Вероятностные модели управления запасами

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1 Основные стратегии управления запасами 4

2 Типы моделей управления запасами 4

3 Простейшие модели управления запасами 5

3.1. Однопродуктовая статическая модель 5

3.2. Однопродуктовая статическая модель, допускающая дефицит…… …..7

3.3. Модель с постепенным пополнением запасов ………………………7

3.4 Модель  с постепенным пополнением запасов,  допускающая дефицит.9

4 Вероятностные  модели управления запасами……………….…………....10

4.1 Модель  с фиксированным размером заказа  и уровень обслуживания.10

4.2Модель с фиксированной периодичностью заказа и уровень обслуживания…………………………………………………………………….11

5  Однопериодная  модель………………………………………………………12

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..14

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ..15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Управление  запасами является ключевой активностью, составляющей наиболее важную сферу  логистического менеджмента фирмы, т.е. точки зрения трудоемкости, так  и связанных с нею затрат. Запасы в том или ином виде присутствуют на всем протяжении этических цепей  и каналов. Запасы как экономическая  категория играют важную роль в сферах производства и обращения продукции.

По месту  продукции в канале (цепи) и ее укрупнению можно выделить запасы материальных ресурсов (МР), незавершенного производства (НП), готовой продукции (ГП), тары и  возвратных отходов.

Запасы  в снабжении — это МР, находящиеся  в каналах (цепях) от поставщиков  до складов МР товаропроизводителя, предназначенные для обеспечения  производства ГП.

Производственные  запасы — это запасы МР и НП, предназначенные для обеспечения выполнения производственного расписания в пределах производственно-технологических подразделении фирмы.

Сбытовые (товарные) запасы — это запасы ГП, находящиеся на складах ГП фирмы-производителя  и в дистрибутивной сети и предназначенные  для удовлетворения спроса потребителей (продажи).

К специфическим  складским запасам относятся  запасы в процессе грузопереработки без операции хранения (например, перевалка в одном транспортном узле с одного вида транспорта на другой).

Основной  проблемой управления запасами является согласование (координация) зачастую противоположных  идей различных сфер бизнеса фирмы (маркетинга, производства финансов) по отношению к запасам.

Задача управления запасами возникает, когда необходимо создать запас  материальных ресурсов или предметов  потребления с целью удовлетворения спроса на заданном интервале времени (конечном или бесконечном). Для обеспечения  непрерывного и эффективного функционирования практически любой организации  необходимо создание запасов. В любой  задаче управления запасами требуется  определять количество заказываемой продукции  и сроки размещения заказа. Спрос  можно удовлетворить путём однократного создания запаса на весь рассматриваемый  период времени или посредством  создания запаса для каждой единицы  времени этого периода. Эти два  случая соответствую избыточному запасу (по отношению к единице времени) и недостаточному запасу (по отношению  к полному периоду времени).

 

 

 

 

 

 

 

1. Основные стратегии управления запасами

 

Любая стратегия  регулирования запасов призвана отвечать на два основных вопроса: когда  заказывать очередную партию продукции, и сколько товара заказать?

Выделяют  две основные стратегии регулирования  запасов:

1) система  с фиксированным размером заказа;

2) система  с фиксированной периодичностью  заказа.

 

Рис. 1 – Порядок функционирования основных стратегий управления запасами

 

2 Типы моделей управления запасами

 

Несмотря  на то, что любая модель управления запасами призвана отвечать на два  основных вопроса (когда и сколько), имеется значительное число моделей, для построения которых используется разнообразный математический аппарат.

Итак, в  зависимости от характера спроса модели управления запасами могут быть

·  детерминированными;

·  вероятностными.

В свою очередь  детерминированный спрос может  быть статическим, когда интенсивность потребления не изменяется во времени, или динамическим, когда достоверный спрос с течением времени может изменяться.

Вероятностный спрос может быть стационарным, когда плотность вероятности спроса не изменяется во времени, и нестационарным, где функция плотности вероятности меняется в зависимости от времени. Приведенную классификацию поясняет рисунок 2.

 

Рис. 2 Типы моделей управления запасами в зависимости от характера спроса

 

Кроме характера  спроса на продукцию при построении моделей управления запасами приходится учитывать множество других факторов, например:

·  сроки выполнения заказов. Продолжительность заготовительного периода может быть постоянной либо являться случайной величиной;

·  процесс пополнения запаса. Может быть мгновенным либо распределенным во времени;

·  наличие ограничений по оборотным средствам, складам и т.п.

 

3 Простейшие модели управления запасами

 

3.1 Однопродуктовая статическая модель

 

 

Модель  управления запасами простейшего типа характеризуется тремя свойствами:

·  постоянным во времени спросом;

·  мгновенным пополнением запаса;

·  отсутствием дефицита.

В этом случае модель с фиксированным размером заказа и модель с фиксированной  периодичностью ведут себя совершенно одинаково, поскольку интенсивность  спроса и продолжительность заготовительного периода не изменяются.

На практике такой модели могут соответствовать  следующие ситуации: использование  осветительных ламп в здании; использование  крупной фирмой канцелярских товаров: бумаги, блокнотов, карандашей и т.д., потребление основных продуктов  питания.

График  движения запаса на складе для подобной ситуации представлен на рисунке 3. На рисунке обозначены:

q - размер  партии;

Z_ср = q/2 - средний уровень запаса;

 - тангенс  соответствующего угла, интенсивность  спроса (количество продукции, потребляемой  в единицу времени);

S – «точка  заказа»;

 – продолжительность  заготовительного периода;

l - продолжительность  цикла заказа (планируемого периода).

 

Рис. 3 Движение запаса в однопродуктовой статической модели

 

Для такой  модели размер запаса в определеный  момент времени может быть рассчитан  по формуле:

Z(t) = Z(0) -  t + W(t),

где W(t) - суммарное поступление продукта за период [0,t].

Величина  суммарных поступлений определяется из соотношения:

W(t) = q∙n(t),

(

где n(t) - полное число поставок за период [0,t].

При этом l =  , т.е. уровень запаса достигнет нуля, спустя   единиц времени после получения заказа размером q.

Полное  число поставок:

n(t) =   =  ,

(

где [ ] - целая часть числа.

Из соотношений  получим:

Z(t) = Z(0) -  t + q∙ .

 

Чем меньше q, тем чаще нужно размещать новые  заказы. Однако при этом средний  уровень запаса будет уменьшаться.

С другой стороны, с увеличением q уровень  запаса повышается, но заказы размещаются  реже.

Так как  затраты зависят от частоты заказов  и объема хранимого запаса, то величина q должна определяться из условия обеспечения  сбалансированности между двумя  видами затрат.

 

3.2 Однопродуктовая статическая модель, допускающая дефицит

 

 

В рассмотренной  выше простейшей модели дефицит продукции  не допускается. В общем случае, когда  потери от дефицита сопоставимы с  расходами по содержанию запасов, дефицит  допустим.

График  движения запаса для такой ситуации приведен на рисунке 4, где   обозначает количество продукции, потребляемой в течение заготовительного периода.

 

Рис. 4 – Движение запаса в однопродуктовой статической модели, допускающей дефицит

 

Оптимальные значения параметров q^* и S^*имеют следующий вид:

(

 

3.3 Модель с постепенным пополнением запасов

 

 

В некоторых  случаях, например, когда предприятие  одновременно является производителем и потребителем изделий, запасы пополняются  постепенно, а не мгновенно. Если темпы  производства и потребления одинаковы, то запасы создаваться вообще не будут, поскольку весь объем выпуска  сразу же используется. В этом случае вопрос об объеме партии не рассматривается. Чаще бывает, что темп производства превышает темп потребления.

График  движения запасов в такой системе  будет иметь вид, соответствующий  графику, представленному на рисунке 5. Приведем обозначения необходимых для дальнейшего анализа величин:

q - объем  производимой партии, шт.;

 - интенсивность  потребления, шт./ед. времени;

 - темп  производства, шт./ед. времени; соответственно,   -   - темп прироста запасов (шт./ед. времени), на графике - тангенс соответствующего угла;

Z_max - максимальный уровень запасов;

b - расходы  на хранение единицы продукции  в единицу времени, ед. стоимости;

c₀ - затраты на пуско-наладочные работы, ед. стоимости;

 - продолжительность  пуско-наладочных работ, иначе  время упреждения заказа, ед. времени.

 

Рис. 5 Движение запасов в модели с постепенным пополнением

 

Из графика  видно, что изделия производятся в течение только части цикла, потому что темп производства выше темпа потребления; потребление  же происходит на протяжении всего  цикла. Во время производственной стадии цикла создаются запасы. Их уровень  равен разнице между уровнем  производства и уровнем потребления. Пока продолжается производство, уровень  запасов будет повышаться. Когда  производство прекращается, уровень  запасов начинает снижаться. Следовательно, уровень запасов будет максимальным в момент завершения производственной стадии. Когда наличный запас будет  исчерпан, производство возобновляется, и весь цикл повторяется вновь.

Когда компания сама производит изделия, то у нее  нет как таковых расходов на заказ. Однако для каждой производственной партии существуют расходы на подготовку - это стоимость подготовки оборудования к данному производственному  процессу: наладка, замена инструмента  и т.п. По иному такие расходы  называются затратами на пуско-наладочные работы. Стоимость подготовки в данном случае аналогична стоимости заказа, поскольку она не зависит от размера  партии. Аналогично и использование  этих величин при расчетах.

суммарные затраты V(t) за период времени [0,t]:

V(t) = c0n(t) + b∙Zср∙t → min.

Используя соотношениe и переходя к затратам в единицу времени (для этого  разделим предыдущее выражение на t), получим:

V = c0∙  + b∙  → min.

Выразим Z_max через q (объем производственной партии).

Zmax =   (  -  ),

откуда:

V = c0∙  +  ∙(  -  ) → min.

Приравняем  нулю производную:

Выразим q:

(

Оптимальное значение "точки заказа" S^* в этом случае :

S* =  .

 

3.4 Модель с постепенным пополнением запасов, допускающая дефицит

 

График  движения запасов в такой системе представлен на рисунке 6. Все приведенные на рисунке обозначения уже использовались нами ранее.

 

Рис. 6 Движение запасов в модели с постепенным пополнением, допускающей дефицит

 

Не производя  вывод формул для оптимальных  параметров такой модели, запишем  итоговые выражения.

Оптимальный размер партии q^* будет равен:

(

"Точка  заказа" (критический уровень  запаса, при достижении которого  следует начать пуско-наладочные  работы):

(

Оптимальная продолжительность цикла l^*:

(

При данных значениях параметров достигается  минимум суммарных затрат в единицу  времени. Его можно рассчитать по формуле:

(

 

4. Вероятностные модели управления запасами

 

4.1 Модель с фиксированным размером заказа и уровень обслуживания

 

 

При использовании  такой стратегии уровень запаса отслеживается непрерывно. Опасность  исчерпания запаса возникает здесь  только в течение времени выполнения заказа (в течение заготовительного периода).

Величина  резервного запаса зависит от требуемого уровня обслуживания. Объем партии заказа q вычисляется обычным способом. Затем устанавливается "точка  заказа", которая учитывает ожидаемую  потребность в течение заготовительного периода, плюс резервный запас, определяемый требуемым уровнем обслуживания.

 

Рис. 7 Диапазон отклонений потребности в модели с фиксированным размером заказа

 

Таким образом, важнейшее различие между моделью, в которой потребность известна, и моделью, где потребность является случайной величиной, заключается  в определении "точки очередного заказа". Объем заказа в обоих  случаях одинаков. При этом элемент  неопределенности учитывается в  резервном запасе.

 

4.2 Модель с фиксированной периодичностью заказа и уровень обслуживания

 

 

Модель  с фиксированной периодичностью предполагает, что размеры заказов  различны для разных циклов. Таким  образом, размер запаса регулируется за счет изменения объема партии. Возобновление  же заказа определяется временем. Следовательно, модель с фиксированной периодичностью должна иметь защиту от исчерпания запасов (резервный запас) не только на время исполнения заказа, но и на весь последующий цикла заказа.

Таким образом, модель с фиксированной периодичностью больше нуждается в резервном  запасе, чем модель с фиксированным  размером партии.

 

Рис.8 Вероятностная модель с фиксированной периодичностью заказа

 

Рассмотрим  ситуацию с переменным спросом и  постоянной продолжительностью заготовительного периода. Ситуация наиболее частая с  точки зрения практики, а также  наиболее простая для изучения.

Объем заказа в такой модели будет определяться по следующей схеме:

 

 

Соотношение, представленное на схеме, запишем в  виде формулы:

q =  (l +  ) +   - Z,

(

где q - размер очередного заказа;

 - средняя  интенсивность спроса;

l - промежуток  времени между подачей заявок;

 - продолжительность  заготовительного периода;

z - число  стандартных отклонений спроса  в резервном запасе для заданного  уровня обслуживания;

 - стандартное  отклонение спроса в течение  цикла заказа и заготовительного  периода;

Z – текущий  уровень запаса.

 

5 Однопериодная модель

 

Такая модель применяется при заказе скоропортящихся  продуктов и предметов с ограниченным сроком годности. Это, например, свежие фрукты и овощи, живая рыба, цветы, газеты, журналы.

Для данной категории товаров характерной  чертой является тот факт, что непроданные (или неиспользованные) товары не хранятся более одного периода.

 

Анализ  однопериодной модели сфокусирован на двух видах затрат:

1) издержки, связанные с нехваткой запасов;

2) издержки, связанные с излишком запасов.

Рассмотрим  оба вида издержек.

Издержки  нехватки включают в себя потери от нереализованных продаж. Этот вид издержек выражается как нереализованная прибыль на единицу товара:

 

 

Издержки  избыточных запасов образуются в случае, если часть товара осталась нереализованной к концу периода.

Издержки  избытка – разность между закупочной ценой единицы товара и выручкой от экстренной реализации:

 

 

Задача  однопериодной модели – определить объем заказа, который обеспечит  минимальные издержки, связанные  с недостаточными или избыточными  запасами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Итак, как  видно из данной работы разработаны  самые разнообразные модели, описывающие  различные частные случаи. Одним  из решающих факторов при разработке модели управления запасами является характер спроса. В наиболее простых  моделях предполагается, что спрос  является статическим детерминированным.

В большинстве  моделей управление запасами осуществляется оптимизацией функции затрат, включающей затраты на оформление заказов, закупку  и хранение продукции, а также  потери от дефицита. Потери от дефицита обычно наиболее сложно оценить т.к. они могут быть обусловлены такими нематериальными факторами, как, например, ухудшение репутации. С другой стороны, хотя оценку затрат на оформление заказа получить нетрудно, включение в модель этой статьи расходов существенно усложняет  математическое описание задачи.

Известные модели управления запасами редко точно  описывают реальную систему. Поэтому  решение, получаемое на основе моделей  этого класса, следует рассматривать  скорее как принципиальные выводы, а не конкретные рекомендации. В  ряде сложных случаев приходится прибегать к методам имитационного  моделирования системы, чтобы получить достаточно надежное решение.

Таким  образом,  для  моделирования  эффективной  системы   управления запасами   материальных   ресурсов необходимо    разработать     нормы  запасов  данных   материалов,   используя эвристические,   методы   технико-экономических   расчетов   и    экономико-математические методы.

При помощи моделирования доказывается эффективность  применяемых мер внутри производства или производственной программы, поскольку  могут быть измерены периоды прохода  продукта через всю технологическую  линию. При помощи моделирования  можно также проверить проекты  гибких производственных участков, обслуживаемых  автоматическими транспортными  средствами, оценить затраты на материально-техническое  снабжение производства. Фирмы часто  используют математические модели для  выбора уровней запасов путем  балансирования затрат на подготовительные операции или расходов на выполнение заказа и сопоставления затрат при  дефиците запасов с затратами  на хранение запасов. Затраты на хранение запасов включают в себя не только затраты на содержание запасов на складе, издержки вследствие порчи  продукции, а стоимость морального износа, но и издержки капитала, иными  словами, норму прибыли, которую  можно было бы получить, используй  другие возможности инвестирования при эквивалентном риске.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Гаджинский А.М. Основы логистики: Учебное пособие.  -  М.:,1996.
2. Дегтяренко В.Н. Основы маркетинга: Учебное пособие /  Ростов, 1992.
3. Модели управления запасов // Экономическая жизнь .,2003 №8
4. Основы маркетинга:Учебник для вузов. М,2003.
5. Лавров О.В. Материальные потоки: Конспект лекции. Саратов, 1995.
6. Экономико-математическое  моделирование. Учебное пособие.М.,2002.