Ковер “Дымка”
Труд, чел/дн	7	2	2	6	80
Сырье, кг	5	8	4	3	480
Оборудование,станко/ч	2	4	1	8	130
Цена ед. изделия (тыс.руб.)	3	4	3	1

 В курсовой  работе требуется:

1) Построить математическую модель  задачи определения оптимального  плана выпуска продукции, привести  ее к канонической форме. 

2) Построить математическую модель  двойственной задачи и привести  ее ограничения к виду равенства.

3) Решить исходную задачу с  помощью надстройки MS Excel “Поиск решения” и получить отчеты по устойчивости и по результатам.

4) На основе анализа этих отчетов  выписать оптимальные значения  основных и дополнительных переменных  исходной и двойственной задач  и ответить на вопросы:

1. Каков оптимальный  план выпуска ковров? Какая будет  получена при этом общая стоимость  продукции?

2. Имеется ли остаток какого-либо  ресурса?

3. Как изменится  общая стоимость продукции, если  количество трудовых ресурсов  увеличить на 100 чел/дн (нанять еще  рабочих)? Стоит ли увеличивать  трудовые ресурсы на 200 чел/дн?

4. К чему приведет плановое  задание по выпуску ковров  “Дымка” в количестве 10 шт.?

3. Математические модели исходной и двойственной задач планирования выпуска ковров.

 

Составляя математическую модель задачи, обозначаем количество продукции: Ковер “Лужайка” переменной — х₁, ковер “Силуэт” — х_2, ковер “Детский” — х₃, ковер “Дымка” — х4.

Прибыль от реализации ковров “Лужайка” составляет 3x₁ тыс.руб., ковров “Силуэт” — 4x₂ тыс.руб., ковров “Детский”  — 3x₃ тыс.руб., ковров “Дымка” — x₄ тыс.руб., общая прибыль рассчитывается по функции