Закон Дарси

 

Содержание 

Введение                                                                                                                   3

1 Скорость фильтрации. Законы фильтрации                                                       5

2 Границы  применимости закона Дарси                                                               7 

3 Верхняя граница применимости закона Дарси                                               10

4 Двухчленный  закон фильтрации                                                                       16

5 Степенной  закон фильтрации                                                                            19

Задача                                                                                                                      21               

Заключение                                                                                                             23

Список  литературы                                                                                                24                                                                   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Введение 

    Закон Дарси   

    

  

Рисунок 1 Схема  наклонного пласта 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    В 1856г. французским инженером Дарси  был установлен основной закон фильтрации - закон Дарси или линейный закон фильтрации, устанавливающий линейную связь между потерей напора Н₁-Н₂ и объёмным расходом жидкости Q, текущей в трубке с площадью поперечного сечения F ,заполненной пористой средой (рисунок 1). Напор для несжимаемой жидкости имеет вид 

                                                                                              ₍₁₎

    где z- высота положения;

    р/g - пьезометрическая высота; g - объёмный вес;  u - скорость движения жидкости. Так как при фильтрации скорость обычно мала, то под напором понимается величина   

   .                                                                                           ₍₂₎

    Закон Дарси  имеет вид  

     ,            (3) 

    где с - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом фильтрации и имеющий размерность скорости.

    Закон Дарси показывает, что между потерей  напора и расходом существует линейная связь.   

    Запишем закон Дарси в дифференциальной форме, учитывая соотношение u=Q/F, 

                                                                                                        (4) 

    или в векторной форме 

     ,                                                                                          (5) 

    где s - расстояние вдоль оси криволинейной трубки тока.

    Коэффициент фильтрации с характеризует среду и жидкость одновременно, т.е. зависит от размера частиц, от их формы и степени шероховатости, пористости среды, вязкости жидкости. Этот коэффициент обычно используется в гидротехнических расчетах. При наличии различных жидкостей, что чаще бывает в подземной гидромеханике, использовать его неудобно. Поэтому закон Дарси записывается обычно в несколько ином виде

                    (6)

    или

     ,              (7) 

    где h - коэффициент динамической вязкости; k - коэффициент проницаемости, характеризующий среду; р=g H - приведённое давление, равное истинному при z=0.

    Из  сравнения (4) и (7) имеем 

     .                                                                                                         (8) 
 

    1 Скорость фильтрации. Законы фильтрации   

    При исследовании фильтрационных течений удобно отвлечься от размеров пор и их формы, допустив, что флюид движется сплошной средой, заполняя весь объём пористой среды, включая пространство, занятое скелетом породы.

    Предположим, что через поверхность F пористой среды протекает объёмный расход флюида  

    Q=`w  F_п ,              (9)  

    где `w - действительная средняя скорость жидкости; F_п - площадь пор.

    Площадь пор связана с полной поверхностью через просветность, а для неупорядочных (изотропных) сред справедливо допущение о равенстве просветности пористости. Следовательно, 

    Q=`w m F ,              (10)  

    Величина 

    u= `w m             (11)

называется  скоростью фильтрации и определяет переток флюида, осреднённый по площади. Так как m<1, то и скорость фильтрации всегда меньше средней.

    Физический  смысл введения скорости фильтрации заключается в том, что при  этом рассматривается некоторый  фиктивный поток, в котором расход через любое сечение равен  реальному расходу, поля давлений фиктивного и реального потоков идентичны, а сила сопротивления фиктивного потока равна реальной. Предполагается, что скорость фильтрации непрерывно распределена по объёму и связана со средней действительной скоростью.

    В трещиноватых пластах скорость фильтрации связана со средней скоростью  через трещиноватость

    u=m_тw.               (12)  

    Средняя скорость выражается через градиент давления по формуле Буссинеска при  представлении течения по трещинам, как течения между двумя плоскими параллельными пластинами

                   (13) 

    Если  использовать зависимости (21), (22), то получаем линейный закон фильтрации в трещиноватых средах 

                                                                                        (14) 

    По  аналогии с законом Дарси проницаемость  трещиноватых сред равна 

                (15)  

    Для трещиновато-пористой среды общая проницаемость определяется как сумма межзерновой и трещинной проницаемостей.

    Отмечалась необходимость рассмотрения трещинно-пористой среды как деформируемой. При таком подходе проницаемость трещинного пласта будет также изменяться с изменением давления, а именно:  

                    (16)  

    Необходимо  отметить, что данная зависимость  справедлива при небольших изменениях давления. В более общем случае необходимо использовать экспоненциальную связь деформации трещин с давлением. 
 
 

    2 Границы применимости закона Дарси   

    Закон Дарси справедлив при соблюдении следующих условий:

1. a)    пористая среда мелкозерниста и поровые каналы достаточно узки;
2. b)    скорость фильтрации и градиент давления малы;

    с)  изменение скорости фильтрации и градиента давления малы.

    При повышении скорости движения жидкости  закон Дарси нарушается из-за увеличения потерь давления на эффекты, связанные  с инерционными силами: образование  вихрей, зон срыва потока с поверхности  частиц, гидравлический удар о частицы и т.д. Это так называемая верхняя граница. Закон Дарси может нарушаться и при очень малых скоростях фильтрации в процессе начала движения жидкости из-за проявления неньютоновских реологических свойств жидкости и её взаимодействия с твёрдым скелетом пористой среды. Это нижняя граница.  

    Верхняя граница. Критерием верхней границы справедливости закона Дарси обычно служит сопоставление числа Рейнольдса Re=war/h с его критическим значением Re_кр, после которого линейная связь между потерей напора и расходом нарушается. В выражении для числа Re: w -характерная скорость течения: а - характерный геометрический размер пористой среды;

 r - плотность жидкости. Имеется ряд представлений чисел Рейнольдса, полученных различными авторами при том или ином обосновании характерных параметров. Приведём некоторые из данных зависимостей наиболее употребляемые в подземной гидромеханике:

    а) Павловского 

                     (17)    

    Критическое число Рейнольдса Re_кр=7,5- 9.  

    б) Щелкачёва 

                   (18)    

    Критическое число Рейнольдса Re_кр=1-12.  

    в) Миллионщикова 

                                  (19)  

    Критическое число Рейнольдса Re_кр=0,022- 0,29.

    Скорость  фильтрации u_кр, при которой нарушается закон Дарси, называется критической скоростью фильтрации. Нарушение скорости фильтрации не означает перехода от ламинарного движения к турбулентному, а вызвано тем, что силы инерции, возникающие в жидкости за счёт извилистости каналов и изменения площади сечения, становятся при u>u_кр соизмеримы с силами трения.

    При обработке экспериментальных данных для определения критической скорости пользуются безразмерным параметром Дарси

     ,            (20) 

представляющим  отношение сил вязкого трения к силе давления. В области действия закона Дарси данный параметр равен 1 и уменьшается при превышении числа Re критического значения. 

    Нижняя  граница. При очень малых скоростях с ростом градиента давления изменение скорости фильтрации не подчиняется закону Дарси. Данное явление объясняется тем, что при малых скоростях становится существенным силовое взаимодействие между твердым скелетом и жидкостью за счет образования аномальных, неньютоновских систем, например, устойчивые коллоидные растворы в виде студнеобразных плёнок, перекрывающих поры и разрушающихся при некотором градиенте давления t_н , называемого начальным и зависящим от доли глинистого материала и величины остаточной водонасыщенности. Имеется много реологических моделей неньютоновских жидкостей, наиболее простой из них является модель с предельным градиентом

     .             (21) 

    Так же, как и в пористых средах в трещиноватых породах линейный закон может нарушаться при больших скоростях фильтрации из-за появления значительных по величине сил инерции. При этом значения критических чисел Рейнольдса значительно зависят от шероховатости: для гладких трещин Re_кр=500, а для шероховатых - 0,4. Следует заметить, что если величина относительной шероховатости меньше 0.065, то её ролью в процессе фильтрации можно пренебречь.

    Для трещиноватой среды выражение для  числа Рейнольдса получается аналитически и равно 

     ,             (22)  

    а  Re_кр=0,4. 

    3 Верхняя граница применимости закона Дарси 

    Наиболее  полно изучены отклонения от закона Дарси, вызванные проявлением инерционных  сил при увеличении скорости фильтрации. Верхнюю границу применимости закона Дарси связывают обычно с некоторым критическим (предельным) значением  Re_кр числа Рейнольдса. 

             Re = wd/v                                                                                            (23) 

    где d- некоторый характерный линейный размер пористой среды;

     v-кинематический коэффициент вязкости  флюида  v = η/p 

    Многочисленные  экспериментальные исследования и, в частности, опыты Дж. Фэнчера, Дж. Льюиса и К. Бернса, Линдквиста, Г. Ф. Требина, Н.М. Жаворонкова, М.Э. Аэрова и  других были направлены на построение универсальной зависимости (по аналогии с трубной гидравликой) коэффициента гидравлического сопротивления λ от числа Рейнольдса. Однако вследствие различной структуры и состава пористых сред получить такую универсальную зависимость не удается.

    При обработке результатов экспериментов значительное внимание обращалось на такой выбор характерного размера поровой структуры, чтобы отклонения от закона Дарси возникали при одинаковых значениях числа Рейнольдса, и закон фильтрации в нелинейной области допускал универсальное представление.

    Первая  количественная оценка верхней границы  применимости закона Дарси была дана более 60 лет назад Н. Н. Павловским, который, опираясь на результаты.

    Слихтера, полученные для модели идеального грунта, и полагая характерный размер d равным эффективному диаметру dэф вывел следующую формулу для числа Рейнольдса  

      Re = wd_эф/ (0,75m + 0,23)v                                                                      (24) 

    Использовав эту формулу и данные экспериментов, Н.Н. Павловский установил, что критическое значение числа Рейнольдса находится в пределах 

    7,5 < Re_кp < 9 

    Достаточно  узкий диапазон изменения значений Reкр объясняется тем, что в опытах использовались не слишком разнообразные  образцы пористых сред.

    Для удобства обработки результатов многочисленных экспериментов различных авторов В. Н. Щелкачев предложил использовать безразмерный параметр, названный им параметром Дарси и определяемый равенством 

    Da = (wη/k)/(∆p/L) = wηL/k∆p                                                                   (25) 

 

    Рисунок 2 Зависимость параметра Дарси от числа Рейнольдса 

    w= (k/η) ·(∆p/L)                                                                                            (26)

    Отсюда  видно, что параметр Дарси представляет собой отношение силы вязкого трения к силе давления.

    Сравнивая равенство (24) и закон Дарси (26) (для случая горизонтального пласта, когда р* = р), можно утверждать, что если справедлив закон Дарси, то  

    Da = 1 

    Таким образом, равенство (24) должно выполняться при введение параметра  упрощает исследование границы применимости линейного закона фильтрации. Действительно, если на оси абсцисс откладывать lg Re  а по оси ординат lg Da,  то поскольку lg Da= 0, Re ‹ Re_кр при графиком зависимости от  будет прямая линия, совпадающая с осью абсцисс до тех пор, пока .

    Как только на этом графике линия начнет отделяться от оси абсцисс, сразу  же обнаружится нарушение закона Дарси (это соответствует значениям  Da ‹ 1, lg Da ‹ 0).

    Значение  при котором станет заметно отклонение упомянутой линии от оси абсцисс, и будет критическим значением. Для иллюстрации сказанного на рисунке 1 на логарифмической сетке приведены зависимости lg Da от lg Re , представляющие результат обработки опытов по формулам В. Н. Щелкачева. Данные на этом графике соответствуют области нелинейной фильтрации (lg Da ‹ 0) для различных образцов пористых сред.

    Основываясь на этих соображениях, В. Н. Щелкачев провел критический анализ и сравнение  формул, полученных разными исследователями, для определения  в подземной  гидромеханике и оценки возможных критических значений числа Рейнольдса  соответствующих верхней границе применимости закона Дарси.

    Результаты  такого сопоставления приведены  в таблице 1. В первых двух строках таблицы даны соответственно формулы для и коэффициента гидравлического сопротивления l, полученные разными авторами. В четвертой и пятой строках приведены соответственно критические значения  полученные самими авторами, и их уточненные значения.

    Наличие третьей строки таблице 1, в которой дано произведение  Reλ объясняется следующим (Re ‹ Re_кр) . В области линейного закона фильтрации  справедливо равенство (244).

    Поэтому если произведение  зависит только от параметра Da, то оно имеет постоянное значение (не зависящее от свойств пористой среды) в случае, если Reλ.

    И  только в этом случае можно получить «универсальный» прямолинейный график в координатах (lg Re, lg λ)  соответствующий фильтрации различных флюидов через различные по свойствам пористые среды. Результаты обработки опытов подтверждают этот вывод.

    На  основе анализа данных, приведенных  в таблицы 1, можно сделать следующие выводы.

    1. Несмотря на отмеченные недостатки  результатов Н. Н. Павловского,  есть основания для их сопоставления с соответствующими результатами трубной гидравлики. Важно подчеркнуть, что критические значения числа Рейнольдса, подсчитанные по формуле (23), намного меньше тех, которые в трубной гидравлике соответствуют переходу ламинарного течения в турбулентное.

    Это служит одним из доводов в пользу того, что причины нарушения закона Дарси при высоких скоростях  фильтрации (увеличение влияния сил  инерции по мере увеличения ) не следует  связывать с турбулизацией течения. Отсутствие турбулентности при нарушении закона Дарси было доказано также прямыми опытами, изложенными Г. Шнебели.

    Формулы Фэнчера, Льюиса и Бернса получены формальным введением в выражение для  числа Рейнольдса эффективного диаметра d_эф  в качестве характерного размера пористой среды, они не сопоставимы с результатами трубной гидравлики, дают слишком узкий диапазон изменения значений Re_кр, мало обоснованы.

    2. Во все другие формулы таблицу 1 (графы 5-9) в качестве характерного размера входят величины, пропорциональные √к (где k-коэффициент проницаемости породы), методы определения которых хорошо известны. Формулы этой группы не имеют принципиальных преимуществ и одинаково удобны для практического использования. Для этих формул характерно то, что все они приводят к очень широким диапазонам изменения Re_кр для различных пористых сред. И это представляется вполне естественным ввиду разнообразия свойств испытанных пористых сред. Кроме того, это свидетельствует о том, что ни в одну из предложенных формул для определения Re не входит полный набор параметров, позволяющий характеризовать сложную структуру пористых сред, использования для этой цели коэффициентов пористости проницаемости явно недостаточно.

    Вместе  с тем, широкий диапазон изменения  значений Re_кр можно разбить на сравнительно узкие интервалы, соответствующие различным группам образцов пористых сред. Это облегчает указание возможной верхней границы справедливости закона Дарси при движении флюида в какой-либо пористой среде.

    Итак, при значениях числа Рейнольдса Re › Re_кр линейный закон Дарси перестает быть справедливым. Первое обобщение закона Дарси на случай больших Re основанное на опытных данных, было выполнено Дюпюи, который сформулировал двучленный законфильтрации, носящий имя австрийского исследователя Ф. Форхгеймера, независимо установившего его несколько позднее. В принятых сейчас обозначениях это соотношение можно представить (для простейшего случая прямолинейно-параллельного течения без учета силы тяжести) в следующем виде:

    ∆p/L = nw/k + βρw²/k                                                                                (27)

    где b - дополнительная константа пористой среды, определяемая экспериментально. 

    Таблица 1 – Определение верхней границы применимости закона Дарси по данным различным исследований 

№ п/п	Параметры	Павловский	Фэнчер, Льюис, Бернс	Щелкачев		Милли-онщиков
1	Re	wdэф _______            (0,75m+ 0,23)v	wdэф/ v	10w√k m2,3  v		m√k m3/2v
2	λ	-	dэф ∆p 2Lρw2	2m2,3√k∆p Lρw2		m3/2√k∆p 2Lρw2
3	Reλ	-	_0,5__ f(m)Da	20/Da		_0,5__    Da
4	Reкр (по  данным формул)	7,5-9	1-4	1-12		0,022-0,29
5	Reкр  уточненные  значения	-	-	0,032-14		0,015-0,60
№ п/п	Параметры	Котяков	Минский		Абдулвагабов
1	Re	4√2w√k m3/2v	w√k   v		12(1-m) w√k         m2v
2	λ	2m2,3√k∆p Lρw2	√k∆p 2Lρw2		4,6(1-m)m2√k∆p Lρw2
3	Reλ	_8√2__    Da	_0,5__    Da		55,2(1-m)2        Da
4	Reкр (по  данным формул)	0,3	-		0,019-8,1
5	Reкр  уточненные  значения	0,0085-3,4	-		0,019-8,1

     4 Двухчленный закон фильтрации 

     От  точности используемого закона фильтрации зависит достоверность данных исследования скважин и определение параметров пласта. В связи сэтим в области нарушения действия закона Дарси необходимо введение более общих, нелинейных законов фильтрации. Данные законы разделяются на одночленные и двухчленные.

     Одночленные законы описываются степенной зависимостью вида

                                                                            

     где C, n - постоянные, 1£ n £ 2.

     Данные  зависимости не удобны, т.к. параметр n в общем случае зависит от скорости фильтрации. В связи с этим наибольшее употребление нашли двухчленые зависимости, дающие плавный переход от закона Дарси к квадратичному, называемому формулой Краснопольского

                                                                                        (28)

     Коэффициенты А и В определяются либо экспериментально, либо теоретически. В последнем случае

                                                                                     (29)

     где b - структурный коэффициент и по Минскому определяется выражением

                                                                                          (30)

     В области нарушения верхней границы  закона Дарси необходимо использовать степенной или двухчленный законы фильтрации. В целях общности рассмотрим фильтрацию при двухчленном законе для случая плоско-радиального течения

      ,                                                                                     (31)

     где .

     Течение реального газа по двухчленному закону. В большинстве случаев дебит газовых скважин не следует закону Дарси, так же как в некоторых случаях и для нефтяных и водяных скважин. Вблизи фильтрационных отверстий при приближении к стенке скважины скорость фильтрации становится настолько большой, что число Рейнольдса превосходит критическое. Квадраты скоростей становятся настолько большими, что ими пренебрегать уже нельзя. Уравнение притока реального газа по двухчленному закону фильтрации к совершенной скважине записывается в виде, аналогично идеальному,