Отражение гауссовых пучков

 

 

 

 

 

Утверждаю

 

«_____» ___________ 200__г.

Зав. кафедрой _________________

 

 

 

 

 

 

Курсовая  работа

• на тему:    Отражение гауссовых пучков    

 

 

Специальность:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2009

 

 

 

 

 

Условные обозначения

 

ОКГ – оптический квантовый  генератор

μ – магнитная проницаемость

σ – проводимость среды

ε – диэлектрическая  проницаемость

θ₀ – угол падения

ω – частота

k – волновой вектор

m – световой вектор

E – напряженность электрического поля

H – напряженность магнитного поля

R_E – коэффициент отражения электрического поля

R_H – коэффициент отражения магнитного поля

T_E – коэффициент преломления электрического поля

T_H – коэффициент преломления магнитного поля

Z – характеристическое сопротивление среды

ω₀ – резонансная частота

g – длина резонансной линии

ε₀ – статическая проницаемость среды

ε_∞ - высокочастотная проницаемость среды

ρ₀ – радиус шейки пучка

η – набег фазы

N₂, n₂ – показатели преломления

k₂ – коэффициент поглощения

θ_BR – угол Брюстера

α₁ – нормальная к границе компонента волнового вектора

 

 

 

 

 

Содержание

 

Введение………………………………………………………..4

Постановка задачи……………………………………………..6

Глава 1. Отражение электромагнитной волны

1.1 Отражение падающей  волны………………………….7

1.2 Коэффициенты отражения…………………………...10

1.3 Поглощение гауссова  пучка………………………….13

Глава 2. Отражение и преломление гауссова светового пучка

2.1 Особенности отражения  и преломления пучка……..15

2.2 Отражение гауссова пучка…………………….……...18

Заключение……………………………………………………23

Список литературы…………………………………………...24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

При первоначальном анализе  или описании большинства оптических явлений обычно используют плоские  электромагнитные волны как наиболее простой вид волн. Понятие плоской  волны включает в себя неизменность в пространстве и во времени формы  фазовой (плоской) поверхности и амплитуды. Реальные световые пучки, однако, всегда ограничены прежде всего в поперечных направлениях. Дифракция такого пучка приводит к постоянному изменению в пространстве амплитуды и к искривлению фазовой поверхности. Эти особенности пучка приходится учитывать при описании распространения узких световых пучков, например излучения оптических квантовых генераторов (ОКГ).

Когерентное излучение, генерируемое лазерами и мазерами, представляет собой узкие пучки, поперечные размеры которых, однако, намного больше длины волны. Поэтому дифракционная расходимость таких пучков сравнительно невелика, и их амплитуда медленно изменяется с продольной координатой. Такие световые пучки хорошо описываются гауссовыми пучками, в которых амплитуда в поперечной плоскости изменяется по закону Гаусса-Эрмита, а фазовая поверхность искривляется по мере распространения пучка. Сейчас доказано и общепризнано, что гауссовы пучки наиболее просто и полно описывают свойства лазерных световых пучков и собственные типы колебаний (моды) открытых резонаторов ОКГ. Правда, гауссовы пучки тоже являются приближением, но достаточно хорошим.

Область применения лазерных лучей весьма велика в настоящее  время и простирается от чисто  научных сфер, таких, как нелинейная и интегральная оптика, до машиностроительной промышленности. При этом приходится рассматривать особенности распространения и свойства лазерных лучей в самых разных средах: прозрачных и непрозрачных, однородных и неоднородных, изотропных и анизотропных и т.д. В связи с этим желательно провести подробное исследование свойств гауссовых (лазерных) пучков света в самых разных средах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Постановка задачи

В теории волн часто приходится иметь дело с задачами о распространении  сигналов в неоднородных средах. Возникают значительные трудности, и преодолеваются они за счет приближенных методов расчета. Для того чтобы строить приближенную теорию, необходимо знать решения некоторых простых задач. Самая простая задача о распространении волн в неоднородной среде – задача о падении плоской монохроматической волны на плоскую границу раздела двух сред с различными свойствами, при котором возникают преломленная и отраженные волны. В данной работе будет рассмотрена задача о падении плоской волны на границу раздела двух диэлектриков.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Отражение электромагнитной волны

1.1. Отражение падающей  волны

Пусть граница раздела  между двумя полубесконечными однородными  средами совпадает с плоскостью z=0 системы координат. Среды, расположенные сверху и снизу от границы, характеризуются следующими параметрами: - магнитные проницаемости,  - проводимости сред; ε₁ и ε₂ — диэлектрические проницаемости сред, являющиеся действительными величинами. Пусть на эту границу из первой среды падает плоская волна под углом к оси z с частотой ω, волновым вектором k и световым вектором m.

Пусть электрическое  и магнитное поля падающей волны  имеют вид: 

(1.1)

Зависимость поля от времени определяется множителем exp(iωt).

Формулу для магнитного поля мы получим из уравнения Максвелла:

		(1.2)
		(1.3)

Для случаев p-поляризации  и s- поляризации получаем соответственно:

  - для p-поляризации

  - для s-поляризации

Направление магнитного поля волны определяется направлением векторного произведения величин Е и k. Рассмотрим характеристики этой волны - волновой и световой вектора.

Волновой  вектор – вектор k₀, направление которого совпадает с направлением распространения волны. Модуль этого вектора в вакууме равен  k₀ =ω/c. В среде эта величина изменяется в раз: k₁ = , k₂ =

В нашем случае:

k0x=ksinθ0	k0z=ksinθ0
k1z=k1cosθ0	k2z=k1cosθ0

 

Световой  вектор  Е определяет величину и направление переноса светового потока.

Учитывая значения проекций волновых векторов, получаем следующие  выражения для проекций электрического поля:

		(1.4)
		(1.5)
		(1.6)

При распространении  плоской электромагнитной волны  в пространстве, представляющем собой  области с различным значением  параметров ε, μ  и границами раздела  плоскостей, возникают отраженная и  преломленная волны.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.1. Отражение и  преломление плоской волны на плоской границе раздела двух сред.

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Коэффициенты отражения

Световые и магнитные  вектора этих волн связаны с векторами  падающей волны граничными условиями:

ε1E1z=ε2E2z	µ1H1z=µ2H2z
E1x=E2x	H1x=H2x

 

Практически представляют интерес два случая: когда световой вектор лежит в плоскости падения (р-поляризация), и когда он перпендикулярен ей (s-поляризация).

Тогда для отраженной р-волны поле будет подчиняться уравнениям:

(1.7)

а для s- волны:

(1.8)

Амплитуды этих волн связаны  с амплитудой падающей волны коэффициентами отражения.

,

(1.9)

коэффициентами  преломления (прохождения)

,

(1.10)

Коэффициенты отражения R и преломления Т для заданного значения угла падения зависят от ориентации векторов электромагнитного поля по отношению к плоскости падения. Если вектор Е лежит в этой плоскости, то

		(1.11)
		(1.12)

где Z₁ и Z₂ – характеристическое сопротивление первой и второй среды, углы θ₀  и θ₂ – угол падения и преломления соответственно.

Если вектор Е перпендикулярен плоскости падения, то удобнее использовать расчеты для вектора Н. Следовательно, формулы для коэффициентов падения и преломления будут иметь следующий вид:

(1.13)

 

(1.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.2а Зависимость  коэффициентов отражения при ε₁< ε₂

 

 

 

 

Рисунок 1.2b Зависимость коэффициентов отражения при ε₁> ε₂

1.3 Поглощение гауссова  пучка

Диэлектрические проницаемости ε₁, и ε₂ могут быть комплексными величинами, т.е. допускается наличие поглощения в обеих средах. Разложим функцию в интеграл Фурье по плоским волнам с постоянными распространения β вдоль границы, тогда поле падающего пучка вблизи последней представится следующим образом:

(1.15)

где

 

Отраженное U_r и преломленное U поля также будем искать в виде интегралов Фурье. Учитывая, что каждая плосковолновая фурье-компонента отражается и преломляется независимо от других, можно сразу записать интегральные выражения для этих полей:

(1.16)

, - френелевские коэффициенты отражения и преломления.

Физический смысл этого  параметра вполне очевиден: его вещественная и мнимая части определяют изменение интенсивности и фазы плоской волны при отражении.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.3. Угловая зависимость  энергетических коэффициентов отражения  для p- (пунктирная) и s- (сплошная) сред при поглощении, η=0.1,0.5,1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2.  Отражение  и преломление гауссова светового  пучка

2.1. Особенности отражения  и преломления пучка

Исследование  особенностей отражения световых пучков с различным профилем углового спектра от плоской границы раздела сред является достаточно важной задачей современной оптики, что связано с деформацией профиля отраженного пучка и его продольным смещением по отношению к падающему пучку. Интерес к данной проблеме обусловлен тем, что измеренные характеристики отраженных световых пучков позволяют оценить свойства отражающей среды или планарной структуры. К настоящему времени детально исследованы особенности отражения световых пучков от границы раздела двух полубесконечных сред, построена теория продольного смещения отраженного пучка, в том числе и отрицательного, однако отсутствует анализ деформации профиля пучка при отражении от слоя ограниченной толщины. При этом модуль коэффициента отражения в области полного отражения и его фаза намного быстрее изменяются с углом падения, чем в случае одной границы раздела. Существование двух границ раздела сред должно вносить дополнительные искажения профиля отраженного пучка и его продольное смещение, поскольку в этом случае необходимо учитывать разделение пучка на две части и сдвиг прошедшей в слой и отразившейся от нижней его границы части пучка.

С явлениями  отражения и преломления волн приходится часто встречаться в самых различных областях физики. Казалось бы, существует простая и надежная теоретическая модель этих явлений, основанная на плосковолновом приближении и использовании формул Френеля. Однако такое приближение оказывается не вполне корректным в условиях полного внутреннего отражения. Действительно, вблизи плоской границы раздела двух прозрачных сред при углах падения волны, сколь угодно меньших угла полного внутреннего отражения (критического угла), поле в преломляющей среде описывается бегущей однородной волной, а при углах падения, сколь угодно больших критического, — неоднородной волной, затухающей в направлении от границы. Налицо резкий скачок качественного состояния модельной системы, которого на самом деле не происходит. Дело в том, что реальные волновые поля всегда ограничены и неоднородны в пространстве, а закономерности отражения и преломления пространственно ограниченных волновых пучков отличаются от таковых для безграничной плоской волны. Особенно существенным это отличие оказывается в условиях полного внутреннего отражения.

До сих  пор теоретические исследования полного внутреннего отражения пространственно ограниченных пучков сводились к изучению отраженного поля, поскольку для преломленного поля получаются слишком громоздкие интегральные выражения. Насколько нам известно, только в работе теоретически изучалось преломленное поле неоднородного светового пучка в условиях полного внутреннего отражения. В этой работе было построено точное решение дифференциального уравнения для волновой функции преломленного поля в виде двойного интеграла и найдено его простое асимптотическое приближение, которое, однако, не дает возможности описать некоторые эффекты, например сдвиг Гооса-Хенхен. На практике широко используются линейно-поляризованные пучки р- и s-поляризаций, либо с комбинацией этих поляризаций. На формирование огибающей распределения интенсивности в отраженном пучке существенное влияние оказывают многие характеристики пучка и отражающей среды. Ввиду сложности получения аналитического решения общей задачи об отражении пучка обычно используются различные приближения, допустимые для конкретных условий задачи. Так, в посвященных данному вопросу работах рассматриваются, как правило, отражение и сдвиг либо отдельных плосковолновых компонент, либо узконаправленных волновых пучков. При теоретическом исследовании отражения пучков с широким угловым спектром, в частности, гауссовых пучков, производится «обрезание хвостов» углового спектра. При этом анализ проводится либо для непоглощающих, либо для сред поглощающих, но без учета частотной дисперсии.

Подобный  анализ, хотя он и дает приближенные аналитические выражения формы огибающей и сдвига пучка, недостаточен при описании отражения реальных пучков в случае резонансного поглощения одной из граничащих сред в широком диапазоне углов падения, где возможен также отрицательный продольный сдвиг отраженного пучка.

При отражении  от непоглощающих сред наиболее значительные искажения профиля пучка проявляются вблизи углов брюстеровского (для р-поляризации) и полного внутреннего отражения, поскольку именно вблизи этих углов коэффициент отражения меняется достаточно быстро. При наличии поглощения деформации профиля отраженного пучка также имеют место, однако их характер существенно зависит от частоты падающего излучения и формы линии поглощения отражающей среды. При этом сдвиг и трансформация пучков р- и s-поляризаций должны существенно различаться, поскольку различаются значения коэффициентов отражения для каждой из плосковолновых компонент пучка указанных поляризаций.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 Отражение  гауссова пучка

Пусть гауссов  пучок р- или s- поляризации падает на плоскую границу раздела двух сред под углом θ₀, отсчитываемом от нормали. Среда, из которой падает пучок, является оптически прозрачным диэлектриком с действительной диэлектрической проницаемостью е, которую считаем постоянной в рассматриваемом диапазоне частот. Отражающая среда является резонансной, для которой частотная зависимость диэлектрической проницаемости имеет вид:

                                              

(2.1)

где ω₀ — резонансная частота, g — ширина резонансной линии, ε₀ и ε_∞ — статическая и высокочастотная проницаемости среды. Подобную частотную зависимость диэлектрической проницаемости имеют многие оптические материалы в области линий поглощения. Направим ось Z вдоль нормали к границе раздела сред; плоскостью падения является плоскость XZ. Введем связанную с падающим пучком систему координат X'Y'Z', ось Z' которая совпадает с направлением распространения пучка, начало координат находится в шейке пучка и отстоит от границы раздела сред на расстоянии z_s вдоль пучка. Пространственное распределение поля в гауссовом пучке может быть представлено следующим образом:

(2.2)

 

где параметр — определяет зависимость ширины пучка от координаты вдоль направления распространения, ρ₀ — радиус шейки пучка, значительно превышающий длину световой волны η= arctg(z'/z₀) — набег фазы, z₀ =k₁ρ₀²/2 — расстояние, на котором ширина пучка увеличивается в π/2 раз.

Для определения  распределения светового поля по сечению отраженного пучка рассмотрим двумерный гауссов пучок, падающий на плоскую границу раздела двух сред под углом θ₀. Поле в таком пучке не зависит от координаты в направлении, перпендикулярном плоскости падения, а гауссов профиль реализуется в плоскости падения в направлении, перпендикулярном направлению пучка. Направим ось Z вдоль нормали к границе раздела сред, совпадающей с плоскостью XY, а ось Y перпендикулярно плоскости падения. Вектор электрического поля в падающем пучке может быть представлен в виде суммы р- и s-компонент Е = Е_р + E_s, причем вектор Е_р лежит в плоскости падения, а E_s перпендикулярен ей. Распределение поля в отраженном пучке при z = 0 находится путем интегрирования его спектра Е(к) по всем отраженным плоским волнам с различными углами падения в плоскости XZ.

(2.3)

Где амплитуда  гауссова пучка определяется выражением:

Для выявления  особенностей трансформации отраженных пучков р- и s-поляризаций и сравнительного их анализа необходимо проведение численного определения распределения интенсивности светового поля на основе полученного выше интегрального представления поля отраженного пучка. Ниже представлены результаты такого численного анализа, проведенного на основе в плоскости отражения z = 0. Поскольку при падении под некоторым углом θ_о геометрический центр пучка смещается на величину х₀ = z'_s sinθ_о относительно нормального падения (θ_о =0), то для иллюстрации и сравнения трансформации профилей отраженных пучков удобно все начала координат для разных θ_о поместить в одну точку и рассматривать смещение пучка в каждом случае относительно этой точки. Параметры отражающей среды, выбранные для проведения численного анализа, соответствуют полупроводнику AlAs, оптические характеристики которого близки к изотропному материалу и определяются следующими параметрами, входящими в выражение для диэлектрической проницаемости: ε₀ =11, ε_∞ =9, g/ω₀ =0.01; падает пучок из среды с ε₁ = 1. Значения основных параметров гауссова пучка зададим в длинах волн падающего излучения: R_c = 1000/λ, ρ₀ = 10/ λ, z_s = 10 λ

Для описания оптических характеристик поглощающей среды удобно ввести комплексный показатель преломления N₂ = n₂ – ik₂, действительная и мнимая части которого определяются выражениями:

			(2.4)
			(2.5)

 

На рис. 2.1 приведены частотные зависимости  эффективного показателя преломления п₂ и коэффициента поглощения к₂ резонансной среды, полученные на основе приведенных соотношений и параметров вблизи линии резонансного поглощения.

Падение плоской световой волны на плоскую границу раздела двух сред с показателями преломления n₁ и n₂ является, вероятно, наиболее детально исследованным физическим явлением. Эффект Брюстера (т.е. точное равенство нулю коэффициента отражения р - поляризованной волны, падающей под углом θ_BR, удовлетворяющим соотношению tgθ_BR = n₂/n₁) и эффект полного внутреннего отражения (т.е. точное равенство коэффициента отражения единице, когда n₁ >n₂, а угол падения превосходит критическое значение θ_tot, определяемое выражением sinθ_tot = n₂/n₁) широко используются в технике. В последние годы делаются попытки использовать цилиндрические системы для создания различных оптоэлектронных устройств. Ряд теоретических работ был посвящен изучению распространения цилиндрических волн в слоистых цилиндрических структурах и через цилиндрическую границу двух сред. Однако некоторые интересные особенности, например увеличение коэффициента отражения при малом радиусе границы, и зависимость оптических свойств от поляризации света требуют более детального изучения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.1. Частотная зависимость  действительной и мнимой частей показателя преломления резонансной среды

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Гауссов пучок – это  важное понятие, оно с разных сторон объясняет световой пучок, создаваемый лазером. В отличие от лучей, относящихся к геометрической оптике, в которой волновой природой света пренебрегают, гауссов пучок является волновым явлением, в котором дифракция играет ключевую роль в его распространении.

Для описания процессов происходящих при отражении плоской монохроматической волны от поверхности раздела двух сред удобно использовать графический метод описания. Для этого данной работе был исползован пакет Mathcad. Данный пакет позволил точно описать поведение волны при отражении от границы раздела двух диэлектриков и построить угловую зависимость при p - и s – поляризации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Солимено С., Крозиньяни Б., П. Ди Порто // Дифракция и волноводное распространение оптического излучения. 1986. С. 662.
2. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. // Теория волн. 1-е изд. М.: Наука, 1979. С. 44 – 54.
3. Сивухин Д. В. // Оптика. 3-е издание. М.: Физматлит, МФТИ, 2002. Т. 4. С. 792
4. Савельев А. С. // Оптика. 3-издание. М. 1998. Т. 3. С. 528.
5. Бондарев Б.В., Калашников Н.П., Спирин Г.Г // Курс общей физики. 2005. Т. 2. С. 438.
6. Галанцева М.Л., Моисеев Б.М.// Волновая оптика. 2002. Т. 2. С. 79.
7. Наседкина Ю. Ф., Семенцов Д. И. //Продольный сдвиг и трансформация гауссова пучка при отражении от тонкой пленки. 2007. Т. 102. В. 5. С. 846 – 853.
8. Кухарчик П. Д., Сердюк В. М., Титовицкий И. А. // Полное внутреннее отражение гауссова светового пучка. ЖТФ. 1999. Т. 69. В. 4. С. 74 – 78.
9. Наседкина Ю. Ф., Семенцов Д. И. // Трансформация гауссовых пучков s- и p-  поляризации при отражении от резонансной среды. 2005. Т. 8. В. 3. С. 11 – 17.
10. Калитеевский М. А., Николаев В. В. // Аналоги эффекта Брюстера и полного внутреннего отражения для цилиндрических волн. ЖТФ. 2000. Т. 70. В. 7. С. 52 – 56.
11. Воляр А. В., Фадеева Т. А., Шведов В. Г. // Непараксиальный гауссов пучок: расщепление линии сингулярности и оптический эффект Магнуса. ЖТФ. 1999. Т. 25. В. 22. С. 14 – 20.
12. Плаченв А. Б., Кудашов В. Н., Радин А. М. // Аналитический способ построения фундаментальной моды резонатора в виде гауссова пучка со сложным астигматизмом. 2007. Т. 37. В. 3. С. 290 – 298.
13. Балыкан В. И., Летохов В. С. // Лазерная оптика нейтральных лазерных пучков. 1990. Т. 160. В. 1. С. 141 – 153.
14. Протасов М. И. // Построение изображений на основе гауссовых пучков по многокомпонентным данным. 2006. Т. 407. В. 4. С. 441 – 446.
15. Головин И. В., Ковригин А. И., Коновалов А. Н., Лаптев Г. Д. // Описание лучевым методом распространения гауссова пучка со сложным астигматизмом и применение этого метода для расчета неплоских кольцевых резонаторов. 1999. Т. 22. В. 5. С. 461 – 463.
16. Волков С. Н., Коротеев Н. И., Макаров В. А. // Генерация второй гармоники при отражении двухмерного гауссова пучка от поверхности изотропной гиротропной среды. 1997. Т. 27. В. 6. С. 517 – 522.
17. Барсуков К. А., Попов В. Н. // О световых «зайчиках». 1996. Т. 166. В. 11. С. 1245 – 1252.
18. Бабушкин А. В., Бучельников В. Д., Бычков И. В. // Отражение электромагнитных волн от поверхности феррита кубической симметрии. ЖТФ. 2002. Т. 44. В. 12. С. 2183 – 2188.
19. Хомченко А. В., Сотский А. Б., Романенко А. А., Глазунов Е. В., Шульга А. В. // Волноводный метод измерения параметров тонких пленок. ЖТФ. 2005. Т. 75. В. 6. С. 98 – 106.
20. Карпук М. М., Костюк Д. А., Кузавко Ю. А., Шавров В. Г. // Отражение и преломление акустических волн на границе диэлектрик-магнитоакустический материал. ЖТФ. 2003. Т. 73. В. 7. С. 97 – 104.
21. Глущенко А. Г., Головкина М. В. // Отражение электромагнитной волны слоистой структурой сверхпроводник–диэлектрик. ЖТФ. 1998. Т. 24. В. 1. С. 9 – 12.
22. Дедков Г. В., Кясов А. А. // Флуктуационно-электромагнитное взаимодействие движущихся нейтральных атомов с плоской поверхностью: учет эффектов пространственной дисперсии. ЖТФ. 2006. Т. 32. В. 5. С. 78 – 83.
23. Ляхомская К. Д., Хаджи П. И., Марков Д. А. // Особенности отражения торца полубесконечного нелинейного кристалла. ЖТФ. 2000. Т. 26. В. 7. С. 18 – 22.
24.   Федоров Ф. И. // Журнал прикладной спектроскопии. 1977. Т. 27. В. 4. С. 580 – 587.
25. Наседкина Ю. Ф., Семенцов Д. И. // Распределение поляризации в гауссовом пучке, отраженном от резонансной среды. ЖТФ. 2006. Т. 32. В. 8. С. 1 – 8.