Вакуумный диод

Введение.

Вакуумный диод представляет собой биполярное устройство для создания тока в вакууме, методом переноса электронов с катода на анод внешним электрическим полем. Это - пустотная лампа, содержащая два электрода: один – в виде проволоки из тугоплавкого материала (вольфрам, молибден и др.), раскаливаемой током (катод), и другой, холодный электрод, собирающий термоэлектроны (анод). Подобные лампы получили широкое применение в радиотехнике. Аноду диода чаще всего придают форму цилиндра, внутри которого расположен накаливаемый катод. Электроны из катода вылетают с помощью термоэлектронной эмиссии.  Вакуумный диод интересен тем, что непосредственно в создании микроскопического поля участвуют электроны. А вакуум создаёт дополнительное преимущество т. к. можно дифференцировать влияние второстепенных факторов.

Наша цель, используя эту систему наблюдать и разделять квантовые и классические эффекты при протекании электрического тока т. к. это затруднено. 

  Для понимания многих электронных явлений важно выяснить, какое число носителей заряда из общей их совокупности в единице объёма имеют составляющие импульса в пределах и , и , и . Полная энергия такой группы частиц будет лежать в некотором интервале и , определяемом зависимостью . Ответ на поставленный вопрос получается разным в классической и квантовой теориях. Чтобы прояснить разницу в процессах квантового уровня и классического на примере электронов рассмотрим теоретическое описание тока в вакууме как классическую картинку и как квантовую.

1. Классическая теория распределения Максвелла – Больцмана.

Пусть есть число состояний электронов в единице объёма тела, принадлежащих рассматриваемому интервалу энергий. Для малого интервала импульсов его можно считать пропорциональным этому интервалу: ~. Если есть вероятность таких состояний, то интересующее число электронов равно

          (1)

В классической физике вероятность выражается законом Больцмана

          (2)

где - энергия частицы в рассматриваемом состоянии, - постоянная Больцмана, - температура, - постоянная. Если рассматривать электроны в отсутствие внешних сил их потенциальная энергия не зависит от координат и её можно включить в постоянную . Тогда есть кинетическая энергия

          (3)

          ()

- это потенциальная энергия взаимодействия ионов образующих кристалл с электронами. Эта энергия имеет полевой характер.

Из формул (1), (2) и (3) находим

          (4)

где - новая постоянная (). Последняя формула выражает закон Максвелла, дающий распределение импульсов в идеальном газе.

Постоянная определяется из условия, что полное число электронов с любыми импульсами есть заданная концентрация , т. е.

          (5)

Выполняя интегрирование и учитывая, что

          (6)

(6.1)

Вычислим первый интеграл. Предположим, что интеграл равен и , , получим

          (6.2)

Умножим обе части равенства на , найдём

          (6.3)

Интегрирование последнего равенства по даёт

          (6.4)

Изменяя порядок интегрирования, получим повторный интеграл

          (6.5)

Внутренний интеграл которого

          (6.6)

Таким образом

          (6.7)

Следовательно

          (6.8)

Остальные интегралы считаются таким же образом. И в конечном итоге мы получаем

          (7)

(*)

Мы увидели, что электроны двигаются в разных направлениях, т. е. . Но нам необходимо рассмотреть только движения по оси . Вычислим интеграл

и получим

В классической статистике величина ничем не ограничивается (любое число электронов может иметь компоненты импульса в данном интервале). В квантовой статистике компоненты импульса квантуются, и поэтому имеет определённое конечное значение

          (8)

Здесь есть универсальная постоянная квантовой механики - постоянная Планка: . Множитель 2 учитывает то обстоятельство, что каждой тройке величин могут соответствовать две различные ориентировки электронного спина.

2. Квантовая теория.

Важное обстоятельство, учитываемое квантовой физикой, заключается в том, что вероятность квантового состояния с полной энергией для электронов определяется не законом Больцмана, а функцией Ферми - Дирака

          (9)

Здесь есть некоторая характерная энергия, не зависящая от переменных и . Она получила название электрохимического потенциала или уровня Ферми. Величина является параметром распределения и играет ту же роль, что и постоянная в законе Больцмана. Конечно, не универсальная постоянная, а зависит от природы вещества и его состояния. Для данного вещества , как и , определяется полной концентрацией электронов и температурой.

Графики функции Ферми - Дирака показаны на рис.

Рис. . Функция Ферми- Дирака.

Рассмотрим поверхность метала т. к. из неё вылетают электроны.

Сделаем замены

Тогда получим

т. к. отношении энергий

,

Значит

,

И мы получаем, что наше уравнение

Тогда разложим функцию в ряд

Т. к.

Подставим в ряд

Заменим

Исходя из этого, мы можем распределение Ферми - Дирака заменить классическим распределением Больцмана.

Обратимся теперь к энергетическим диаграммам и положим, что при уровень Ферми лежит в зоне проводимости (рис.,а). тогда в зоне будут квантовые состояния с энергией , и существенно необходимо пользоваться распределением Ферми – Дирака. Такой электронный газ называется вырожденным. Этот случай мы имеем в металлах. Здесь все квантовые состояния с энергией целиком заполнены электронами, а электронов с энергией нет вовсе. Следовательно, даже при электроны находятся в движении, а максимальная кинетическая энергия равна . Существование этой энергии при абсолютном нуле есть специфический результат квантовых законов движения электронов.

Рис.. Положение уровня Ферми в металле (а) и в невырожденном полупроводнике (б)

При распределение Ферми размывается и появляется небольшое число электронов с энергией . Однако размытие функции Ферми охватывает лишь области энергии порядка в окрестностях уровня Ферми . Если отстоит от на много (что и имеет место в металлах), распределение по энергиям для большинства электронов (с энергией ) практически не меняется. Поэтому, в частности, средняя энергия электронов зависит от температуры слабо. Это объясняет, почему электронный газ в металлах слабо влияет на их теплоёмкость.

Ели же уровень Ферми лежит в запрещенной зоне (рис. ,б), то для всех состояний в зоне проводимости мы имеем и для них справедливо классическое распределение Больцмана (невырожденный электронный газ). При для всех состояний в зоне проводимости и электронов проводимости нет. Этот случай соответствует совершенно чистым проводникам, не содержащих примесей или дефектов решётки.

Вернёмся теперь к закону распределения электронов по импульсам. Из сказанного выше следует, что вместо закона Максвелла для электронов оно выражается формулой

          (10)

Здесь энергия есть определённая функция и , зависящая от природы кристалла. Для состояний, энергия которых близка к энергии для зоны проводимости , она выражается формулой

          (11)

Эта формула имеет тот же вид, что и формула классической механики. Однако между ними имеется существенное отличие. В формуле из доквантовой физики твёрдого тела

          (12)

(где - потенциальная энергия)

есть истинная масса изолированного электрона. В формуле же (11) через мы обозначили коэффициенты в разложении Тейлора

          (13)

- эта характеристика называется эффективной массой. Она содержит в себе вдобавок к электрона поправки, выраженные в массовых единицах и возникающие из-за поляризационных искажений электронов ближайшей кристаллических ячеек. 

Величина при движении электрона внутри кристалла она играет ту же роль, что и масса, однако отличается от истинной массы электрона. Отметим также, что в формулах (12) и (13) мы считали одинаковой при движении вдоль каждой из осей X, Y и Z, т. е. не зависящей от направления движения. Этим мы ограничимся простейшим случаем изотропной эффективной массы.

Вернёмся к закону распределения электронов по импульсам. Параметр распределения - уровень Ферми - можно определить из условия нормировки (5). В этом случае

      (14)

Подставляя это выражение в (5) и выполняя интегрирование с учётом (6) получаем

          (15)

где введено обозначение

          (16)

Величина получила название эффективной плотности состояния в зоне проводимости.

Формула (15) устанавливает связь между положением уровня Ферми и полной концентрацией электронов проводимости в невырожденных полупроводниках. Из этой формулы видно, что чем ближе  к краю зоны , тем больше и концентрация электронов в зоне. Если задано, то формула (15)  определяет положение уровня Ферми относительно края зоны .

Если мы теперь выразим из формулы (15) и подставим это значение в (14) для , то постоянная Планка сократится, и мы получим в точности закон распределения Максвелла, выражаемый формулой (*). Однако при этом всё же вместо массы изолированного электрона будет входить эффективная масса электрона в кристалле . Она и учитывает квантовые особенности движения электронов.

Таким образом, для применимости классической статистики нужно, чтобы электронный газ был невырожденным. А это значит, что концентрация электронов в нём должна быть не очень велика.

Из формулы (15) видно, что для отсутствия вырождения концентрация электронов должна удовлетворять условию . Чтобы оценит порядок величины  , положим  и примем температуру . Тогда по формуле (16) получаем

3. Электронная эмиссия.

Мы увидели, что в металлах имеются электроны проводимости, участвующие в тепловом движении. Так как электроны удерживаются внутри металла, то, значит, вблизи поверхности существуют силы, действующие на электроны и направленные внутрь металла. Они возникают вследствие притяжения между электронами и положительными ионами решетки. В результате этого взаимодействия в поверхностном слое металлов появляется электрическое поле, а потенциал при переходе из внешнего пространства внутрь металла увеличивается на некоторую величину . Соответственно потенциальная энергия электрона уменьшается на .

Распределение потенциальной энергии электрона для ограниченного металла показано на энергетической диаграмме рис.. Здесь - уровень энергии покоящегося электрона вне металла, - наименьшая энергия электронов проводимости (дно зоны проводимости). Распределение потенциальной энергии имеет вид потенциальной ямы. Её глубина равна . Эта величина называется электронным сродством и является важной характеристикой вещества.  

Если электрон внутри металла имеет полную энергию , меньшую (рис..) , то такой электрон не может покинуть металл. Условие вылета электрона из металла

         (17)

Рис.. Распределение потенциальной энергии электрона в ограниченном металле; - термоэлектронная работа выхода

При комнатных температурах практически для всех электронов в металлах и полупроводниках это условие не выполняется, и электроны связаны в пределах проводника. Однако электронам можно сообщить различными способами дополнительную энергию. В этом случае часть электронов металла получают возможность покинуть металл, и мы наблюдаем явление испускания электронов, или электронной эмиссии.

В зависимости от того, каким способом сообщена электронам энергия, мы различаем разные типы электронной эмиссии. Если электроны получают энергию за счёт тепловой энергии тела при повышении температуры этого тела, мы говорим о термоэлектронной эмиссии; при подведении энергии светом мы имеем явление фотоэмиссии, или фотоэлектрический эффект; если энергия сообщается электронам при бомбардировки извне какими- либо другими частицами, мы наблюдаем вторичную электронную эмиссию.

4. Вакуумный диод. Вольт – амперная характеристика вакуумного диода.

Для наблюдения термоэлектронной эмиссии может служить пустотная лампа, содержащая два электрода: один - в виде тугоплавкого материала, раскаливаемого током (катод), и другой, холодный электрод, собирающий термоэлектроны (анод). (Рис. 1.)   

Рис. 1. Вакуумная лампа.

Если составит электрическую цепь, содержащую вакуумный диод, источник напряжения и миллиамперметр (рис. 2.), то при холодном катоде ток в цепи не возникает, так как сильно разряженный газ внутри диода (вакуум) не содержит заряженных частиц, и потому электропроводность диода практически равна нулю. Если же раскалить катод диода при помощи дополнительного источника тока до высокой температуры, то миллиамперметр обнаруживает появление тока.

Рис. 2. Схема для наблюдения термоэлектронной эмиссии.

Ток в цепи диода появляется только в том случае, если положительный полюс батареи соединён с анодом, а отрицательный- с катодом.            Если же изменить знак разности потенциалов, приложенной к аноду, то тока в цепи не будет, как бы сильно мы не раскаляли катод. Это обстоятельство показывает, что катод испускает отрицательные частицы, т. е. электроны, и что положительные ионы не покидают металл в заметном количестве.

Сила термоэлектронного тока в диоде зависит от величины потенциала анода относительно катода (мы считаем, что падение напряжения на самом катоде достаточно мало, и поэтому не уточняем, относительно какой точки катода измеряется анодный потенциал).

Рис.3. Вольт - амперные характеристики диода при различной температуре катода.

Кривая, изображающая зависимость силы тока в диоде от анодного напряжения (вольт - амперная характеристика), изображена на рис. 3 (кривая 014). Когда потенциал анода равен нулю, сила тока через диод мала. При увеличении положительного потенциала анода сила тока возрастает в соответствии с кривой 01. при дальнейшем возрастании анодного напряжения сила тока достигает некоторого максимального значения , называемого током насыщения диода, и почти перестаёт зависеть от анодного напряжения (участок характеристики 14).

При увеличении температуры катода вольт - амперная характеристика изображается кривыми 0125, 01236 и т. д. при значениях тока, меньше , зависимость силы тока от напряжения при всех температурах изображается одной и той же кривой 0123. различными при разных температурах оказываются значения тока насыщения , которые быстро увеличиваются при возрастании температуры катода. При этом увеличивается и то анодное напряжение, при котором устанавливается ток насыщения.

   Мы видим, что вольт - амперная характеристика электронной лампы оказывается нелинейной, а, следовательно, электронная лампа представляет собой пример проводника, не подчиняющегося закону Ома.

    Зависимость тока диода от напряжения имеет простое объяснение. При наличии термоэлектронной эмиссии в пространстве между катодом и анодом в любой момент времени находятся электроны, движущиеся от катода к аноду, которые образуют облако отрицательного заряда (пространственный заряд). Этот пространственный заряд имеет распределение потенциала в диоде. Если катод и анод представляют собой плоские пластины, параллельные друг другу (рис.4) ,то в отсутствие пространственного заряда (при холодном катоде) распределение потенциала между катодом и анодом, образующими плоский конденсатор, изображается прямой линией 1.

Рис.. Пространственный заряд в диоде и вызываемое им перераспределение потенциала

При наличии термоэлектронного тока (накаливание катода) между катодом и анодом возникает пространственный заряд, и распределение потенциала изменяется; оно выражается теперь кривой 2. При этом значение потенциала в любой плоскости оказывается меньше, чем в отсутствие пространственного заряда, а, следовательно, и скорости движения электронов при наличии пространственного заряда уменьшаются. С увеличением анодного напряжения концентрация электронов в облаке пространственного заряда уменьшается. Поэтому и тормозящее действие пространственного заряда делается меньше, и анодный ток увеличивается.

Зависимость тока диода от потенциала анода имеет вид

          (1)

где зависит от формы и размеров электродов.

Для плоского диода

         (2)

где - удельный заряд электрона, - расстояние между катодом и анодом, - электрическая постоянная, - поверхность катода (равная поверхности анода).

Формула (1) выражает уравнение кривой 0123 рис. Она носит название закона  Богуславского - Лэнгмюра или «закона 3/2».

Когда потенциал анода становится настолько большим, что все электроны, испускаемые катодом за каждую единицу времени, попадают на анод, ток достигает своего максимального значения и перестаёт зависеть от своего анодного напряжения. Плотность тока насыщения , т. е. сила тока насыщения на каждую единицу поверхности катода, характеризует имиссионную способность катода, которая зависит от природы катода и его температуры.

5. Решение классической задачи (вывод закона Богуславского – Лэнгмюра).

Аноду диода придают различные формы, но их можно объединить общим случаем (плоским). И теперь рассмотрим вывод  закона Богуславского - Лэнгмюра для случая плоского диода.

Плотность тока через диод равна

         (1)

где - скорость электрона, - концентрация электронов, - абсолютное значение заряда электрона.

Скорость электронов в любой точке определяется значением потенциала в этой точке. Так как в диоде имеется высокий вакуум, то электроны движутся без соударений, и поэтому их кинетическая энергия равна работе сил поля. Если начальная скорость электронов мала по сравнению со скоростью, приобретаемой под действием поля, то ею можно пренебречь, и тогда

          (2)

где - масса электрона.

Зная формулы для электрического смещения:

          (3)

          (4)

          (5)

получим распределение потенциала между катодом и анодом:

          (6)

Из уравнения (1) выражаем концентрацию

Из уравнения (2) выражаем скорость

Подставляем в уравнение (6) и получаем

         (7)

заменяем

         (8)

Получаем уравнение определяющее распределение потенциала

          (9)

Рис. 4. Вакуумная лампа с плоскими диодами.

Чтобы решить это уравнение  необходимо задать начальные условия. Сила термоэлектронного тока в диоде зависит от величины потенциала анода относительно катода. Если увеличить потенциал анода до максимума, из верхнего слоя катода будут вылетать электроны, но это будет происходить до определённой толщины. При этом образуется поверхность, где потенциал будет равен нулю

а это означает, что он постоянен

От потенциала перейдём к напряжению

Это означает, что напряжение можно приравнять к нулю

Решаем уравнение (9) методом получения полного дифференциала.

умножим на

Отсюда получаем

Проинтегрируем

Получим уравнение

Запишем в виде полного дифференциала

Проинтегрируем его

после вычисления интеграла у нас получилось

Выражаем из него и подставляем в уравнение плотности тока

Мы получили зависимость тока диода от потенциала анода

Можно заменить постоянной

- удельный заряд электрона, - расстояние между катодом и анодом, - электрическая постоянная.

В конечном счёте, получаем

Это уравнение совпадает с приведенным выше законом Богуславского – Лэнгмюра.