Вероятностные модели управления запасами. 2

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………….3

1.  ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ.…4
1. Типы моделей управления запасами………………………………...…4
2. Модели управления запасами с вероятностным спросом…………….7
3. Модель с непрерывным контролем уровня запаса………………..…10
4. Обобщенная модель управления запасами………………………...…16
2. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ……………...20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………...……..26

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ…………...……28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

В большинстве случаев физически невозможно либо экономически не выгодно, чтобы товары поступали именно тогда, когда на них поступает спрос. При отсутствии запасов потребителями приходилось бы ждать, пока их заказы будут выполнены. Главная причина создания запасов продовольствия и сельскохозяйственного сырья – сезонность его производства. Кроме того, цены на сырье, применяемое изготовителем, могут подвергаться значительным сезонным колебаниям. Когда цена низка, выгодно создавать достаточные запасы сырья, которые в течении всего сезона высоких цен по мере надобности использовались бы в производстве. Другой довод, особенно важный для предприятий розничной торговли, состоит в том, что объем продажи и прибыль возрастут, если имеется некоторый запас товаров, предлагаемых потребителю.

С помощью математических методов можно выработать правила управления запасами. Если для решения задач управления запасами применяются математические методы, то исследуемую систему необходимо описать с помощью математической модели.

В этой курсовой работе рассматриваются как детерминированные, так и стохастические модели управления запасами, которые имеют не только теоретическое, но и практическое значение.

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ТЕОРЕТИЧЕНСКИЕ ОСНОВЫ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

 

1. Типы моделей управления запасами.

Разнообразие моделей определяется характером спроса, который может быть детерминированным (достоверно известным) или вероятностным (задаваемым плотностью вероятности). Типы моделей управления запасами зависят от характера спроса.

Детерминированный спрос может быть статическим, в том смысле, что интенсивность потребления остается неизменной во времени, или динамическим, когда спрос известен достоверно, но изменяется от времени.

Вероятностный спрос может быть стационарным, т.е. функция плотности вероятности спроса не изменяется с течением времени, и нестационарным, когда функция плотности распределения вероятности спроса изменяется со временем. [4, c.150]

 

 

 Рис. 1.1. Типы моделей  управления запасами в зависимости  от характера спроса

 Источник: [4, с.150]

 

В реальных условиях случай детерминированного статического спроса встречается редко. Такой случай можно рассматривать как простейший. Наиболее точно характер спроса может быть описан посредством вероятностных нестационарных распределений. Представленную классификацию можно считать представлением различных уровней абстракции описания спроса.

На первом уровне предполагается, что распределение вероятностей спроса стационарно во времени. Это означает, что для описания спроса в течение всех исследуемых периодов времени используется одна и та же функция распределения вероятностей. Это упрощение означает, что влияние сезонных колебаний спроса в модели не учитывается.

На втором уровне абстракции учитываются изменения от одного периода к другому, но при этом функции распределения не применяются, а потребности в каждом периоде описываются средней величиной спроса. Это упрощение означает, что элемент риска в управлении запасами не учитывается. Однако оно позволяет учитывать сезонные колебания спроса.

На третьем уровне упрощения исключаются как элементы риска, так и изменения спроса. Тем самым спрос в течение любого периода предполагается равным среднему значению известного (по предположению) спроса по всем рассматриваемым периодам. В результате этого упрощения спрос можно оценить его постоянной интенсивностью.[3, c.87]

Хотя характер спроса является одним из основных факторов при построении модели управления запасами, имеются другие факторы, влияющие на выбор типа модели.

1. Запаздывания поставок или сроки выполнения заказов. После размещения заказа он может быть поставлен немедленно или потребуется некоторое время на его выполнение. Интервал времени между моментом размещения заказа и его поставкой называется запаздыванием поставки, или сроком выполнения заказа. Эта величина может быть детерминированной или случайной.

2. Пополнение запаса. Хотя система управления запасами может функционировать при запаздывании поставок, процесс пополнения запаса может осуществляться мгновенно или равномерно во времени. Мгновенное пополнение запаса может происходить при условии, когда заказы поступают от внешнего источника. Равномерное пополнение может быть тогда, когда запасаемая продукция производится самой организацией. В общем случае система может функционировать при положительном запаздывании поставки и равномерном пополнении запаса.

3. Период времени определяет интервал, в течение которого осуществляется регулирование уровня запаса. В зависимости от отрезка времени, на котором можно надежно прогнозировать, рассматриваемый период принимается конечным или бесконечным.

4. Число пунктов накопления запасов. В систему управления запасами может входить несколько пунктов хранения запаса. В некоторых случаях эти пункты организованы таким образом, что один выступает в качестве поставщика для другого. Эта схема иногда реализуется на различных уровнях, так что пункт-потребитель одного уровня может стать пунктом-поставщиком на другом уровне. В таком случае говорят о системе управления запасами с разветвленной структурой.

5. Число видов продукции. В системе управления запасами может фигурировать более одного вида продукции. Этот фактор учитывается при условии наличия некоторой зависимости между различными видами продукции. Так, для различных изделий может использоваться одно и то же складское помещение или же их производство может осуществляться при ограничениях на общие производственные фонды. [2, c.77]

Чрезвычайно трудно построить обобщенную модель управления запасами, которая учитывала бы все разновидности условий, наблюдаемых в реальных системах. Но если бы и удалось построить универсальную модель, она едва ли оказалась аналитически разрешимой. [1, c.129]

 

1.2 Модели управления запасами с вероятностным спросом.

Вероятностные модели управления запасами, основаны на пополнении уровня обслуживания.

Резервный запас – это величина, постоянно поддерживаемая дополнительно к ожидаемой потребности.

Уровень обслуживания – это доля или процент от общей величины спроса, которые можно реально получить из резервного запаса.

Если наибольшая годовая потребность в каком-либо изделии составляет 1000 штук, то 95% уровень обслуживания будет означать, что 950 штук можно будет получить из наличного запаса, а 50 штук не хватит.

Концепция уровня обслуживания основана на статистической характеристике, называемой ожидаемая «z», или E (z).

E (z) – это ожидаемое количество изделий, которых может не хватать на протяжении каждого интервала времени выполнения заказа.

Значения E (z) сведены в таблицу. Статистическая таблица (таблица Брауна) показывает зависимость ожидаемого дефицита изделий E (z) от резервного запаса, выраженная в стандартных отклонениях спроса. Табличные значения приведены к стандартному отклонению спроса = 1.[9, c.235]

Модель с фиксированным объёмом заказа и концепция уровня обслуживания.

Рис. 1.2. Диапазон отклонений в модели с фиксированным размером заказа

Источник: [12, с.58]

 

Важнейшее различие между моделью, в которой спрос является постепенным, и вероятностной моделью заключается в порядке выполнения точки заказа. Объём партии (q) будет одинаков, а элемент неопределённости учитывается путём установления резервного запаса.

Точка заказа S определяется по формуле:            

    ,                                            (1.1)

где  - средняя потребность в единицу времени;

- средняя продолжительность  заготовительного периода в днях;

z - число стандартных отклонений спроса в резервном запасе для заданного уровня обслуживания;

- стандартное  отклонение спроса в течение  заготовительного периода.

Значение  определяется в зависимости от условий задачи по одной из 3 формул. Первая формула применяется, если изменяется только спрос, а продолжительность заготовительного периода постоянна.

 ,                                            (1.2)

где    - стандартное отклонение спроса в единицу времени.

Если изменяется только заготовительный период, а спрос постоянен, то:                                                                                             (1.3)

Когда изменяется и спрос и заготовительный период, то:

                                          (1.4)

Чтобы определить значение z вычисляется E(z) – величина дефицита, удовлетворяющая данному уровню обслуживания, затем по таблице Брауна определяется величина z.

,               (1.5)

 

где E(z) - ожидаемый дефицит изделий в каждом цикле заказа;

 

 - требуемый уровень обслуживания;

 – объем партии, рассчитанный по формуле Уилсона. [12, с.58]

 

Модель с фиксированной периодичностью и концепция уровня обслуживания.

Рис. 1.3. Вероятностная модель с фиксированной периодичностью заказа

       Источник: [13, с.98]

 

Рассмотренную ситуацию с переменным спросом и с постоянной продолжительностью заготовительного периода. Объемов заказов такой модели можно представить:

Рис. 1.4. Объём заказов модели с фиксированной периодичностью.

Источник: [13, с.98]

 

 

                                       (1.6)

(1.7)

         ,                                  (1.8)

где l – промежуток времени между подачей заявок;

 

 – отклонение спроса в период времени в течении цикла заказа и заготовительного периода;

Z – текущий уровень запаса. [13, c.98]

 

1.3 Модель с непрерывным контролем уровня запаса.

  Рассмотрим две модели управления запасами:

• обобщенная детерминированная модель экономичного размера заказа на вероятностный случай, в которой используется буферный запас, отвечающий за случайный спрос;
• вероятностная модель экономичного размера заказа, учитывающая вероятностный характер спроса непосредственно в постановке задачи.[7, c.113]

«Рандомизированная» модель экономичного размера заказа.

Адаптируем детерминированную модель экономичного размера заказа  для    вероятностного спроса.  Используем  приближенный метод, который предполагает существование постоянного буферного запаса на протяжении всего планового периода. Размер резерва устанавливается так, чтобы вероятность истощения запаса в течение периода выполнения заказа (интервала между моментом размещения заказа и его поставкой) не превышала наперед заданной величины.

Введем следующие обозначения:

• L — срок выполнения заказа, т.е. время от момента размещения заказа до его поставки;
• X1— случайная величина, представляющая величину спроса на протяжении срока выполнения заказа;
• m1  — средняя величина спроса на протяжении срока выполнения заказа;
• σ1 — среднеквадратическое отклонение величины спроса на протяжении срока выполнения заказа;
• В — размер резервного запаса;
• α — максимально возможное значение вероятности истощения запаса на протяжении срока выполнения заказа.

Основным предположением при построении модели является то, что величина спроса Х1 на протяжении срока выполнения заказа L является нормально распределенной случайной величиной со средним μ1 и стандартным отклонением σ1 т.е. имеет распределение N(μ1,σ1)

На рис. 1.5 показана зависимость между размером резервного запаса В и параметрами детерминированной модели экономичного размера заказа, которая включает срок выполнения заказа L, среднюю величину спроса μ1 на протяжении срока выполнения заказа и экономичный размер заказа у*. Заметим, что L должно быть равно эффективному времени выполнения заказа. [2, c.80]

Уровень запаса

Время

Рис. 1.5 Зависимость между размером резервного запаса и параметрами детерминированной модели экономичного размера заказа.

Источник: [2, с.80]

 

Вероятностное условие, которое определяет размер резервного запаса В, имеет вид:

                                                                                                                    (1.9)

 

По определению случайная величина

 

                                          (1.10)

является нормированной нормально распределенной случайной величиной, т.е. имеет распределение N(0,1). Следовательно,

 

                                                                                                                         (1.11)

Величина          , которая определяется из таблицы стандартного нормального распределения, так что:

                                                                        (1.12)

Следовательно, размер резервного запаса должен удовлетворять неравенству

B≥σL           .

Величина спроса на протяжении срока выполнения заказа L обычно описывается плотностью распределения вероятностей, отнесенной к единице времени (например, ко дню или неделе), из которой можно определить распределение спроса на протяжении периода L. В частности, если спрос за единицу времени является нормально распределенной случайной величиной со средним D и стандартным отклонением σ, то общий спрос на протяжении срока выполнения заказа L будет иметь распределение N(μL, σL), где μL=DL и σL=         . Формула для σL получена на основании того, что значение L является целым числом (или же округлено до целого числа).[11, c.67]

 

Вероятностный вариант модели экономичного размера заказа.

"Рандомизированная" модель экономичного размера заказа не дает оптимальную политику управления запасами. Информация, имеющая отношение к вероятностной природе спроса первоначально не учитывается, а используется лишь независимо на последнем этапе вычислений. Рассмотрим более точную модель, в которой вероятностная природа спроса учитывается непосредственно в постановке задачи.[5, c. 39]

В новой модели допускается неудовлетворенный спрос (рис. 1.6). Заказ размером у размещается тогда, когда объем запаса достигает уровня R. Как и в детерминированном случае, уровень R, при котором снова размещается заказ, является функцией периода времени между размещением заказа и его выполнением. Оптимальные значения у и R определяются минимизацией ожидаемых затрат системы управления запасами, отнесенных к единице времени; они включают как расходы на размещение заказа, на хранение, так и потери, связанные с неудовлетворенным спросом.[8, c.163]

Рис. 1.6 Неудовлетворенный спрос.

Источник: [8, c.163]

 

В рассматриваемой модели приняты три допущения: 
  1. Неудовлетворенный в течение срока выполнения заказа спрос накапливается. 
  2. Разрешается не более одного невыполненного заказа. 
  3. Распределение спроса в течение срока выполнения заказа является стационарным (неизменным) во времени.

Для определения функции, отражающей суммарные затраты, отнесенные к единице времени, введем следующие обозначения:

• f(x) — плотность распределения спроса х в течение срока выполнения заказа;
• D — ожидаемое значение спроса в единицу времени;
• h — удельные затраты на хранение (на единицу продукции за единицу времени);
• р — удельные потери от неудовлетворенного спроса (на единицу продукции за единицу времени);
• К — стоимость размещения заказа.

Основываясь на этих определениях, вычислим компоненты функции затрат.

1. Стоимость размещения заказов. Приближенное число заказов в единицу времени равно D/y, так что стоимость размещения заказов в единицу времени равна KD/y.
2. Ожидаемые затраты на хранение. Средний уровень запаса равен:

               (1.13) 
 
Следовательно, ожидаемые затраты на хранение за единицу времени равны hI.

Приведенная формула получена в результате усреднения ожидаемых запасов в начале и конце временного цикла, т.е. величин у + M{R-х} и M{R-х} соответственно. При этом игнорируется случай, когда величина R - М{х} может быть отрицательной, что является одним из упрощающих допущений рассматриваемой модели.

3. Ожидаемые потери, связанные с неудовлетворенным спросом.  
   Дефицит возникает при х > R. Следовательно, ожидаемый дефицит за единицу времени равен

                                                                                                                  (1.14) 
 
            Так как в модели предполагается, что р пропорционально лишь объему дефицита, ожидаемые потери, связанные с неудовлетворенным спросом, за один цикл равны pS. Поскольку единица времени содержит D/y циклов, то ожидаемые потери, обусловленные дефицитом, составляют pDS/y за единицу времени.

Результирующая функция общих потерь за единицу времени TCU имеет следующий вид.

(1.15)

 

Оптимальные значения у* и R* определяются из представленных ниже уравнений:

                                  (1.16) 

 

                                                                                                           (1.17)

 

Следовательно, имеем

 
                                                                                                                           (1.18) 
 
(1.19) 
                                                                                                                          

Так как из уравнений (1.18) и (1.19) у* и R* нельзя определить в явном виде, для их нахождения используется численный алгоритм, предложенный Хедли и Уайтин (Hadley, Whitin). Доказано, что алгоритм сходится за конечное число итераций при условии, что допустимое решение существует.

При R = 0 последние два уравнения соответственно дают следующее. 
                                                                            

                                                                                                                 (1.20) 
 
                                                                                                                      (1.21)

Если       ≥     , тогда существуют единственные оптимальные значения для у и R. Вычислительная процедура определяет, что наименьшим значением у* является                 , которое достигается при S = 0.

Алгоритм состоит из следующих шагов:

Шаг 0. Принимаем начальное решение                                      и считаем  R0 = 0. Полагаем i = 1 и переходим к шагу i.

Шаг i. Используем значение уi для определения Ri, из уравнения (1.19). Если Ri≈ R i-1, вычисления заканчиваются; оптимальным решением считаем у* = уi и R* = Ri. Иначе используем значение Ri в уравнении (1.18) для вычисления уi. Полагаем i=i+1 и повторяем шаг i. [10, c. 229]

1.4 Обобщенная модель управления запасами.

Задача управления запасами возникает, когда необходимо создать запас материальных ресурсов или предметов потребления с целью удовлетворения спроса на заданном интервале времени.

 Для обеспечения непрерывного  и эффективного функционирования  практически любой организации  необходимо создание запасов. В  любой задаче управления запасами требуется определить количество заказываемой продукции и сроки размещения заказов.[1, c. 127]

Спрос можно удовлетворить 2 способами:

1. путем однократного  создания запаса на весь рассматриваемый  период времени;

2. посредством создания  запаса для каждой единицы  времени этого периода.

Эти два случая соответствуют избыточному запасу (по отношению к единице времени) и недостаточному запасу (по отношению к полному периоду времени).

При избыточном запасе требуются более высокие удельные (отнесенные к единице времени) капитальные вложения, но дефицит возникает реже и частота размещения заказов меньше.

При недостаточном запасе удельные капитальные вложения снижаются, но частота размещения заказов и риск дефицита возрастают.

Для любого из этих двух крайних случаев характерны значительные экономические потери. Таким образом, решения относительно размера заказа и момента его размещения могут основываться на минимизации соответствующей функции общих затрат, включающих затраты, обусловленные потерями от избыточного запаса и дефицита.[,c.58]

Любая модель управления запасами в конечном счете должна дать ответ на два вопроса:

1. Какое количество продукции  заказывать?

2. Когда заказывать?

Ответ на первый вопрос выражается через размер заказа, определяющего оптимальное количество ресурсов, которое необходимо поставлять всякий раз, когда происходит размещение заказа. В зависимости от рассматриваемой ситуации размер заказа может меняться во времени.

 

Ответ на второй вопрос зависит от типа системы управления запасами. Если система предусматривает периодический контроль состояния запасами через равные промежутки времени (еженедельно или ежемесячно), момент поступления нового заказа обычно совпадает с началом каждого интервала времени. Если же в системе предусмотрен непрерывный контроль состояния запаса, точка заказа обычно определяется уровнем запаса, при котором необходимо размещать новый заказ.

Таким образом, решение обобщенной задачи управления запасами определяется следующим образом:

1. В случае периодического контроля состояния запаса следует обеспечивать поставку нового количества ресурсов в объеме размера заказа через равные промежутки времени.

2. В случае непрерывного контроля состояния запаса необходимо размещать новый заказ в размере объема запаса, когда его уровень достигает точки заказа.

Размер и точка заказа обычно определяются из условий минимизации суммарных затрат системы управления запасами, которые можно выразить в виде функции этих двух переменных.[6, c.247]

 Суммарные затраты системы управления запасами выражаются в виде функции их основных компонент:

Суммарные затраты системы управления запасами

=

Затраты на приобретение

+

Затраты на оформление заказа

+

Затраты на хранение заказа

+

Потери от дефицита

Таблица 1.1

Таблица 1.1

Суммарные затраты системы управления запасами

Источник: [6, c. 248].

 

Затраты на приобретение становятся важным фактором, когда цена единицы продукции зависит от размера заказа, что обычно выражается в виде оптовых скидок в тех случаях, когда цена единицы продукции убывает с возрастанием размера заказа.

Затраты на оформление заказа представляют собой постоянные расходы, связанные с его размещением. При удовлетворении спроса в течение заданного периода времени путем размещения более мелких заказов (более часто) затраты возрастают по сравнению со случаем, когда спрос удовлетворяется посредством размещения более крупных заказов (и, следовательно реже).

Затраты на хранение запаса, которые представляют собой расходы на содержание запаса на складе (затраты на переработку, амортизационные расходы, эксплуатационные расходы) обычно возрастают с увеличением уровня запаса.

Потери от дефицита представляют собой расходы, обусловленные отсутствием запаса необходимой продукции.

Модель управления запасами не обязательно должна включать все четыре вида затрат, так как некоторые из них могут быть незначительными, а иногда учет всех видов затрат чрезмерно усложняет функцию суммарных затрат. На практике какую-либо компоненту затрат можно не учитывать при условии, что она не составляет существенную часть общих затрат. [9, с.150]

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Применение  вероятностных моделей управления  запасами в решении задач

Пример 1. Экономичный размер заказа. (Пример решения вероятностной задачи, рассмотренной в п.1.2 (Модель с фиксированным объемом и концепция уровня обслуживания)).

Пусть годовая потребность D=1000 единиц, экономичный размер заказа  =200 единиц, требуемый уровень обслуживания = 0,95, стандартное отклонение потребности в течение периода выполнения заказа  = 25 единиц, в году 250 рабочих дней, а период выполнения заказа  = 15 дней. Требуется определить точку очередного заказа.

Решение.

В нашем примере = 4 (1000 изделий в год, деленные на 250 рабочих дней). Для нахождения точки запаса S воспользуемся формулой (1.1):

 

Следовательно,  S=4*15+z*25.

Чтобы найти z, воспользуемся формулой для E(z) (1.5)

 

и найдем соответствующее значение в таблице Брауна. В нашем примере  = 200, уровень обслуживания  =0,95, а стандартное отклонение потребности в течение периода выполнения заказа =25.

Следовательно,

 

Из таблицы Брауна по E(z) = 0,4 находим, что z = 0. Подставляя это значение в выражение для S, получаем

S=4*15+z*25=60+0*25=60 единиц

Это говорит о том, что, когда текущий запас снижается до 60 единиц, нужно заказать еще 200 единиц.

Теперь вычислим потребность в изделиях, которая фактически удовлетворяется в течение года. Это даст нам возможность увидеть, действительно ли получается 95%-ный уровень обслуживания. 

E(z) — ожидаемый дефицит по каждому заказу при стандартном отклонении, равном 1. Дефицит по каждому заказу в нашем случае составит:

E(z) = 0,4*25 = 10.

Поскольку каждый год размещаются пять заказов (1000/200), это означает дефицит 50 единиц.

Такой результат подтверждает, что нам действительно удалось обеспечить 95%-ный уровень обслуживания, поскольку из запаса можно получить 950 единиц при общей потребности в 1000 единиц.

Пример 2. Величина заказа. (Пример решения вероятностной задачи, рассмотренной в п.1.2 (Модель с фиксированным периодом и концепция уровня обслуживания)).

Ежедневная потребность в определенном изделии составляет 10 единиц; стандартное отклонение— три единицы. Контрольный период — 30 дней, а период выполнения заказа — 14 дней. Руководство фирмы приняло решение создавать запас, обеспечивающий 98%-ное удовлетворение потребности. В начале данного контрольного периода в запасе есть 150 изделий. Сколько изделий нужно заказать?