Використання степеневих виробничих функцій для моделювання відпрацювання інвестицій в національній економіці

 

Курсова робота

з дисципліни „Моделювання економіки” на тему:

„Використання степеневих виробничих функцій для моделювання відпрацювання інвестицій в національній економіці”

 

 

 

Зміст

 

 

 

Вступ-----------------------------------------------------------------------------3

Розділ 1. Дослідження інвестиційного процесу та методу його моделювання____________________________________ _4

1.1. Опис інвестиційного процесу за допомогою моделі економічного росту Солоу. ______________________      _4

1.2. Наслідки, які витікаять з моделі Солоу_____________        9

Розділ 2. Побудова моделі відпрацювання інвестицій в економіці.__________                                                    11

 

2.1. Математичний опис  процесу відпрацювання          інвестицій       в економіці.______________________      __11

2.2. Аналіз оптимальності параметрів  побудованої моделі._______________________________                    17

Висновки___________________________________________    ___ _19

Список літератури                                                                                    20

Додатки

 

 

 

Вступ

Економіко-математичні  методи і моделі мають загальний  з іншими економічними дисциплінами об'єкт дослідження - економіку як соціально-економічну систему. Однак у цього наукового напрямку є свій власний предмет дослідження. Він вивчає різні сторони свого об'єкта і насамперед кількісні взаємозв'язки і закономірності. При цьому використовуються особливі наукові методи, що самі стають об'єктом дослідження.

Про значення й  оцінку світовим науковим співтовариством даного напрямку можна судити по кількості лауреатів Нобелівської премії по економіці, що проводили свої дослідження на стику економіки і математики. Нобелівська премія по економіці присуджувалася з 1969 р. Лауреатами цієї премії,  стали 36 видатних учених-економістів, у тому числі 26 учених-економістів за дослідження на стику економіки і математики.

Виявлення кількісних взаємозв'язків і закономірностей  у соціально-економічній системі  полегшується при використанні інформаційних  технологій. Однак реальний синтез економічної теорії, статистики, математики й інформатики ще попереду і, як я вважаю, принесе в майбутньому чимало відкриттів. При цьому істотну роль будуть грати різні моделі.

Метою даної  курсової роботи є побудова моделі, яка б за допомогою степеневої виробничої функції описувала процес відпрацювання інвестицій  в національній економіці, а також аналіз оптимальності здійснення інвестиційного процесу. Після ознайомлення з літературою по даній темі, я вирішив змоделювати даний процес за допомогою моделі Солоу.

 

 

Розділ 1

 Дослідження інвестиційного процесу та методу його моделювання

1.2. Опис інвестиційного  процесу за допомогою моделі  економічного росту Солоу.

 

Інвестиційний процес являє собою вкладення коштів в виробничі фонди. Цей процес не можна розглядати окремо від економічної системи, бо він є однією з ланок, через яку в економіці постійно здійснюється кругообіг коштів. Тому я вирішив розглядати процес відпрацювання інвестицій в економіці за допомогою моделі Солоу.

Модель Солоу є односекторною моделлю економічного росту. У цій моделі економічна система розглядається як єдине ціле, виробляє один універсальний продукт, що може як споживатися, так і інвестуватися. Модель досить адекватно відбиває найважливіші макроекономічні аспекти процесу відтворення. Експорт— імпорт у явному виді не враховується.

Стан економіки в моделі Солоу задається наступними п'ятьма ендогенними змінними:

Х — валовий внутрішній продукт (ВВП);

С — фонд невиробничого споживання;

I — інвестиції;

L — число зайнятих;

К— фонди.                       

Крім того, у моделі використовуються наступні екзогенні (задані поза системою) показники:

v — річний темп приросту числа зайнятих;

μ — частка вибулих за рік основних виробничих фондів;

ρ — норма нагромадження (частка валових інвестицій у валовому внутрішньому продукті).

Екзогенні параметри  знаходяться в наступних границях: -1<ν<1, 0<μ<1, 0<ρ<1.

Передбачається, що ендогенні змінні змінюються в часі ( аргумент t опущений, але є присутнім). Екзогенні показники вважаються постійними в часі, причому норма нагромадження є керуючим параметром, тобто в початковий момент часу може встановлюватися керуючим органом системи на будь-якому рівні з області припустимих значень.

Час t вважається безупинним і виміряється в роках. Для миттєвих показників L=L(t), K=K(t) це представляється природним, оскільки, в принципі, у будь-який день можна установити число зайнятих і шляхом інвентаризації – обсяг основних виробничих фондів. Значення показників типу потоку X=X(t), I=I(t), C=C(t) у момент t=[t]+{t} визначаються у вигляді накопичених за рік, що починається на {t} днів пізніше 1 січня року [t].

Передбачається, що річний випуск у кожен момент часу визначається лінійно-однорідною неокласичною виробничою функцією.

                                                    X=F(K,L).                                  (1)

Розглянемо, як змінюються ресурсні показники за невеликий проміжок часу Δt. Відповідно до визначення темпу приросту

      чи         

тому

 ^, 

 Використовуючи початкову умову L(0) = L₀, одержуємо

 .

Знос і інвестиції в розрахунку на рік рівні μK і Ι відповідно, а за час Δt — відповідно μK Δt,  I Δt, тому приріст фондів за цей час

ΔK=-μΚΔt+ ΙΔt,

звідки одержуємо диференціальне рівняння

Інвестиції і фонд споживання в такий спосіб виражаються через ВВП: I = ρХ, С = (1 - ρ)Х.

Отже, одержуємо наступний  запис моделі Солоу в абсолютних показниках:

;      ;    ;           (2)

X=F(K,L);           I = ρХ;                С = (1 - ρ)Х.

Схема функціонування економіки  відповідно до моделі Солоу приведена  на рис. 1. Видно, що входом у систему служить число зайнятих L , виходом – фонд споживання С,  тому система однозв'язна. У структурі системи мається контур зворотного зв'язку, що утвориться з нелінійного статичного елемента X=F(K,L), розподільної лінійної статичної ланки X=I+C і інерційної ланки

,     .

Оскільки в системі  мається нелінійний елемент X=F(K,L), те система нелінійна.

Оскільки 

 

те запис моделі Солоу  здобуває наступну форму в питомих показниках:

 

                                            

 

 

 

Таким чином, кожен абсолютний чи відносний  показник змінюється в часі, тобто  можна говорити про траєкторію системи  в абсолютних чи відносних показниках.

 Траєкторія називається стаціонарної, якщо показники не змінюється в часі:

k=k⁰=const,  x=x⁰=const, I=I⁰=const, c=c⁰=const.

Як видно з формул (3), встановлення фондоозброєності на постійному рівні k приводить до виходу на стаціонарну траєкторію.

 

На стаціонарній траєкторії ,     тому

чи         

       

Оскільки функція F(K,L) – неокласична, то f(0)=0,  f ^‘>0,  f ^’’<0. Якщо ще задати умова ρf ^‘(0)>λ, то рівняння (4) буде мати єдине ненульове рішення k^Е , що видно з рис. 2.

На цьому малюнку  через  позначена фондоозброєність, при якій швидкості росту g₁(k)=λk і g₂(k)=ρf(k) рівні, тобто - корінь рівняння.

ρf ^'(k)=λ.

 

 

Рис. 2. Графічне визначення стаціонарної фондоозброєності

 

 1.2. Наслідки, які витікаять з моделі Солоу

 

Одним з наслідків  моделі Солоу являється «золоте правило нагромадження», суть якого полягає в тому, що належним вибором норми нагромадження можна максимізувати споживання на душу населення в стаціонарному режимі, а отже, і через відносно нетривалий час після початку перехідного процесу.

Справді,                                            (5)

де                                          .

 

Як бачимо, споживання на душу населення цілком визначається функцією g(ρ).

Маємо                                      

тому         при ρ<α,  при ρ>α.

Таким чином, найбільше споживання на душу населення досягається при ρ^*=α, тобто норма нагромадження повинна дорівнювати еластичності випуску по фондах. На практиці норма нагромадження завжди менше свого оптимального значення (ρ<α), тобто має місце недонагромадження (рис. 3).

 

 

 

 

 

 

 

Рис 3. Питоме споживання як функція норми нагромадження

 

Другим наслідком є те, що виграш у поточному споживанні обертається програшем у найближчій перспективі.

Якщо замість норми нагромадження ρ<α установити меншу норму нагромадження =ρ-Δρ, то поточне споживання на душу населення зросте з с₀=(1-p)Ak^α_о до =(1-ρ+Δρ)Ak^α_о. Однак цей виграш через досить короткий інтервал часу t спочатку зійде на нівець, а потім обернеться програшем, оскільки при ρ<α згідно з формулою (5) стаціонарне споживання на душу населення . Загальна порівняльна картина зміни споживання на душу населення в цих двох випадках показана на рис. 4.

Рис.4. Порівняння зміни споживання на душу населення . 
Розділ 2

 Побудова моделі відпрацювання інвестицій в економіці.

 

2.1. Математичний опис процесу відпрацювання інвестицій в економіці.

 

Відомі дані про обсяг  ВВП, витрати капіталу і трудових ресурсів, які здійснювалися протягом тридцяти років в економіці. Також відомо, що потягом цих років норма нагромадження залишалася стабільною на рівні 8% від ВВП. Дані відображені в таблиці 2.

Таблиця 2.

Рік	Витрати капіталу, млрд. грн.	Трудові витрати, млрд. грн.	Обсяг ВВП, млрд. грн.
1	5,07	1,52	5,67
2	5,08	2,76	8,79
3	5,34	3,99	11,73
4	5,53	5,23	14,68
5	6,49	6,47	17,74
6	7,34	6,55	20,96
7	8,38	8,94	24,35
8	9,60	10,18	27,92
9	10,21	11,42	31,66
10	12,57	12,65	35,58
11	14,33	13,89	36,45
12	15,41	15,13	40,44
13	18,35	16,36	48,25
14	20,61	17,60	52,75
15	23,04	18,84	57,37
16	25,62	20,08	40,54
17	28,36	21,31	66,93
18	29,65	22,55	71,87
19	34,28	23,79	76,89
20	37,45	25,02	81,99
21	40,75	26,26	87,18
22	44,18	27,50	92,43
23	47,73	28,10	97,75
24	51,40	29,97	103,14
25	55,18	31,21	108,58
26	56,54	32,45	114,08
27	63,05	33,68	119,62
28	67,13	34,92	125,22
29	71,31	36,16	130,85
30	75,58	37,39	136,53

 

Початковим етапом побудови моделі відпрацювання інвестицій в економіці  є визначення вигляду виробничої степеневої функції, яка б описувала даний процес виробництва. Побудову такої функції я здійснюю за допомогою статистичного пакету STATGRAPHICS Plus.

Позначимо обсяг ВВП  через Q, витрати капіталу через К, трудові витрати – L. Модель будується в лінійному вигляді, тому змінні логарифмуються (Додаток 1).

В результаті багатофакторного регресійного аналізу я отримав наступні дані:

Multiple Regression Analysis

----------------------------------------------------------------------------------------

Dependent variable: log(Q)

----------------------------------------------------------------------------------------

                                                    Standard          T

Parameter               Estimate         Error       Statistic        P-Value

-----------------------------------------------------------------------------------------

CONSTANT        0,943162      0,0568866        16,5797         0,0000

log(K)                   0,326103      0,0531211        6,13887         0,0000

log(L)                     0,70361      0,0584421        12,0394         0,0000

------------------------------------------------------------------------------------------

 

                           Analysis of Variance

-------------------------------------------------------------------------------------------

Source             Sum of Squares     Df    Mean Square    F-Ratio      P-Value

-----------------------------------------------------------------------------

Model                       21,42            2        10,71             1437,57       0,0000

Residual                 0,201152         27    0,00745006

--------------------------------------------------------------------------------------------

Total (Corr.)             21,6212     29

 

R-squared = 99,0697 percent

R-squared (adjusted for d.f.) = 99,0007 percent

Standard Error of Est. = 0,0863137

Mean absolute error = 0,0379641

Durbin-Watson statistic = 2,01776

 

The StatAdvisor

--------------------------------------------------------------------------------

   The output shows the results of fitting a multiple linear

regression model to describe the relationship between log(Q) and 2

independent variables.  The equation of the fitted model is

 

log(Q) = 0,943162 + 0,326103*log(K) + 0,70361*log(L)

 

Так як коефіцієнт детермінації дорівнює 99%, то модель є адекватною. Приведемо її до степеневого вигляду. Тобто:

• ln A= 0,943162 => А = е ^0,943162,   А= 2,568089
• α = 0,326103;
• β = 0,70361

Q = 2,568089* K^0,326103* L^0,70361 - виробнича степенева функція, яка описує даний процес виробництва.

В початкових даних зазначено, що норма нагромадження дорівнює 0,08 від обсягу ВВП. Тому можна визначити обсяг інвестицій (позначимо через I), які здійснювалися протягом тридцяти років: I=0,08*Q (Таблиця 3).

Таблиця 3

t	Q	I
1	5,67	0,4536
2	8,79	0,7032
3	11,73	0,9384
4	14,68	1,1744
5	17,74	1,4192
6	20,96	1,6768
7	24,35	1,948
8	27,92	2,2336
9	31,66	2,5328
10	35,58	2,8464
11	36,45	2,916
12	40,44	3,2352
13	48,25	3,86
14	52,75	4,22
15	57,37	4,5896
16	40,54	3,2432
17	66,93	5,3544
18	71,87	5,7496
19	76,89	6,1512
20	81,99	6,5592
21	87,18	6,9744
22	92,43	7,3944
23	97,75	7,82
24	103,14	8,2512
25	108,58	8,6864
26	114,08	9,1264
27	119,62	9,5696
28	125,22	10,0176
29	130,85	10,468
30	136,53	10,9224

 

В моделі Солоу знос і інвестиції за час Δt дорівнюють μKΔt і IΔt відповідно ( μ — частка вибулих основних виробничих фондів), тому приріст фондів за цей час дорівнює ΔK=-μΚΔt+ ΙΔt. З початкових даних не відомо значення частки вибулих основних фондів, але її можна знайти, побудувавши в STATGRAPHICS Plus рівняння, але для цього мені спочатку необхідно визначити приріст фондів по роках: ΔK=K_t+1-K_t. Тоді отримую наступні значення приросту капіталу:

Таблиця 4

T	K	ΔK
1	5,07	0,01
2	5,08	0,26
3	5,34	0,47
4	5,82	0,67
5	6,49	0,86
6	7,34	1,04
7	8,38	1,22
8	9,60	1,40
9	11,00	1,58
10	12,57	1,75
11	14,33	1,93
12	16,25	2,10
13	18,35	2,26
14	20,61	2,43
15	23,04	2,58
16	25,62	2,74
17	28,36	2,89
18	31,25	3,03
19	34,28	3,17
20	37,45	3,30
21	40,75	3,43
22	44,18	3,55
23	47,73	3,67
24	51,40	3,78
25	55,18	3,89
26	59,06	3,99
27	63,05	4,08
28	67,13	4,18
29	71,31	4,26
30	75,58

Для визначення μ я в STATGRAPHICS Plus в якості залежної змінної вказую вираз (ΔК-І), а незалежної – К (Додаток 2).

В результаті отримую  рівняння і його характеристики:

 

Multiple Regression Analysis

-----------------------------------------------------------------------------

Dependent variable: (DeltaK-I)

-----------------------------------------------------------------------------

                                                      Standard          T

Parameter               Estimate         Error       Statistic        P-Value

-----------------------------------------------------------------------------

K                     -0,0860496     0,00177083       -48,5929         0,0000

-----------------------------------------------------------------------------

 

                           Analysis of Variance

-----------------------------------------------------------------------------

Source             Sum of Squares     Df  Mean Square    F-Ratio      P-Value

-----------------------------------------------------------------------------

Model                     263,785         1      263,785    2361,27       0,0000

Residual                  3,12797         28     0,111713

-----------------------------------------------------------------------------

Total                     266,913           29

 

R-squared = 98,8281 percent

R-squared (adjusted for d.f.) = 98,8281 percent

Standard Error of Est. = 0,334235

Mean absolute error = 0,114223

Durbin-Watson statistic = 1,98936

 

The StatAdvisor

------------------------------------------------------------------------------------

   The output shows the results of fitting a multiple linear

regression model to describe the relationship between (DeltaK-I) and 1

independent variables.  The equation of the fitted model is

(DeltaK-I) = -0,0860496*K

Як видно коефіцієнт детермінації дорівнює 98%, значить побудована модель є адекватною: ΔK= -0,08605*Κ+ Ι.

Взаємозв’язок між отриманими функціями  найлегше показати за допомогою моделі Солоу (рис 2.1) :

На основі отриманих функцій  я закладаю данні до MS Excels і на їх основі будую графік, який показує зміну значень обсягу ВВП, інвестицій, вибуття фондів з часом (Додаток 3).

 

2.2. Аналіз  оптимальності параметрів побудованої  моделі.

 

Для оптимізації процесу відпрацювання інвестицій  і функціонування економічної системи в цілому важливим є приведення до максимуму споживання на душу населення. Це здійснюється за допомогою приведення норми накопичення до рівня еластичності випуску продукції по фондам, тобто найбільше споживання на душу населення досягається при ρ^*=α.

Споживання на душу населенняцілком визначається функцією

В таблиці 5 розраховано споживання при різних значення норми накопичення  від 0 до 1. (Графічне зображення на Додатку 4)

Таблиця 5

ρ
1E-11	0,000259
0,05	0,363679
0,08	0,482788	- при наявному значенні
0,1	0,439604
0,15	0,482788
0,2	0,509045
0,25	0,524168
0,3	0,531006
0,326103	0,531855	- при оптимальному  значенні ρ
0,35	0,53118
0,4	0,525687
0,45	0,515161
0,5	0,5
0,55	0,480433
0,6	0,456545
0,65	0,428291
0,7	0,395476
0,75	0,35771
0,8	0,314314
0,85	0,264091
0,9	0,20473
0,95	0,13061
0,999999	9,05E-05

 

З таблиці видно, що споживання на душу населення не є оптимальним і для того, щоб його оптимізувати необхідно підвищити норму нагромадження до ρ^*= 0,3261 (різні виробничі функції в залежності від значення норми накопичення зображено на Додатку 5.)

 

 

Висновок

 

В результаті виконання курсової роботи, я за допомогою моделі Солоу  і  використовуючи степеневу виробничу  функцію дослідив, як відбувається процес відпрацювання інвестицій в економіці, а також дізнався, які параметри мають вагомий вплив на хід відпрацювання інвестицій і як їх зміна впливає на динаміку процесу виробництва.

В процесі побудови моделі виявилося, що задана за умовою норма нагромадження  не є оптимальною, тобто при такому її рівні  питоме споживання на душу населення не досягає максимально можливого рівня. Значить в даній економічній системі потрібно збільшити рівень норми нагромадження, це можна здійснити, наприклад, підвищивши ставку банківського проценту, що дозволить залучати більше коштів від населення.

При виконанні даної курсової роботи мені було складно і в той же час дуже цікаво самому шукати інформацію з даної теми, опрацьовувати її, самостійно набувати нових знань і проводити своє маленьке дослідження, аналізувати побудовану модель. Написання курсової роботи викликало в мене справжню зацікавленість і навіть бажання дослідити процес відпрацювання інвестицій в економіці більш глибоко.

 

 

 

Список літератури

 

1. Гойка А.Ф. Методи оцінки ефективності інвестицій та пріоритетні напрямки їх реалізації., К.: Віра – 1999 – 320с.
2. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. – М.: Юнити, 1998 – 240с.
3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н.. Математические методы в экономике. - М., ДИС, 1997 – 265с.
4. Лагоша Б.А.. Курс лекций по программе кандидатского минимума по специальности 08.00.13 “Экономико-математические методы”. - М.: МЭСИ, 1999.
5. Сизиков А.П. "Экономико-математические модели и методы": Уч. пособие //Самарская государственная экономическая академия, Самара, 1997г.
6. Лотов А.В. "Введение в экономико-математическое моделирование"// издательство "Наука", Москва, 1984г.

Додаток 1

 

 

 

 

Додаток 2

 

 

 

 

 

 

Додаток 3

 

 

 

 

 

 

 

Додаток 4

 

 

 

 

 

 

 

 

Додаток 5