Особливі розв’язки диференціальних рівнянь першого порядку

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Одеський національний університет ім.І.І.Мечникова

Інститут математики, економіки  і  механіки

Кафедра диференціальних рівнянь

 

 

 

Курсова робота

На тему  : «Особливі розв’язки диференціальних рівнянь першого порядку»

 

 

                                                       

 

 

 

                                  студентки 2 курсу групи 01

факультету математики

                                                напрямку підготовки математика

Куліш Вікторії Сергіївни

Керівник : доцент,кандидат фіз.-мат. наук Самкова Галина Євгенівна

Содержание

  1. Введение                                                                                                3
  2. Уравнения, разрешенные относительно производной                               

2.1 Основные понятия                                                                                       4

2.2 Признаки особого  решения                                                                         7 

2.3 Примеры                                                                                                       9 

  1. Уравнения, не разрешенные относительно производной

3.1 Основные понятия                                                                                     16

3.2 Общий случай                                                                                             19

3.3 Обыкновенные  и особые решения                                                            31

  1. Литература                                                                                                     44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

  При изучений явлений природы, решении многих задач физики и техники, химии и биологии, других наук не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающими тот или иной эволюционный процесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами (функциями) и скоростями их изменения относительно других (независимых) переменных величин, т.е. найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Эти уравнения называются дифференциальными.

  Как говорил Исаак Ньютон, законы природы записаны на языке дифференциальных уравнений.

  В частности, классическая теория нормальных систем дифференциальных уравнений, опирающаяся на теоремы сущестования и единственности Коши, описывает детерминированные процессы, происходящие в природе, технике и даже в обществе, т. е. такие, для которых состояние изучаемой системы в любой фиксированный момент определяет ее состояние в любой другой момент. Решения, описывающие такие процессы, называются обыкновенными. При нарушении же условий теоремы Коши картина резко меняется. Точка, в любой окрестности которой такое нарушение имеет место, может стать для системы точкой неединственности, точкой ветвления, описываемого системой процесса. Решение системы, каждая точка которого является точкой неединственности, называется особым. Но задача полного интегрирования системы дифференциальных уравнений предполагает нахождение всех ее решений, а потому требует и знания методов отыскания ее особых решений.

 

 

 

1.Уравнения, разрешенные относительно производной

§1. Основные понятия

Рассмотрим дифференциальное уравнение

у’ = f(x,y), f С(G),                                         (1.1.1)

где G ()— область (она называется областью задания уравнения). Решением уравнения (1.1.1) называется любая функция

: I = (, ) →ℝ класса С1 (I), которая, будучи подставлена в уравнение вместо переменной у, обращает его в тождество относительно х : '(x)≡f(х,φ(х)), х I. Здесь I =— открытый, полуоткрытый или замкнутый промежуток оси х,-∞≤α<β≤+∞. График решения φ, т.е. кривая у=φ(х), х I, называется интегральной кривой уравнения.

Основной для уравнения (1.1.1) является следующая начальная задача (задача Коши): задана точка =() G. требуется найти решение φ уравнения, удовлетворяющее условию

φ()=                                        (1.1.2)

Условие (1.1.2) называется начальные условием искомого решения φ. Говорят, что решение задачи Коши (1.1.1), (1.1.2) единственно, если для любых двух ее решений ,x , k= 1,2, существует δ > 0 : , x . При этом точка =() называется точкой единственности для уравнения (1.1.1). Множество G'(⊂G), каждая точка которого есть точка единственности для уравнения (1.1), называется множеством единственности для этого уравнения.

Условия существования () и единственности (!) решения задачи Коши для уравнения (1.1) дают следующие теоремы.

Теорема 1.1 (Коши) Если в уравнении (1.1.1) f и (G), то =() G ! решение задачи Коши (1.1.1),(1.1.2) φ(x), x =[

 Здесь число h определяется следующим образом. Пусть числа а > 0 и b > 0 таковы, что прямоугольник

R = {(x,y) : |x-| ≤ a, |y- ≤ b}

содержится в G,а число М > 0 таково , что |f(x,y)| ≤ М в R. Тогда h = min{a,b /М}. Отрезок (с таким h) называется отрезком Коши задачи (1.1.1), (1.1.2).

При условиях теоремы Коши область G является областью и ! для уравнения (1.1.1).

Пример  1.1.1. Рассмотрим уравнение

У1 = (х)уп+f(x,y),

где п ≥ 0 — целое, Для него область задания G = I ℝ, f, C(G), а потому G — область и !

Теорема 1.1.2 (Пеано) . Если в уравнении (1.1.1) f C(G), то G задача Коши (1.1.1),(1.1.2) имеет хотя 6ы одно решение  , где — ее отрезок Коши.

Решение задачи Коши (1.1.1), (1.1.2) всегда может быть продолжено на максимальный интервал существования . При условиях теоремы Коши такое продолжение единственно, а при условиях теоремы Пеано, вообще говоря, не единственно. Любое максимально продолженное решение называется полным.

Решение уравнения (1.1.1) называется обыкновенным (особым), если каждая его точка есть точка единственности (не единственности) для этого уравнения. 

 Пример 1.1.2. Рассмотрим уравнение

 

Для него область задания G=. По теореме Пеано она является областью существования его решений. По теореме Коши области

G± : ±у > 0 суть области и ! для него. Функция у ≡ 0, ,

— его решение. Решение  не существует. Следователь-

но, для каждой из его точек (, 0) единственность решения задачи

Коши теоремой Коши не гарантируется. В данном случае ее и нет: через  любую точку (, 0), кроме решения у = 0, х , проходит еще, например, решение у = (x-)3, х , данного уравнения, причем > 0 эти решения различны в -окрестности точки . Таким образом, решение у = 0, х , данного уравнения удовлетворяет определению особого решения и, следовательно, является таковым.

Семейство функций (кривых)

                                       (1.1.3)

D = {(x, С), С Г = () ⊂ ℝ, x 1С = }, называется общим решением уравнения (1.1.1) на множестве G' ⊂ G, если

1) уравнение имеет решение и притом только одно,

2)функция у , x , есть решение уравнения (1.1.1).

На геометрическом языке  это означает следующее:

1') через каждую точку G' проходит кривая семейства (1.1.3) и притом только одна,

2') эта кривая является  интегральной кривой уравнения  (1.1.1).

Решение у , x уравнения (1.1.1), получающееся из его общего решения (1.3) при частном значении Со параметра С, называется частным решением (по отношению к общему решению (1.1.3)). Кроме решений семейства (1.1.3), уравнение (1.1.1) может иметь в G' решения, не входящие в это семейство. Более того, если G' ≠ G, то оно имеет также решения в G \ G'. Процесс нахождения всех решений уравнения (1.1.1) называется интегрированием последнего.

Пусть задано семейство дифференцируемых кривых (1.1.3). Пусть эти кривые покрывают множество G' плоскости х, у. Пусть кривая L : у = (х), ψ также лежит в G'. Кривая L называется огибающей семейства кривых (1.1.3), если

 б) 

2)   на любом интервале изменения (т.е. никакая собственная часть кривой J не лежит на какой-либо фиксированной кривой семейства (1.3)).

    Пример 1.1.3. Семейство кривых : у = (х — С)2,(х,С) , заполняет полуплоскость у ≥ 0 плоскости х, у. Линия у = 0, х, — огибающая этого семейства кривых.

§ 2. Признаки особого  решения

Теорема 1.2.1 (о решении, для которого не выполняется условие единственности Коши). Пусть L : у = ψ(х). J, — интегральная кривая уравнения (1.1) и область (⊂ G) такая, что a) L ⊂ или б) L ⊂ . Пусть G' = в случае а), G' = L в случае 6} и уравнение (1.1) имеет ка множестве G' общее решение (1.1.3). Пусть (G'), кроме точек кривой L.

А. Если решение уравнения (1.1.1) у =ψ(х), х J, — частное по отношению к общему решению (1.1.3), то оно является обыкновенным решением уравнения (1.1.1), рассматриваемого на множестве G'.

Б. Если решение ψ(х), х J, (равно как и его сужение на любой промежугюк J' ⊂ J) не является частным по отношению к (1.1.3), то оно является особым решением уравнения (1.1.1).

Доказательство. А. Будем рассматривать уравнение (1.1.1) па множестве G'. По определению общего решения интегральные кривые семейства (1.3) покрывают G' со свойством единственности. При условиях утверждения А теоремы кривая L — одна из них. По теореме Коши G'\L — множество единственности для уравнения (1.1.1), а потому в нем нет интегральных кривых уравнения (1.1.1), отличных от кривых семейства (1-3). Следовательно, G' — множество единственности для уравнения (1.1), рассматриваемого на G'. В частности, каждая точка (х, ψ(х)) есть точка единственности для (1.1.1), а потому у=ψ(х), х J, — обыкновенное решение этого уравнения.

Б. При условиях утверждения Б теоремы J через точку (хо,ψ(хо)) L проходят, по крайней мере, следующие два решения уравнения (1.1.1): решение у=ψ(х) и некоторое частное решение семейства (1.1.3), причем они различны: А это и означает, что у = ψ(х), х , — особое решение уравнения (1.1.1).

Теорема 1.2.2 (второй достаточный признак особого решения) . Пусть (1.1.3) есть общее решение уравнения (1.1.1) на множестве . Если кривая L : у = ψ(х), х , есть огибающая семейства кривых (1.3), то функция ψ(х), х , — особое решение уравнения (1.1.1).

Доказательство. Согласно п. 1) определения огибающей  б) 

Следовательно, φ(х), х, — решение уравнения (1.1.1). Согласно п. 2) определения огибающей никакая ее собственная часть L' не лежит на фиксированной кривой Lс семейства (1.1.3). Следовательно, через любую точку проходят, по крайней мере, два различных решения уравнения (1.1.1): у = ψ(х) и у= .А это и означает, что ψ(х), х, — особое решение уравнения (1.1.1). □

Замечание 1.2.1. Условия утверждения Б теоремы 1.2.1 и условия теоремы 1.2.2 фактически тождественны, но высказаны разными словами.

Таким образом, мы получаем два способа выявления особых решений уравнения (1.1.1).

Первый способ (способ 1) опирается на теорему 1.2.1 а позволяет проверить на особенность любое решение уравнения (1.1.1) у = ψ(х), х , на котором не выполняются условия теоремы Коши. Для этого достаточно построить общее решение (1.1.3) уравнения (1.1.1) на множестве , содержащем в себе кривую L : у = ψ(х), х , и применить теорему 1.2.1.

Второй способ (способ 2) опирается на теорему 1.2.2 и сводит задачу о существовании и нахождении особого решения уравнения (1.1.1), расположенного в множестве , на котором действует его общее решение (1.1.3), к аналогичной задаче об огибающей семейства кривых (1.1.3).

Путь к решению последней  задачи указывает следующая теорема.

Теорема 1.2.3 (первый достаточный признак огибающей). Пусть семейство кривых (1.3), где φ покрывает множество G. Если уравнение

                                      

имеет решение С = С(х), х  J, класса С1, причем (х,С(x)) D J, С'(х)≢ 0 на любом интервале J' ⊂ J, то линия L : у = ψ(х) ≡φ(x,C(x)), х J, является огибающей семейства кривых (1.1.3).

Доказательство. Из условий  теоремы следует, что 1) J

а) ψ(х0) = φ(х0,С(х0)),

б)ψ'(х0) =( С(х0)) + (,С())С'() = С(х0)),

2) С(хо)≢const на любом интервале J' ⊂ J изменения . А это и означает согласно определению огибающей, что у = ψ(х)≡φ(x,C(x)), x J, — огибающая семейства кривых (1.3). □

§ 3. Примеры

Пример 1.3.1. Рассмотрим снова уравнение

                                          (1.3.1)

уже показали, что для  него решение у = 0, х, — особое, ибо удовлстворяет определению особого решения. Покажем, что в этом можно убедиться также способами 1 и 2.

Способ 1. Общее решение  уравнения (3.1) в области С = ℝ2 имеет вид у = (х — С)3, (x, С) 2. Решение у≡ 0, х (равно как и его сужение на любой промежуток J ⊂ ℝ), не получается из общего ни при каком фиксированном значении параметра С. Следовательно (по теореме 1.2.1, п. Б), у = 0, х , — особое решение уравнения (1.3.1).

Способ 2. Для уравнения (1.3.1) и указанного его общего решения уравнение (1.2.1)принимает вид: 3(х -С)2=0.Оно имеет решение С =С(х)≡ х класса (ℝ), С'(x) ≡1≠ 0 в ℝ. Следовательно (по теореме 2.3), линия у=3(х-С(х))2≡0, х , есть огибающая семейства кривых у=(х — С)3. Из этого (по теореме 1.2.2) следует, что функция у = 0, х , — особое решение уравнения (1.3.1),

Пример 1.3.2. Рассмотрим уравнение

≡f(x,y).                                                   (1.3.2)

Здесь, как и в уравнении (1.3.1), функция f непрерывна в области G=, - непрерывна в ℝ2 \ L, L : у = 0, х, —- решение.

Следовательно, и для этого  уравнения области G± : ± y>0 суть области и !, а решение у=0, х , может быть как особым, так и обыкновенным. Покажем, что для пего реализуется первая из этих возможностей.

Способ 1. Интегрируя уравнение  в полуплоскости: у≥0, получаем его общее решение на множестве = \ ( : у≡ 1, х ) в виде

    y= ≡φ(x,C), (x,C) (1.3.3)

Линия L : у = 0, х , лежит в , но не может быть получена из (1.3.3) ни при каком значении постоянной С (равно как и любая ее собственная часть). Следовательно (по теореме 1.2.1, п.Б), у=0,  x особое решение уравнения (1.3.2). Отметим, что интегральная прямая : у≡1, х также не получается из (1.3.3) ни при каком значении С . Но и, следовательно, является обыкновенной интегральной кривой. А из (1.3.3) она не может быть получена ни при каком значении С лишь потому, что не лежит в , Она получается при С = 0 из общего решения уравнения (1.3.2)      y=

действующего на множестве где , т.е. при x≠0, y=0 при x=0.

Способ 2. Будем рассматривать  общее решение (1.3.3) уравнения (1.3.2) в полосе : 0 ≤ у < 1, т.е. будем считать, что в (1.3.3) (х,С):C , х ≥ С. В области х > С ехр{-} /(x-С)2 существует, непрерывна и стремится к нулю при х → С. (С,С) . Во всей области D ). Следовательно, φ ,причем лишь при С = х. Но при С = х формула (1.3.3) дает: у = 0, х , По теореме 1.2.3 эта линия — огибающая семейства кривых (1.3.3). По теореме 1.2.2 функция у≡0, х , — особое решение уравнения (1.3.2).

Пример 1.3.3. Рассмотрим уравнение

≡f(x,y).

Здесь также f , — интегральная кривая, которая может претендовать на статус особой. Но уравнение (1.3.4) имеет на плоскости ℝ2 общее решение

                         (1.3.5) 

из которого при С=0 получается решение у = 0, х . Следовательно (по теореме 1.2.1, п. А), оно является обыкновенным решением уравнения (1.3.4).

Пример 1.3.4. Рассмотрим уравнение

 

Здесь также f ,-единственная интегральная кривая, которая может быть особой. Уравнение (1.3.6) в полуплоскости : у ≥ 0 имеет общее решение (1.3.3), а в полуплоскости: у ≤ 0 — общее решение (1.3.5) (со знаком "—" перед экспонентой при С > 0), Применяя к этим общим решениям уравнения (1.3.6) теорему 2.1, находим из (1.3.3), что у≡ 0, х, — особое решение уравнения (1.3.6), а из (1.3.5), что у≡0, х , — обыкновенное решение уравнения (1.3.6), рассматриваемого в Следовательно, для уравнения (1.3.6), рассматриваемого во всей области задания ℝ2, y≡0, х , — особое решение.

 4. Частный случай

Рассмотрим уравнение

                                   у' = f(у), f (c,d) ⊂ℝ                           (1.4.1)

Его область задания G = ℝ х (с, d). Допустим сначала, что f(y)≠0 в (с, d). Тогда любое решение уравнения (1.4.1) у=φ(х), х I, монотонно, а его обратная функция х = ψ(у), у J = φ(I), является решением уравнения

x' = g(y)=1/f(y).                                          (1.4.1')

Для (4.1') по теореме Коши (с, d) х ℝ — область единственности для (1.4.1) G — область единственности, любое его решение — обыкновенное.

Допустим теперь, что (с, d) : f() = 0, f(y)≠ 0 в (с, d) при у≠. Тогда у=, х , — решение уравнения (1.4.1). Исследуем его на "обыкновенность-особенность". Для этого будем рассматривать уравнение (1.4.1) в полосе , считая, что f(у) > 0 в (с, ).

Теорема 1.4.1 . Пусть у0 ∊ (c,). Если несобственный интеграл

  расходится (сходится) , то y= x ∊ ℝ, обыкновенное

(особое) решение уравнения (1.4.1), рассматриваемого в полосе ,

Доказательство. Пусть () ∊ — произвольная точка, : у = х ∊ I = (), — полная (относительно области ) интегральная кривая уравнения (1.4.1).

Она представима также  в виде

. (1.4.2)

Если интеграл расходится, т.е. при у →   х=(у) → +∞, то решение (1.4.2) уравнения (1.4.1') не прoдолжимо на промежуток (с,] и, следовательно, ни одно решение уравнения (1.4.1) не выходит из полосы на прямую y=, а потому у=, x ∊ ℝ, — обыкновенное решение уравнения (1.4.1), рассматриваемого в

Пусть интеграл сходится: = т ∊ ℝ. Тогда при    решение его можно продолжить на промежуток (α,β], для чего достаточно положить ,  . Этим условиям удовлетворяет и решение у, х ∊ ℝ. Следовательно, (β,) — точка неединственности для (1.4.1). Но -произвольно ⇒ β=— произвольно ⇒ любая точка (β,) решения y=, х ∊ ℝ  - точка неединственности для (1.4.1) => это решение — особое. □

Замечание. Случай, когда f(у) < 0 в (с, ) сводится к рассматриваемому в теореме 4.1 заменой в уравнении (4.1) х на —х, а случай, когда с > , — заменой у на —у.

Примеры. Уравнения (1.3.1), (1.3.2), (1.3.4) и (1.3.6) суть уравнения вида (1.4.1). Для любого из них у = 0, х ∊ ℝ, — решение. Проверить его на обыкновенность - особенность можно и с помощью теоремы 1.4.1.

Для уравнения (1.3.1) при любом (т.е. сходится) ⇒ для (1.3.1) у = 0, х ∊ ℝ, — особое решение.

о

Для уравнения (1.3.2) при любом у0, |у0| ∊ (0,1), (т. е. сходится) ⇒ для (1.3.2) решение y=0, x ∊ ℝ - особое.

Для уравнения (1.3.4) при любом у0, |уо| ∊ (0,1),

 (расходится) для (1.3.4) у = 0, х ∊   ℝ, — обыкновенное решение.

Для уравнения (1.3.6) при (расходится),

а при уо ∊ (0,1) (сходится) решение у=0, x ∊ ℝ— обыкновенное для уравнения (1.3,6), рассматриваемого в полуплоскости у ≤ 0, особое — для (1.3.6), рассматриваемого в полуплоскости у ≥0 или на всей плоскости ℝ2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Уравнения, не разрешенные относительно производной

§ 1. Основные понятия

В этой части мы будем  рассматривать уравнение

F(х,у,у') = 0,                                   (2.1.1)

предполагая, что в нем F и , ∊ С(D), D (⊂ ℝ3) — область, причем (х,у,у')0 в любой области U ⊂ D (иначе в такой области U функция F не зависит от у' и, следовательно, уравнение (2.1.1) не является в ней дифференциальным).

Решением уравнения (2.1.1) называется любая функция класса С1 φ : I =(α,β)→ℝ, (где I — открытый, полуоткрытый или невырожденный замкнутый промежуток оси х, которая, будучи подставлена в уравнение (1.1) вместо у, обращает его в тождество относительно х: F(x,φ(x),φ'(х))≡0, х ∊ I.

График любого решения  уравнения (2.1.1) называется интегральной кривой этого уравнения. Областью задания уравнения (2.1.1) называется множество С плоскости х,у такое, что уравнение

F(хо,уо,у') = 0 (2.1.2)

имеет хотя бы одно решение у' =, . Геометрически это означает, что уравнение (2.1.1) задает в любой точке ро ∊ G  хотя бы одно касательное направление для его интегральных кривых. Для уравнения (2.1.1) решения уравнения (2.1.2) называются допустимыми значениями y’ точке .

Задача  Коши для уравнения (2.1.1) ставится так: задается точка =( и допустимое для нее значение y’= у'0; требуется найти решение уравнения φ, удовлетворяющее условиям

φ( (2.1.3)

Точка называется начальной точкой решения φ и соответствующей ему интегральной кривой уравнения.

Условия (2.1.3) называются начальными условиями искомого решения φ, а точка — начальной точкой решения φ и интегральной кривой у=φ(x). Говорят, что решение задачи Коши (2.1.1), (2.1.3) единственно, если для любых двух ее решений при x ∊ . В противном случае говорят, что оно неединственно.

Решение уравнения (2.1.1) у=φ(х), х ∊ I, называется обыкновенным (особым), если для любой его точки решение задачи Коши (2.1.1), (2.1.3) единственно (неединственно). Интегральная кривая уравнения (2.1.1) называется обыкновенной (особой), если она является его графиком обыкновенного (особого) решения.

Точка G) называется точкой единственности для уравнения (2.1.1), если для любого допустимого для нее значения у' = у'0   решение задачи Коши (2.1.1),(2.1.3) единственно или не существует. В противном случае она называется для него точкой неединственности.

Соотношение

Ф(x,у,С) = 0,                   (2.1.4)

где С — произвольная постоянная, называется общим интегралом уравнения (2.1.1) на множестве , если оно для любой точки и любого допустимого для нее значения у'=у'0 неявно определяет решение задачи Коши (2.1.1), (2.1.3) и притом только одно.

По общему интегралу (2.1.4) уравнения (2.1.1) иногда можно найти и его особые интегральные кривые, лежащие в (как огибающие семейства интегральных кривых, определяемых этим интегралом).

Теорема 1.1 (второй достаточный признак огибающей) . Пусть

Ф(х,у,С) = 0, Ф ∊ С2(D), D ∊   ℝ3 - область, (2.1.5)

семейство кривых, зависящее от параметра С ∊ I = (а,b) и покрывающее множество С плоскости х, у, G х I ⊂ D. Пусть Ф'с(х,у,С)≠0 на G х I. Если система уравнений

Ф(х,у,С) = 0, Ф'с(х,у, С) = 0, (x,y,С)∊  G х I, (2.1.6)

имеет решение класса С1

у = ψ(х), С = С(х), х∊ J                    (2.1.7)

причем  С'(х)≡0 на любом интервале то кривая у = ψ(х),х ∊ J, есть огибающая семейства кривых (2.1.5), касающаяся в любой своей точке ()) кривой этого семейства Ф(х,у,С(хо)) = 0.

Доказательство. При выполнении условий теоремы семейство кривых (2.1.5) представимо в виде

              у = φ(х,С), φ  ∊  С2(W), W ⊂ ℝ2 

(где УС ∊ I (х,φ(х, С)) ∊ G), и, следовательно, система (1.6) может быть переписана в виде

      у = φ(x,С), Ф'с(х,φ(x,С),С) = 0, (х,С) ∊ W.    (2.1.

При этом условие ее разрешимости в виде (2.1.7) означает следующее: второе из уравнений (2.1.6') имеет C1-решение С = С(x), х ∊ J, С'(х)≢0 на любом интервале , в результате чего первое из равенств (2.1.6') принимает вид: у = ψ(х) ≡ φ(х,С(х)), х ∊ J, ψ ∊

Но поскольку функция  (2.1.5') неявно определяется уравнением (2.1.5), то

 

Следовательно, для семейства  кривых (2.1.5') уравнение =0 равносильно второму из уравнений (2.1.6'), а потому имеет вышеописанное решение С = С(х), х ∊  J . Из этого на основании теоремы 1.2.3 вытекает, что кривая у = ψ(х)≡φ(х,С(х)), х ∊  J, есть огибающая семейства кривых (2.1.5'), касающаяся в любой своей точке ()) кривой этого семейства у=φ(х,С(хо)), и, следовательно, огибающая семейства кривых (2.1.5), касающаяся в точке () кривой этого семейства Ф(x, у,С(хо)) = 0. □

Следствие 2.1.1. Пусть Ф(х,у,С) = 0, где С ∊ I = (а, b) — произвольная постоянная, есть общий интеграл уравнения (2.1.1) на множестве G. Если для семейства кривых (2.1.4) выполняются условия теоремы 2.1.1 и, следовательно, оно имеет огибающущю у = ψ(х), х ∊ J, то последняя является особой интегральной кривой уравнения (2.1.1).

Доказательство. Огибающая  семейства интегральных кривых уравнения (2.1.1) всегда яляется интегральной кривой этого уравнения. При этом каждя ее точка есть точка неединственности, а потому она всегда является особой интегральной кривой уравнения (2.1.1). □

§2. Общий случай

Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение (2.1.1) общего вида.

2.2.1. Геометрическая трактовка уравнения. Сначала будем трактовать переменные х,у,у' как декартовы прямоугольные координаты точки q ∊ ℝ3. В рамках такой трактовки уравнение (2.1.1), вообще говоря, определяет некоторую поверхность S, лежащую в области D. Сформулируем условие, при выполнении которого это действительно имеет место.

Условие 2.2.1. Пусть для (2.1.1) 1) F ∊ ,

 2)S={q=(x,y,

3) ∀ q ∊ S grad F(q)=(

При выполнении этого условия ∀ , а потому (согласно теореме существования неявной функции) ∃ окрестность U точки в D : в U уравнение (2.1.1) однозначно разрешимо относительно х, у или т.е. представимо в виде

x=(у, у'), у =(х,у'), или ,                (2.2.1)

где  ∀ i= 1,2,3 — область; при этом может случиться, что оно представимо в U двумя из этих способов или даже любым из них. Иными словами, при условии 2.2.1 ∀ окрестность U⊂D : часть Sмножества S представима хотя бы одним из уравнений (2.2.1) и, следовательно, представляет собой кусок С1-гладкой поверхности. При этом все множество S есть конечное или счетное С1-гладкое объединение таких кусков и, следовательно, представляет собой С1-гладкую поверхность в D (2-мерное многообразие класса С1).

Будучи -гладкой, поверхность S имеет в каждой своей точке касательную плоскость . Последняя определяется уравнением

 

так, что вектор grad F( является ее нормальным вектором. Множество К(⊂ S), в каждой точке q которого касательная плоскость Пq вертикальна называется криминантой уравнения (2.1.1). Но ∀ q ∊ Пq вертикальна grad F(q) горизонтален . Следовательно, криминанта K уравнения (1.1) определяется системой уравнений

F(х,y,у') = 0, = 0,                       (2.2.2)

а потому, вообще говоря, представляет собой кривую, лежащую на поверхности S. Например, если S сфера, то К — ее экватор.

Пусть π : ℝ3 → ℝ2 — оператор вертикального проектирования точек q(x,y,) ∊ ℝ3 на плоскость х,у π(х,у,) = (х,у). Тогда согласно § 1 G = π(S) есть область задания дифференциального уравнения (2.1.1). Кривая d = π(K) называется его дискриминантной кривой.

Криминанта К уравнения (2.1.1) разбивает определяемую им поверхность S на конечное или счетное число частей , i ∊ ℕ', ℕ' — отрезок натурального числового ряда ℕ или весь этот ряд так, что

S\K=                   (2.2.3)

При этом ∀ i ∊ ℕ' на , а потому представима уравнением

 

Области и , і≠к, могут пересекаться, но, как следует из (2.3),

∀ ∊  (2.4)

 

2.2. Ветви уравнения (2.1.1). ∀ i ∊ ℕ' дополним часть поверхности S граничной дутой =. Положим Пусть — непрерывное продолжение на .Тогда а уравнения

Особливі розв’язки диференціальних рівнянь першого порядку 📙 Курсовая → 🆔 168816

Особливі розв’язки диференціальних рівнянь першого порядку 📙 Курсовая → 🆔 168816

Особливі розв’язки диференціальних рівнянь першого порядку