Задача Ердеша-Морделла

 

МІНІСТЕРСТВО  ОСВІТИ І НАУКИ,

МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

 

НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені М. П. ДРАГОМАНОВА

 

ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИЙ ІНСТИТУТ

КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

КУРСОВА РОБОТА

з геометрії

на тему:

«Задача Ердеша-Морделла»

 

Студентка 2 курсу 21мфі групи

напряму підготовки «Математика»

спеціальності

«Математика, фізика та інформатика»

Олексин Ілона  Василівна

Керівник: кандидат фізико-матиматичних наук,асистент,

Нікіфоров Р.О.

Національна шкала _____________________

Кількість балів:_______ Оцінка:  ECTS _____

 

Члени комісії: ____________  __________________________

     (підпис)                (прізвище та ініціали)

____________  __________________________

    (підпис)                  (прізвище та ініціали)

____________  __________________________

    (підпис)                  (прізвище та ініціали)

____________  __________________________

                                                          (підпис)                 (прізвище та ініціали)

 

 

м. Київ – 2013 рік

Зміст

Вступ…………………………………………………………………………………3

1.Історичні відомості………………………………………………………………..4

2.Формулювання і доведення теореми……………………………………………..5

3.Варіація на тему нерівності Єрдеша-Морделла…………………………………8

4. Поняття мажоризаціі……………………………………………...…..……….. .13

5.Приклад………………………………………………………………...…………17

Висновок…………………………………………………………………………….20

Список використаної літератури……..………………………………..………….21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВСТУП

Пол Ердеш ( народився 26 березня 1913,у Будапешті – помер 20 вересень 1996 р., у Варшава) - один з найзнаменитіших математиків XX століття. Працював в різноманітних областях сучасної математики: комбінаторика, теорія графів, теорія чисел, математичному аналізі, теорія наближень, теорія множин і теорія ймовірності. Лауреат безлічі математичних нагород, включаючи премію Вольфа. Кількість написаних ним наукових статей, так само як і число співавторів цих статей не має аналогів серед сучасних йому математиків 
      Отже,метою дослідження є розглядання фундаментальних результатів Пола Ердеша,таких, як знаменита нерівність Ердеша-Морделла-«прекрасний шматок елементарної математики» 
      Нерівність Ердеша - Морделла (нерівність Ердеша - Морделла - Барроу) - планіметричне твердження, що встановлює зв'язок між відстанями від точки всередині трикутника до його сторін з відстанями від тієї ж точки до вершин трикутника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Історичні відомості

В даний час відомо кілька десятків різних нерівностей, що зв'язують величини і . Розглянемо деякі з них. Найбільш відомим з таких нерівностей є нерівність Ердеша-Морделла. Воно має досить довгу історію.  
      У 1935 році відомий угорський математик Пол Ердеш висунув припущення проте, що справедлива нерівність:

 
R_a + R_b + R_c ≥ 2(d_a + d_b + d_c). 

але довести його не зміг. Першим довести цю нерівність вдалося  англійському математику Л.Дж. Морделлу, проте його доведення істотно  використовувало тригонометрію  і було досить складним.І лише в 1940-50-х  роках зусиллями багатьох відомих  математиків були знайдені прості доведення  нерівності Єрдеша – Морделла. 
Наприклад,у 1957 Kaразіноф опублікував доведення використовуючи теорема Паппа з Александрійської Математичної Колекції; наступного року Банкоф видав даведення,в якому використав ортогональне проектування і подібність трикутників. Доведення, що використовують нерівності, з'явилися в 1997 і 2004,а  доведення, що використовують теорему Птолемея, з'явились в 1993 і 2001 роках. Тригонометричне доведення узагальнення нерівності з’явилось в 2001 році, згодом узагальнено у 2004.

 

 

 

 

 

Формулювання задачі :

Довести,що якщо відстані від  довільної внутрішньої точки  О трикутника до його вершин рівні   а відстані до сторін рівні то

 
R₁+ R₂+ R₃ ≥ 2             (1)

Доведення :

Рівність досягається тільки у разі правильного трикутника з центром О. 
 
Позначимо  середнє арифметичне чисел через A(, тоді нерівність (1) можна буде переписати так:

 
A(R₁,R₂, R₃)≥ 2A                  (2)

                 
Покажемо, що ця нерівність еквівалентно нерівності

H(R₁,R₂, R₃)≥ 2H                     (3)

 де Н означає середнє гармонійне чисел. Алгебраїчно нерівності (2) і (3) не випливають один на одне,навпаки, в окремих випадках то одне, то інше з них є сильнішим, проте ми стверджуємо, що справедливість однієї нерівності для довільного трикутника і довільної внутрішньої точки О тягне за собою справедливість другого. 
        Розглянемо полярне перетворення трикутника ABC щодо одиничного кола з центром у внутрішній точці О. Якщо позначити відстані від точки О до вершин А, В, С і до сторін ВС, СА, АВ, то відстані від О вершин і сторін перетвореного трикутника будуть рівні .Нерівність (2) для цього трикутника збігається з нерівністю (3), складеним для початкового трикутника ABC. Аналогічно цьому і з нерівності (3) випливає нерівність (2). 
      Пізніше ми доведемо також нерівність

G(R₁,R₂, R₃)≥ 2G                  (4)        

       
де G означає середнє геометричне чисел. Тут полярне перетворення не дозволяє отримати нову нерівність, так як нерівність (4) при розглянутому вище полярному перетворенні переходить саме в себе.

Рис. 4.

Перейдемо тепер до доведення  нерівності (1). 
Позначимо кути трикутника ABC через α,β і і ортогональні проекції  точки О на прямі ВС, СА і АВ - через Р, Q і R (рис. 4). Так як відрізок ОА= R₁ - спільна гіпотенуза прямокутних трикутників AQO і ARO, то точки А, О, Q і R лежать на колі з діаметром R₁ .У цьому колі хорді QR відповідає вписаний кут з вершиною А, величина якого дорівнює α або 180 ° - α взалежності від того, чи лежать обидві точки Q і R на сторонах ABC (не на їхніх продовженнях!) чи ні. Але у всіх випадках маємо:

 
і аналогічно

   ,

 
Так як, далі, в трикутнику QOR кут при вершині O завжди дорівнює 180 ° - α, то

 
 
Враховуючи ще, що, отримуємо звідси: 
 
тобто

QR≥

 
Аналогічно цьому знаходимо:

RP≥, PQ≥

Якщо взяти до уваги  отримані вище вирази для R₁,R₂, R₃, то звідси випливає

R₁+ R₂+ R₃ ≥ . 
 
Але так як для будь-якого додатнього х, то коефіцієнти,які тут фігурують при не менше 2, що й доводить нерівність (1). 
     Так як у нерівності   рівність досягається тільки випадку х=1, то всі коефіцієнти можуть дорівнювати 2 тільки коли , тобто коли трикутник є рівностороннім. Для того щоб в (1) мав місце знак рівності, необхідно ще, щоб ті члени, які ми відкинули при оцінці QR, RP і PQ, теж дорівнювали нулю:

 

Ця умова виконується (при α=β=! )тільки для - чим закінчується доведення рівності.

Варіація  на тему нерівність Ердеша-Морделла.

 

Введемо позначення, які  ми будемо використовувати надалі.

 

Нехай дано ∆ABC. Його сторони позначимо через a, b і c.

Нехай M - довільна точка, розташована  всередині ∆ABC.

Тоді MA = , MB = , MC = .

Опустимо з точки M перпендикуляри на сторони трикутника (мал.1).

Нехай MU = q (M, BC) = , MV = q (M, AC) = і MW = q (M, AB) = .

     2.1 Перш, ніж перейти до доведення нерівності Ердеша-Морделла, сформулюємо і доведемо лему, яка знадобитися нам надалі.

Лема.

 

Доведення:

Побудуємо  BQ^AM  і  CK^AM (рис.2)

 

Очевидно,що  (це випливає з того, що в прямокутному трикутнику гіпотенуза більша за будь-який з катетів).

Значить,

Аналогічно доводиться,що

Зауваження: при доведенні ми використовували тільки те, що точка M лежить всередині кута BAC, а не те, що точка M лежить всередині трикутника.

Як неважко бачити, кожна з нерівностей звертається в рівність тільки в тому випадку, коли точка M належить відповідній висоті і відповідно).

Вже доведена нами лема дозволяє отримати ряд нерівностей, що зв'язують величини і .

А. Складемо нерівності (1),(1¹) и (1¹¹).

Получимо нерівність:

Рівність тут досягається, коли  AM^BC, BM^AC, CM^AB (см. рис. 1), тобто точка M збігається з ортоцентром  DABC.

Б. Перемножимо нерівності (1), (1¹), (1¹¹), отримаємо:

Але згідно нерівності між середнім арифметичним і середнім геометричним двох додатних чисел

Перемноживши ці нерівності,получимо:

 
      2.2 Нерівність Єрдеша-Морделла.

Одне з найпростіших і  красивих з числа відомих мені доведень засноване на застосуванні сформульованої вище леми.

Застосуємо нерівність леми до точки М¹, симетричної до точки М відносно бісектриси l ÐBAC (це правомірно зважаючи на зауваження після доведення леми).

Дійсно,в силу симетрії

(мал. 3).,получимо:

Аналогічно,

Складаючи ці нерівності, отримаємо:

 

В силу відомої нерівності:

Знак рівності має місце  лише в тому випадку, коли b = c, a = c і a = b, тобто якщо DABC рівносторонній і якщо, крім того, AM^BC, BM^AC, тобто М збігається з центром правильного DABC.

Наведемо доведення ще двох нерівностей, що зв'язують величини

В.

Доведення:

Згідно лемі, для будь-якої точки М всередині ÐBAC

Застосовуючи цю нерівність до точки М¹, симетричної до точки М щодо бісектриси ÐА, отримаємо:

 

(див. доведення нерівності  Єрдеша-Морделла).

Складемо (*) і (**), отримаємо:

Аналогічно встановлюється,що

Перемножимо три останні  нерівності, отримаємо:

 

Але в силу нерівності між  середнім арифметичним і середнім геометричним

Тому

 

Тобто що і треба було довести.

Рівність має місце, лише коли a = b, b = c, тобто a = b = c, а значить, DABC - правильний, і, крім того, (як було показано вище) точка M збігається з точкою перетину висот DABC, тобто з центром цього трикутника.

Г. Справедливо також нерівність

Нерівності (4) і (5) належить А. Оппенгейму. Він припустив, що справедлива  наступна нерівність, споріднена нерівності (4) і більш сильніша, ніж нерівність (5):

 

Однак нерівність ця ніким поки не доведена (і не спростована)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поняття мажоризаціі.

Нижче я наведу доведення  нерівності (6). Незважаючи на те, що доведення  не цілком елементарне, воно ілюструє досить потужний єдиний підхід до дослідження нерівностей, заснованих на методі мажоризаціі.

Означення1:

Нехай x і y - набори з n дійсних чисел, x=(x₁,x₂ …,), y=(y₁, y₂,…,). Вважаємо, що ,якщо

У цьому випадку говорять, що у слабо мажорує х або х слабо супермажорує у.

Будемо вважати, що в DАВС с ³ b ³ a.

Перевіримо, що в наших  позначеннях

Для цього нам треба  перевірити виконання нерівностей:

Тоді,в силу леми:

Тим самим перевірено виконання  першої нерівності з (8)

Складаючи нерівності

отримані в ході доведення нерівності Ердеша-Морделла, отримаємо:

(тут ми знову використали нерівність )

Отже, друга нерівність з (8) також перевірена.

Третя ж нерівність являє  собою не що інше, як нерівність Ердеша-Морделла,що доведена раніше.

Нам знадобитися теорема.

Важлива функція j, визначена на множині АÌ, задовольняє умові

 ,тоді і тільки тоді, коли j монотонно не спадає і S - вгнута) на А.

Приклад S - вгнутих на функцій дають так звані елементарні симетричні функції.

- k-я елементарна  симетрична функція від змінних

x₁, x₂,…,. Таким чином,

Щодо елементарних симетричних  функцій справедливо

   Примітка:

1)Якщо х, у Î ={( x₁, x₂,…,):ÎR для всіх i} і

то кажуть, що у мажорує х і пишуть

Означення 2:

Вагома  функція j, визначена на множині АÌ, називається S - вгнутою на А, якщо

Пропозиція: Функція монотонно не спадна і S - вгнута на

Ця пропозиція належить Шуру.

     Тепер ми сформулювали всі необхідні визначення і теореми, що стосуються методу мажоризаціі. Для набору додатніх дійсних чисел х₁, х₂, х₃  існують три елементарні симетричні функції, не тотожно рівні константі:

Тепер застосуємо сформульовану  вище теорему до наборів

 і функцій S₁(x), S₂(x), S₃(x) (в силу сформульованої вище пропозиції всі три вони монотонно не спадні  і S - вгнуті на  
1.Для S₁(x)  маємо:

тобто отримали нерівність Ердеша-Морделла, яка відразу слідувала з проведеного упорядкування. 
2.Для получимо:

тобто отримали наведену вище нерівність Оппенгейма (6).

1. Для S₃(х) получаєм:

тобто отримали доведену вище іншим способом нерівність (4), що також належить Оппенгейму.

Так як всі три отримані нерівності є симетричними відносно a, b, c, то з отриманого нами доведення для випадку с³b³a  випливає, що всі ці три нерівності доведені для довільних значень a, b, c.

Так що, виявляється, нерівності (4) і (6) споріднені не тільки за зовнішнім  виглядом.

Обидві вони виявляються наслідком однієї теореми про елементарні симетричні функції.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад.

У опуклому шестикутнику ABCDEF AВ||ED, B||FE і CD||AF. Нехай R_A, і R_E радіуси кіл, описаних навколо трикутників FAB, BCD і DEF відповідно, а р - півпериметр шестикутника. Доведіть, що

R_A+R_c + R_E≥p.

Розв’язання:

Спосіб 1.

Нехай довжини сторін АВ, СВ, CD, DE, EF і FA рівні а, Ь, с, d, е і f відповідно. Побудуємо AP^BG, AS^EF, DQ^.BC, DR^EF. Тоді PQRS - прямокутник і BF≥PS=QR. Отже, 2BF≥ PS + QR і тоді (ми скористалися тим, що ÐA = ÐD, ÐB = ÐE і ÐC = ÐF).

Аналогічно,

Запишемо вирази для R_A,R_C і R_E  

Таким чином,

отже, (R_A+R_{C +} R_E)≥р. Рівність досягається тоді і тільки тоді, коли ÐA = ÐB = ÐC і BF^BC, тобто у разі правильного шестикутника.

Спосіб 2.

Розглянутий шестикутник ABCDEF можна отримати з деякого трикутника KLM, провівши прямі, паралельні сторонам цього трикутника (див. малюнок).

Нехай KL = m, LM = k, МК = l, ÐLKM = , висота до сторони LM дорівнює h, коефіцієнти подібності (гомотетіі) трикутників КСВ, DLE і AFM по відношенню до трикутника KLM рівні відповідно х, у, z. Зрозуміло, що

(ми допускаємо нижче  і випадки рівності). Якщо R - радіус кола, описаного навколо трикутника ABF,

Оцінюючи аналогічно інші радіуси і виражаючи сторони шестикутника через k, I, m, х, у, z, отримаємо, що нам достатньо довести нерівність

Ця нерівність лінійно відносна х, у, z. Але змінні  х, у, z невідмінні і задовольняють умову  (*) (насправді вони більше нуля і нерівності (*) строгі, але ми кілька розширюємо область їх зміни). Областю зміни їх є багатогранник в координатному просторі (х; у ; z) з вершинами (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0; 1; 0), (0, 0, 1), (1/2, 1/2, 1/2). Досить перевірити, що неравність (**) виконується в цих вершинах. Наприклад,при х = у = z = 1/2 і при х = у = z = 0 отримуємо нерівність

воно легко доводяться складанням очевидних нерівностей

Для інших трьох вершин нерівність (**) очевидна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Висновок:

    Часто на олімпіадах різного рівня потрібне застосування класичних нерівностей для оцінки якихось величин. Це нерівності: Кош і, Міньковского, Гелдера, нерівність Ердеша-Морделла та інші. 
     У наведеній роботі освітлений матеріал, як за допомогою леми довести нерівність Ердеша-Морделла, крім того показано застосування нерівності Ердеша-Морделла для доказу інших нерівностей, що зустрічаються в задачах алгебри, геометрії,показано різні типи доведень нерівності,а також наведено приклади еквівалентні чудовій нерівності Ердеша-Морделла.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  використаної  літератури:

1. Шклярський Д.О., Ченцов  М.М., Яглом І.М. Геометричні нерівності  й завдання на максимуми і  мінімуми. Математична наука, 2000 рік.

2. Маршалл А., Олкін І.  Нерівності: теорія мажорізаціі  та її застосування: переклад  з англійської. М. Світ, 2005 рік.

3. Тот Л.Ф., Расположения  на плоскости, на сфере и  в пространстве

4. Берже М., Геометрия.  Том 1

5.Журнал «Молодой учёный»  2012 05 (Том3)

6.А. Егоров Треугольники и неравенства // Квант. — 2005. — № 2. — С. 32—33.

7.Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "«A visual proof of the Erdős-Mordell inequality»", Forum Geometricorum Т. 7: 99–102

8.Bankoff, Leon (1958), "«An elementary proof of the Erdős-Mordell theorem»", American Mathematical Monthly Т. 65 (7): 521

9.Erdős, Paul (1935), "«Problem 3740»", American Mathematical Monthly Т. 42: 396

10.Kazarinoff, D. K. (1957), "«A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles»", Michigan Mathematical Journal Т. 4 (2): 97–98

11.Mordell, L. J. & Barrow, D. F. (1937), "«Solution to 3740»", American Mathematical Monthly Т. 44: 252–254