Виды и методы вычисления сложности алгоритма

 

 

 

] 1

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.........................................................................................................    3

1. Понятие алгоритма  и его сложности......................................................   5

1.1. Определение алгоритма.........................................................................   5

1.2. Понятие сложности алгоритма.............................................................   10

1.3. Верхние и средние оценки сложности алгоритмов...........................   13

2. Виды и методы вычисления сложности алгоритма.............................   15

2.1. Основные методы и приемы анализа сложности..............................   15

2.2. Анализ сложности рекурсивных алгоритмов....................................    22

Заключение...................................................................................................    24

Список использованной литературы.........................................................     25

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Темой данной курсовой работы является сложность алгоритма, виды и методы его вычисления.

Цель курсовой работы - всестороннее рассмотрение проблем, связанных с означенной темой.

Для достижения поставленной цели в курсовой работе решаются следующие задачи:

1 .Исследование понятия сложности алгоритма.

2. Определение методов вычисления сложности алгоритма.

Данная тема является актуальной, так как традиционно в программировании понятие сложности алгоритма связано с использованием ресурсов компьютера: насколько много процессорного времени требует программа для своего выполнения, насколько много при этом расходуется память машины? Учет памяти обычно ведется по объему данных и не принимается во внимание память, расходуемая для записи команд программы. Время рассчитывается в относительных единицах так, чтобы эта оценка, по возможности, была одинаковой для машин с разной тактовой частотой и с незначительными вариациями в архитектуре.

Такой подход сложился исторически и ориентируется прежде всего на научные и инженерные приложения теории алгоритмов: объемы данных значительно превышают размеры самой программы, а программа может выполняться несколько часов. Если в научных и инженерных приложениях большое время вычислений доставляет лишь неудобство пользователям, то в ряде других областей ресурсы настолько критичны, что может возникнуть проблема целесообразности всего проекта из-за неэффективной работы программы. К таким областям относятся системы реального времени (realtime systems). Это основанные на компьютерах системы, которые управляют процессами в реальном мире или обрабатывают информацию, служащую для принятия оперативных решений. 

Двойственная задача минимизации емкостной сложности при ограничениях на временную сложность возникает реже в силу архитектурных особенностей современных ЭВМ, поскольку запоминающие устройства разных уровней, входящие в состав машины, построены так, что программе может быть доступна очень большая, практически неограниченная область памяти - виртуальная память. Недостаточное количество основной памяти приводит лишь к некоторому замедлению работы из-за обменов с диском. Так как в любой момент времени программа работает лишь с двумя-тремя значениями и использование кэша и аппаратного просмотра команд программы вперед позволяет заблаговременно перенести с диска в основную память нужные значения, то можно констатировать, что минимизация емкостной сложности не является первоочередной задачей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.ПОНЯТИЕ АЛГОРИТМА И ЕГО СЛОЖНОСТИ

1.1 .Определение алгоритма

Во всех сферах своей деятельности, и частности в сфере обработки информации, человек сталкивается с различными способами или методиками решения задач. Некоторые дополнительные требования приводят к неформальному определению алгоритма:

Алгоритм - это заданное на некотором языке конечное предписание, задающее конечную последовательность выполнимых элементарных операций для решения задачи, общее для класса возможных исходных данных.¹

Пусть D - область (множество) исходных данных задачи, a R - множество возможных результатов, тогда мы можем говорить, что алгоритм осуществляет отображение D --> R. Поскольку такое отображение может быть не полным, то вводятся следующие понятия:

Алгоритм называется частичным алгоритмом, если мы получаем результат только для некоторых d є D и полным алгоритмом, если алгоритм получает правильный результат для всех d є D.

В теории алгоритмов были введены различные формальные определения алгоритма и удивительным научным результатом является доказательство эквивалентности этих формальных определений в смысле их равномощности. Варианты словесного определения алгоритма принадлежат российским ученым А.Н. Колмогорову и А.А. Маркову.

Определение 1. (Колмогоров): Алгоритм - это всякая система вычислений, выполняемых по строго определенным правилам, которая после какого-либо числа шагов заведомо приводит к решению поставленной задачи.

Определение 2 (Марков): Алгоритм - это точное предписание, определяющее вычислительный процесс, идущий от варьируемых исходных данных к искомому результату.

Различные определения алгоритма, в явной или неявной форме, постулируют следующий ряд требований.

алгоритм должен содержать конечное количество элементарно выполнимых предписаний, т.е. удовлетворять требованию конечности записи;

алгоритм должен выполнять конечное количество шагов при решении задачи, т.е. удовлетворять требованию конечности действий;

алгоритм должен быть единым для всех допустимых исходных данных, т.е. удовлетворять требованию универсальности;

алгоритм должен приводить к правильному по отношению к поставленной задаче решению, т.е. удовлетворять требованию правильности.

Другие формальные определения понятия алгоритма связаны с введением специальных математических конструкций (машина Поста, машина Тьюринга, рекурсивно-вычислимые функции Черча) и постулированием тезиса об эквивалентности такого формализма и понятия «алгоритм».

Будем рассматривать в дальнейшем, придерживаясь определений Поста, применимые к общей проблеме, правильные и финитные алгоритмы, т.е. алгоритмы, дающие 1-решение общей проблемы. В качестве формальной системы будем рассматривать абстрактную машину, включающую процессор с фон- Неймановской архитектурой, поддерживающий адресную память и набор «элементарных» операций соотнесенных с языком высокого уровня. В целях дальнейшего анализа примем следующие допущения:

каждая команда выполняется не более чем за фиксированное время;

-исходные данные алгоритма представляются машинными словами по

β битов каждое.

 

 

Конкретная проблема задается N словами памяти, таким образом, на входе алгоритма - Np = N*β бит информации. Программа, реализующая алгоритм для решения общей проблемы состоит из М машинных инструкций по βм битов - Мβ = М*β м бит информации. Кроме того, алгоритм может требовать следующих дополнительных ресурсов абстрактной машины:

Sd - память для хранения промежуточных результатов;

Sr - память для организации вычислительного процесса (память, необходимая для реализации рекурсивных вызовов и возвратов).

При решении конкретной проблемы, заданной N словами памяти алгоритм выполняет не более, чем конечное количество «элементарных» операций абстрактной машины в силу условия рассмотрения только финитных алгоритмов.¹

Определение 3 . Трудоёмкость алгоритма. Под трудоёмкостью алгоритма для данного конкретного входа - Fa(N), будем понимать количество «элементарных» операций совершаемых алгоритмом для решения конкретной проблемы в данной формальной системе.

Комплексный анализ алгоритма может быть выполнен на основе комплексной оценки ресурсов формальной системы, требуемых алгоритмом для решения конкретных проблем. Очевидно, что для различных областей применения веса ресурсов будут различны, что приводит к следующей комплексной оценке алгоритма:

ψA=cl * Fa(N) + с2 * М + сЗ * Sd + с4 * Sr, где сі - веса ресурсов.

При более детальном анализе трудоемкости алгоритма оказывается, что не всегда количество элементарных операций, выполняемых алгоритмом на одном входе длины N, совпадает с количеством операций на другом входе такой же длины. Это приводит к необходимости введения специальных обозначений, отражающих поведение функции трудоемкости данного алгоритма на входных данных фиксированной длины.

 

         

Пусть DA - множество конкретных проблем данной задачи, заданное в формальной системе. Пусть D є DA - задание конкретной проблемы и |D| = N.

В общем случае существует собственное подмножество множества DA, включающее все конкретные проблемы, имеющие мощность N:

обозначим это подмножество через DN: DN = {De DN,: |D| = NJ}

обозначим мощность множества DN через MDN , т.е. MDN = |DN |.

Тогда содержательно данный алгоритм, решая различные задачи размерности N, будет выполнять в каком-то случае наибольшее количество операций, а в каком-то случае наименьшее количество операций. Ведем следующие обозначения.

Fa˄(N) - худший случай - наибольшее количество операций, совершаемых алгоритмом А для решения конкретных проблем размерностью N:

Fa(N) = max {Fa (D)} - худший случай на DN

dϵd_n

Fa˅(N) - лучший случай - наименьшее количество операций, совершаемых алгоритмом А для решения конкретных проблем размерностью N:

Fa˅(N) = min {Fa (D)} - лучший случай на DN

dϵd_n

Fa(N) - средний случай - среднее количество операций, совершаемых алгоритмом А для решения конкретных проблем размерностью N:

Fa(N) = (1 / MDN)*X {Fa (D)} - средний случай на DN

dϵd_n

В зависимости от влияния исходных данных на функцию трудоемкости алгоритма может быть предложена следующая классификация, имеющая практическое значение для анализа алгоритмов:

1.Количественно-зависимые по трудоемкости алгоритм. Это алгоритмы, функция трудоемкости которых зависит только от размерности конкретного входа, и не зависит от конкретных значений:

Fa (D) = Fa (|D|) = Fa (N)

 

Примерами алгоритмов с количественно-зависимой функцией трудоемкости могут служить алгоритмы для стандартных операций с массивами и матрицами - умножение матриц, умножение матрицы на вектор и т.д.

Параметрически - зависимые по трудоемкости алгоритмы. Это алгоритмы, трудоемкость которых определяется не размерностью входа (как правило, для этой группы размерность входа обычно фиксирована), а конкретными значениями обрабатываемых слов памяти:

Fa (D) = Fa (dl,...,dn) = Fa (PI,... ,Pm), m < n

Примерами алгоритмов с параметрически-зависимой трудоемкостью являются алгоритмы вычисления стандартных функций с заданной точностью путем вычисления соответствующих степенных рядов.

Количественно-параметрические по трудоемкости алгоритмы. Однако в большинстве практических случаев функция трудоемкости зависит как от количества данных на входе, так и от значений входных данных, в этом случае:

Fa (D) = Fa (||D||, Pl,...,Pm) = Fa (N, Pl,...,Pm)

Порядково-зависимые по трудоемкости алгоритмы. Среди разнообразия параметрически-зависимых алгоритмов выделим еще оду группу, для которой количество операций зависит от порядка расположения исходных объектов. Пусть множество D состоит из элементов (dl,...,dn), и

||D||=N,

Определим Dp = {(dl,...,dn)}-множество всех упорядоченных N-ок из dl,...,dn, отметим, что |Dp|=n!. Если Fa (iDp) ≠ Fa (jDp), где iDp, jDp є Dp, то алгоритм будем называть порядково-зависимым по трудоемкости.

Примерами таких алгоритмов могут служить ряд алгоритмов сортировки, алгоритмы поиска минимума и максимума в массиве.

 

 

1.2.Понятие сложности алгоритма

Сложность алгоритма определяется вычислительными мощностями, необходимыми для его выполнения. Вычислительная сложность алгоритма часто измеряется двумя параметрами: Т (временная сложность) и S (пространственная сложность, или требования к памяти). И Т, и S обычно представляются в виде функций от п, где п - это размер входных данных. (Существую и другие способы измерения сложности: количество случайных бит, ширина канала связи, объем данных и т.п.)

Обычно вычислительная сложность алгоритма выражается с помощью нотации "О большого", т. е описывается порядком величины вычислительной сложности. Это просто член разложения функции сложности, быстрее всего растущий с ростом п, все члены низшего порядка игнорируются. Например, если временная сложность данного алгоритма равна 4п2+7п+12, то вычислительная сложность порядка п2, записываемая как 0(n2).

Временная сложность измеренная таким образом не зависит от реализации. Не нужно знать ни точное время выполнения различных инструкций, ни число битов, используемых для представления различных переменных, ни даже скорость процессора. Один компьютер может быть на 50 процентов быстрее другого, а у третьего шина данных может быть в два раза шире, но сложность алгоритма, оцененная по прядку величины, не изменится.¹ Это не жульничество, при работе с алгоритмами настолько сложными, как описанные в этой книге, всем прочим можно пренебречь (с точностью до постоянного множителя) в сравнении со сложностью по порядку величины.Эта нотация позволяет увидеть, как объем входных данных влияет на требования к времени и объему памяти. Например, если Т= О(n), то удвоение входных данных* удвоит и время выполнения алгоритма. Если Т=0(2n), то

добавление одного бита к входным данным удвоит время выполнения алгоритма.

Обычно алгоритмы классифицируются в соответствии с их временной или пространственной сложностью. Алгоритм называют постоянным, если его сложность не зависит от п: 0(1). Алгоритм является линейным, если его временная сложность О(n). Алгоритмы могут быть квадратичными, кубическими и т.д. Все эти алгоритмы - полиномиальны, их сложность - О(ш), где ш - константа. Алгоритмы с полиномиальной временной сложностью называются алгоритмами с полиномиальным временем

Алгоритмы, сложность которых равна 0(tf(n)), где t - константа, большая, чем 1, a f(n) - некоторая полиномиальная функция от п, называются экспоненциальными. Подмножество экспоненциальных алгоритмов, сложность которых равна 0(cf(n)), где где с - константа, a f(n) возрастает быстрее, чем постоянная, но медленнее, чем линейная функция, называется суперполиномиальным.

В идеале, криптограф хотел бы утверждать, что алгоритм, лучший для взлома спроектированного алгоритма шифрования, обладает экспоненциальной временной сложностью. На практике, самые сильные утверждения, которые могут быть сделаны при текущем состоянии теории вычислительной сложности, имеют форму "все известные алгоритмы вскрытия данной криптосистемы обладают суперполиномиальной временной сложностью". То есть, известные нам алгоритмы вскрытия обладают суперполиномиальной временной сложностью, но пока невозможно доказать, что не может быть открыт алгоритм вскрытия с полиномиальной временной сложностью. Развитие теории вычислительной сложности возможно когда- нибудь позволит создать алгоритмы, для которых существование алгоритмов с полиномиальным временем вскрытия может быть исключено с математической точностью.

С ростом n временная сложность алгоритмов может стать настолько огромной, что это повлияет на практическую реализуемость алгоритма. 

 

При условии, что единицей времени для нашего компьютера является микросекунда, компьютер может выполнить постоянный алгоритм за микросекунду, линейный - за секунду, а квадратичный - за 11.6 дня. Выполнение кубического алгоритма потребует 32 тысяч лет, что в принципе реализуемо, компьютер, конструкция которого позволила бы ему противостоять следующему ледниковому периоду, в конце концов, получил бы решение. Выполнение экспоненциального алгоритма тщетно, независимо от экстраполяции роста мощи компьютеров, параллельной обработки или контактов с инопланетным суперразумом.

Взглянем на проблему вскрытия алгоритма шифрования грубой силой. Временная сложность такого вскрытия пропорциональна количеству возможных ключей, которое экспоненциально зависит от длины ключа. Если п - длина ключа, то сложность вскрытия грубой силой равна 0(2п). Сложность вскрытия грубой силой при 56-битовом ключе составляет 256, а при 112-битовом ключе - 2112. В первом случае вскрытие возможно, а во втором - нет.

 

 

 

 

 

 

1.3. Верхние и средние оценки сложности алгоритмов

Многие задачи характеризуются большим количеством исходных данных. Вводя интегральный параметр V объема (сложности) данных, неявно предположено, что все множество комбинаций значений исходных данных может быть разбито на классы. В один класс попадают комбинации с одним и тем же значением V. Для любой комбинации из заданного класса алгоритм будет иметь одинаковую сложность (исполнитель выполнит одно и то же количество операций). Иначе говоря, функция с = сложность а(Х) может быть разложена в композицию функций V= г(Х) и с = Ta(V), где г - преобразование значений xl, х2, хЗ, ...,хn в значение V.²

Но нет никаких причин надеяться, что это будет выполняться для любых алгоритмов, учитывая наше желание представлять функции формулами с использованием общеизвестных элементарных функций (или, как говорят, в аналитическом виде). Выход состоит в следующем. Множество D комбинаций исходных данных все-таки разбивается "каким- либо разумным образом" на классы, и каждому классу приписывается некоторое значение переменной V. Например, если мы хотим оценить сложность алгоритма анализа арифметических выражений, то в один класс можно поместить все выражения, состоящие из одинакового числа символов (строки одинаковой длины) и переменную V сделать равной длине строки. Это разумное предположение, так как с увеличением длины сложность должна увеличиваться: припишем к выражению длины n строку +1 - получится выражение длины n+2, требующее для анализа больше операций, чем предыдущее. Но строгого (линейного) порядка нет. Среди выражений длины п может найтись более сложное (в смысле анализа), чем некоторое выражение длины n+2, не говоря уже о том, что среди выражений равной длины будут выражения разной сложности.

Затем для каждого класса (с данным значением V) оценивается количество необходимых операций в худшем случае, т.е. для набора исходных данных, требующих максимального количества операций обработки (сложность для худшего случая - верхняя оценка), и в лучшем случае - для набора, требующего минимального количества операций. Таким образом, получаются верхняя и нижняя оценки сложности алгоритма (рисунок 1).

 

Рис.1 Зависимость сложности алгоритма от сложности данных

Разница между T max (V) и T min (V) может быть значительной. Но для многих алгоритмов отмечается ситуация «редкости крайних значений»: только на относительно небольшом количестве сочетаний исходных данных реализуются близкие к верхним  или нижним оценкам сложности. Поэтому интересно бывает отыскать некоторое «усредненное» по всем данным число операций (средняя оценка). Для этого привлекаются комбинаторные методы или методы теории вероятностей. Полученное значение и считается значением Тα(V) средней оценки.

Системы реального времени, работающие в очень критических условиях, требуют, чтобы неравенство Тα(X)˂ T max не нарушалось никогда; в этом случае нужна оценка для худшего. В других системах достаточно, чтобы это неравенство выполнялось в большинстве случаев; тогда мы используем среднюю оценку. Опять же в связи со свойством массовости алгоритма исследователей чаще интересуют именно средние оценки, но получать их обычно труднее, чем верхние оценки.

ВИДЫ И МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СЛОЖНОСТИ АЛГОРИТМА 2.1.Основные методы и приемы анализа сложности

Отыскание функции сложности производится на основе анализа текста алгоритма. Для определенности будем считать, что алгоритм записан на универсальном языке программирования типа Паскаля и содержит явно записанные арифметические операции, операции сравнения и пересылки скалярных данных, управляющие конструкции циклов и выбора. Если встречаются вызовы процедур, то вызов не рассматривается как одна операция: вызов вносит вклад в общую сумму на основе подсчета количества операций в вызываемой процедуре, плюс собственно оператор вызова (с единичной сложностью). С целью анализа алгоритм (программу) удобно представлять управляющим графом (родственное понятие - схема алгоритма). Управляющий граф строится следующим образом. Каждому оператору присваивания или вызову процедуры ставится в соответствие вершина графа (точка). Два последовательно записанных оператора (последовательно исполняемых) изображаются вершинами, соединенными стрелкой, указывающей порядок исполнения (рис. 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2. Граф линейного участка Последовательность из нескольких операторов присваивания или вызовов процедур изображается цепью и называется линейным участком. Условный оператор изображается вершиной, соответствующей вычислению условия, и двумя выходящими дугами с приписанными им вариантами then, else.

if а < b then х := а else х := b;Если после then записан составной оператор (линейный участок), то в управляющем графе ему соответствует цепь. Условный оператор задает разветвление в управляющем графе, заканчивающееся пустой вершиной (без операций), помеченной точкой с запятой. Если в операторе часть else отсутствует, то нижняя ветка включает пустую вершину.³ Подобный фрагмент в управляющем графе порождает оператор выбора case, но только разветвление может быть на большее число ветвей и выходящие дуги помечаются соответствующими константами (рис.3). 

Операторы цикла (рисунок 3) изображаются в управляющем графе замкнутой последовательностью вершин (циклом).

Рис.3. Графы операторов цикла

 

Кроме этого в управляющем графе вводится одна начальная вершина и одна или несколько заключительных вершин. Каждой вершине графа припишем число - количество операций, которые необходимо выполнить для выполнения оператора программы, связанного с этой вершиной. Это число назовем весом вершины. Вес пустой, начальной и заключительных вершин равен нулю. Если из вершины выходит две или более дуги, то каждой из них припишем условие, при выполнении которого вычислительный процесс пойдет в этом направлении. Эти условия будем называть пометками дуг. Таким образом, управляющий граф программы представляет собой направленный взвешенный граф.

Необходимо рассмотреть следующие несколько случаев.

Управляющий граф представляет собой линейный участок. Сложность равна сумме весов вершин, принадлежащих линейному участку, и является константой, если на участке нет вершин - вызовов процедур. Если такие вершины есть, то их вес равен функциям сложности соответствующих процедур. 

Управляющий граф содержит разветвления, но не содержит циклов. Это означает, что вычислительный процесс в зависимости от исходных данных может направиться по одной из конечного числа ветвей, начинающихся в начальной вершине и заканчивающихся в одной из конечных вершин. Расчет функции сложности зависит от того, рассматривается худший случай или средний случай.

Управляющий граф содержит цикл, порожденный оператором for. Если выражения, определяющие начальное и конечное значения параметра цикла суть константы, то нетрудно подсчитать, сколько раз будет выполняться тело цикла и умножить на этот коэффициент вес тела цикла. Если выражения зависят от исходных данных, то можно оценить значение разности этих выражений в худшем или среднем случаях.

Управляющий граф содержит цикл, порожденный операторами while или repeat. Циклы while и repeat могут вызвать больше затруднений при анализе, чем оператор for, так как количество исполнений тела цикла зависит от истинности или ложности условия, а переменные, входящие в состав условия изменяются в теле цикла, причем оценить величину и направленность этого изменения достаточно сложно.

Управляющий граф содержит разветвлении. Для худшего случая нужно вычислить вес каждой ветви как сумму весов входящих в нее вершин, после чего найти максимальный из весов ветвей. Это и будет сложностью процедуры.

Пример 1. Управляющий граф содержит 10 вершин с весом {3, 5, 1,4, 3, 4, 6, 8, 5, 3}. Вершина 3 (вес равен 1) соответствует вычислению условия в операторе if; вершины 4, 5, 6 входят в часть then, вершины 7, 8 входят в часть else. Таким образом, имеется две ветви с весом 3+5+1+4+3+4+5+3 = 28 и 3+5+1+6+8+5+3 = 31; сложность равна 31.

Пример 2. Тот же граф, что и в примере 1, но вершина 8 соответствует вызову процедуры, имеющей сложность 2V + 1. В этом случае функция сложности равна max (28, 2V+24 ) = 24+max(4, 2V) = 24 + 2 max ( 2, V ).

Для среднего случая, кроме веса ветвей, нужно оценить еще и частоты ветвей. Под частотой ветви понимается отношение числа выполнений программы, при которых исполнялись операторы, принадлежащие данной ветви, к общему числу выполнений программы. Тогда сложность программы будет вычисляться как сумма произведений весов ветвей на их частоты.⁴Если все комбинации исходных данных программы равновероятны, то частоты ветвей можно оценить следующим образом:

Пусть управляющий граф содержит разветвления с условиями CI, С2, СЗ, ..., Сп, причем проверка условия С1 производится всегда первой по ходу выполнения программы. Следовательно, условие С1 разбивает все ветви на две группы: для ветвей первой группы это условие истинно, а для ветвей второй группы - ложно. Условие С2 разбивает группу ветвей с истинным условием С1 на две группы, удовлетворяющие условиям CI and С2 и CI and not С2. Условие СЗ порождает группы ветвей, удовлетворяющих условиям not CI and СЗ и not CI and not СЗ и т. д. Множество D комбинаций исходных данных также делится на две части D1 и D2 и это деление порождается условием С1 даже, если сами исходные данные не входят в формулировку условия, а входят только константы и промежуточные переменные. В свою очередь, D1 делится на подмножества D2 и D3 в соответствии с условием С2 и так далее. На рисунке 1 изображены примеры управляющего графа программы и разбиений областей D. Три условных оператора изображены черными вершинами, область D делится сначала сплошной линией на подобласти D1 и D2, а затем каждая из них делится пунктирными линиями на подобласти D3, D4 и D5, D6.

 

 

 

 Рис.4 Управляющий граф и разбиение области данных

Каждая подобласть, не разделенная на более мелкие части, соответствует одной ветви в управляющем графе. Обозначим все такие области di. Тогда, считая все комбинации исходных данных равновероятными, можем оценить частоту исполнения і-й ветви как отношение мощности множества di к мощности множества D, pi = |di|/[D|. Если і-я ветвь имеет вес И то сложность программы можно оценить величиной

, где k - количество ветвей.

 

Пример 3. Тот же граф, что и в примере 1. Условие в операторе if имеет вид (х<0,5), где х - входная переменная, значения которой принадлежат интервалу [0,1]. Если более подробной информации о входной переменной нет, то можно предполагать, что вероятность получить на входе значение хе [0, 0,5] равна вероятности получить х є [0,5, 1] и, значит та и другая вероятности равны 0,5. Следовательно, и вероятности ветвей одинаковы; средняя сложность равна 28(1/2) + 31(1/2) = 29,5 .