Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Замечательные кривые в математике

Оглавление.

Введение. 3

Раздел I. 4

§1.Немного истории. —

§2. Простейшие кривые. 7

§3. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК О ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ КРИВЫХ……………………………………………..18

§4. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ И ИХ СВОЙСТВА……………………………………………………….....27

4.1.ЦИКЛОИДА………………………………………………………………………………………………….…-

4.2. ЭПИЦИКЛОИДА……………………………………………………………………………………..……….28

4.3. ГИПОЦИКЛОИДА……………………………………………………………………………………..……..29

4.4. ДЕЛЬТОИДА…………………………………………………………………………………………………..30

4.5. АСТРОИДА………………………………………………………………………………………….………...31

4.6. ОВАЛ КАССИНИ………………………………………………………………………………………….….32

4.7. ЛЕМНИСКАТА…………………………………………………………………………………………..…...34

4.7.1. ЛЕМНИСКАТА БУТА……………………………………………………………………………..………..35

4.7.2. ЛЕМНИСКАТА БЕРНУЛИ……………………………………………………………………..……..…...36

4.8. ЛОКОН АНЬЕЗИ…………………………………………………………………………………………. .…38

4.9. УЛИТКА ПАСКАЛЯ…………………………………………………………………………………….…....39

4.10. ДЕКАРТОВ ЛИСТ………………………………………………………………………………..………….40

4.11. АРХИМЕДОВА СПИРАЛЬ………………………………………………………………………….….…..42

4.12. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ………………………………………………………………………..42

4.13. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ………………………………………………………………………....44

4.14. КОНХОИДА НИКОМЕДА………………………………………………………………………...……….44

4.15. КАРДИОИДА…………………………………………………………………………………..……………45

Словарь………………………………………………………………………………………………..47

Список литературы. .49

Введение

Сами по себе кривые очень разнообразны и имеют богатую историю. Ещё с древних времён они представляют огромный интерес для учёных. В своё время кривые изучал Декарт, Архимед, Аристотель. Самые простые из них – прямая и окружность встречаются в природе. Если уже созданы сферы, то отбрасываемые ими тени имеют очертания конических сечений, поэтому и учение о конических сечениях можно считать вполне естественным.

Интерес к коническим сечениям возрастал по мере того, как увеличивалось количество решаемых с их помощью задач. Свойства конических сечений стали предметом специального теоретического исследования. Коническим сечениям был посвящен ряд сочинений, но все эти сочинения были забыты, когда появился труд Аполлония о конических сечениях. Он не имеет себе равных по полноте, общности и систематичности изложения теории конических сечений.

Данную работу я также посвятила кривым, так как считаю эту тему очень занимательной и интересной. Столкнувшись с данной темой, я была поражена многообразием кривых. В школе изучаются лишь плоские кривые второго порядка, такие как окружность, гипербола, парабола и одна из кривых третьего порядка – кубическая парабола, даже эллипсу не уделено должного внимания, хотя у него имеются очень интересные свойства, и окружность мы получаем как раз как предельный случай эллипса, если сближать его фокусы. Изучая данную тему я впервые столкнулась с изображением таких замечательных кривых как астроида (что в переводе с греческого означает «звездообразная»), дельтоида (свое название она получила из-за сходства с прописной греческой буквой ) или еще её называют кривой Штейнера, кардиоида (сердцевидная кривая), улитка Паскаля, нефроида (что означает – напоминающая очертаниями почку), лемниската Бернулли, овалы Кассини, локон Аньези, конхоида Никомеда, Декартов лист, трех– и четырехлепестковая розы, спирали: Архимеда и Галилея, гиперболическая и логарифмическая. Каждая из этих кривых имеет присущий только ей вид и свойства. Даже со многими из этих названий до написания данной курсовой работы я раньше не встречалась, не говоря уже о том, как и при помощи чего они могут быть построены (например, все гипо– иэпициклоиды могут быть построены при помощи специального приспособления называемого спирографом) Все вышеперечисленные кривые каким-либо образом затрагиваются в представленной курсовой работе.

Раздел I.

§1.Немного истории.

Кривые имеют богатую историю. Самые простые из них – прямая и окружность встречаются в природе. Если уже созданы сферы, то отбрасываемые ими тени имеют очертания конических сечений, поэтому и учение о конических сечениях можно считать вполне естественным.

Аполлоний Пергский (около 266–177 гг. до н.э.) - младший современник и научный соперник Архимеда. Продолжительное время он жил и работал в Александрии, затем возвратился на родину в г. Пергам (в Малой Азии), где был главой математической школы. Из многочисленных математических сочинений Аполлония до нас дошли в основном только 7 из 8 книг «Конических сечений». Теория конических сечений развивается Аполлонием на основе достаточно общих исходных посылок. Он сразу вводит обе полости произвольного конуса с круговым основанием и рассматривает плоские его сечения. Каждую из получающихся при этом кривых он рассматривает по отношению к некоторому диаметру и семейству сопряженных с ними хорд. Из образующегося класса кривых выделяет канонические формы, в которых диаметры перпендикулярны к сопряженным с ними хордам. < 10 >

Сохранилось еще одно из многих произведений Аполлония «О делении в данном отношении».

Исторически сложилось, что на протяжении тысячелетий окружность считалась совершеннейшей из всех кривых. Поэтому ни у кого не вызвало сомнений, что планеты движутся в небесах по круговым орбитам. Когда же астрономические наблюдения выявили несоответствие этих представлений небесным явлениям, были изобретены эпициклы- окружности, движущиеся по окружности. И хотя со временем от идеи объяснения движения планет с помощью эпициклов пришлось отказаться, для геометрии они представляют огромный интерес.

В эпоху возрождения не было узких ученых-специалистов. Талантливый человек занимался и философией, и физикой, и математикой и всюду получал интересные результаты и делал крупные открытия.

Великий античный философ- «отец логики»- Аристотель (384-322 гг. .до н.э.),занимаясь логическим понятием движения, рассматривал, между прочим, следующий парадокс.

Пусть кружок (рис.1) катится по прямой . Когда кружок этот сделает полный оборот, точка вернется на прямую и займет положение . При этом, как мы знаем, отрезок будет равен длине большой окружности. Рассмотрим начерченный малый круг с центром . Когда точка придет в положение , этот маленький круг тоже сделает полный оборот и его точка придет в положение . При этом в каждый момент времени какая-то одна единственная точка маленькой окружности совмещается с единственной же точкой отрезка . Каждой точке окружности соответствует единственная точка отрезка и каждой точке отрезка- единственная точка окружности. Поэтому напрашивается вывод: длина маленькой окружности равна длине отрезка , т.е. равна длине большой окружности. Итак, круги различных радиусов имеют окружности одинаковой длины! В этом и состоит парадокс Аристотеля.

Ошибка здесь в следующем. Из того, что каждой точке окружности радиуса соответствует единственная точка отрезка , вовсе не следует, что длина этой окружности равна . Так, например, на рис 2 точки отрезка приведены при помощи лучей, проходящих через точку , во «взаимно однозначное» соответствие с точками вдвое большего отрезка , но никому в голову не придет утверждать, что отрезки и имеют одинаковую длину. Это же относится не только к отрезкам прямых, но и кривых линий. Парадоксу Аристотеля можно придать следующую, более глубокую, а потому и более ясную форму: рассмотрим две концентрические окружности (рис.3). На них «поровну» точек: соответствующие точки соединены прямыми линиями (радиусами). И все же никто не станет утверждать, что длины этих окружностей одинаковы.

Сравнение рисунков 1 и 4 приводит нас к очень важному выводу. Возможно два типа качения окружности по прямой. Один тип имеет то свойство, что в любой момент времени (при любом положении производящего круга) длина дуги на рис 4 равна длине отрезка . Для другого типа качения, изображенного на рисунке 1, где малый круг радиуса катится по прямой это свойство не выполняется. В первом случае говорят, что окружность катится по прямой без скольжения. Во втором говорят, что окружность не только катится, но и скользит по прямой . Если мы будем рассматривать качение без скольжения, то получим циклоиду (рис.4).

Аристотель рассматривал именно то движение, которое через 1900 лет привело Галилея к открытию циклоиды, а после и многих кривых, которые были открыты другими учеными. < 1 >

Общими свойствами алгебраических кривых успешно занимался Ф. Николь (1731г.). Специальные мемуары на эту тему издали Маклорен (1720г.), Мопертюи (1731г.), Брекенридж (1733г.) и др. Впоследствии кривым были посвящены работы Штейнера, Сальмона, Сильвестра, Шаля, Клебша.

§2. Простейшие кривые

Прямая и окружность

Прямая и окружность - две наиболее простые и вместе с тем наиболее замечательные по своим свойствам кривые. Любой человек знаком с прямой и окружностью больше, чем с другими кривыми. Но пусть он не думает, что ему хорошо известны все важнейшие свойства прямых и окружностей. Знает ли он, например, что если вершины двух треугольников АВС и A'B'C' лежат на трех прямых, пересекающихся в одной точке 5 (рис. 1), то тогда три точки М, К., L пересечения соответственных сторон треугольников АВ с А'В', ВС с В'С' и АС с А'С' должны находиться на одной и той же прямой?

Рис. 1. Рис. 2.

Известно, что точка М, которая движется по плоскости, оставаясь на равных расстояниях от двух неподвижных точек F₁ и F₂ той же плоскости, т. е. так, что MF₁= MF₂; описывает прямую (рис. 2). Но, вероятно, он затруднится ответить, какую кривую опишет точка М, если ее расстояние до точки F₁ будет в определенное число раз превосходить расстояние до точки F₂ (например, вдвое, как на рис. 3). Оказывается, что этой кривой является окружность. Следовательно, если точка М движется по плоскости так, что ее расстояние до одной из двух неподвижных точек F₁ и F₂ плоскости будет изменяться пропорционально расстоянию до другой точки: MF₁ = k MF₂, то М будет описывать либо прямую (k=1), либо окружность ().

Рис. 3.

Парабола

Парабола – одно из конических сечений. Эту кривую можно определить как фигуру состоящую из всех точек М плоскости, расстояние которых до заданной точки F, называемой фокусом параболы, равно расстоянию до заданной прямой L , называемой директрисой параболы (рис).

Ближайшая к директрисе точка параболы называется вершиной параболы; прямая, проходящая через фокус перпендикулярно директрисе, - это ось симметрии параболы. Её называют просто осью параболы.

Гипербола

По аналогии с эллипсом можно строить кривые, описываемые точкой М так, что остается неизменной не сумма, а разность расстояний до двух определенных точек F₁ и F₂ или произведение, или, наконец, частное таких расстояний (в последнем случае получается окружность).

Равносторонняя гипербола

График обратной пропорциональности

Читатели знакомы с определением гиперболы как графика обратной пропорциональной зависимости. Как будет видно, это - определение частного вида гиперболы - равносторонней гиперболы (происхождение такого названия выяснится позже). Именно этой кривой мы посвящаем первую часть статьи. Для краткости мы будем пока называть равностороннюю гиперболу просто гиперболой.

Две переменных и называются обратно пропорциональными, если их произведение постоянно:

(1)

Будем сначала считать их положительными (от этого ограничения мы скоро избавимся); тогда и . Одно из них, например , может принять любое положительное значение, тогда другое должно принять только одно значение . Таким образом, равенство (1) представляет собою при каждом определенную функцию с областью определения и областью значений . График этой функции, изображенный на рисунке 1, называется одной ветвью равносторонней гипербол, мы для краткости будем первое время называть его просто гиперболой, не только пропуская слово «равносторонняя», но и не повторяя слов «одна ветвь».

Наше определение опирается на понятие графика функции. Можно, однако, принять другую, «чисто геометрическую» формулировку: гиперболой называется множество четвертых вершин прямоугольников заданной площади , у которых одна вершина совпадает с вершиной данного прямого угла, а две - и – лежат на его сторонах (см. рис.1).

Точка называется центром гиперболы — происхождение этого названия выяснится дальше.

Через каждую точку , с координатами и пройдет одна (но только одна!) гипербола - именно та, для которой постоянная , входящая в определение гиперболы, равна . На рисунке 2 для жирной гиперболы =2,4, =3,5, =8,4. Если мысленно изобразить на общем чертеже все гиперболы (т.е. гиперболы при всевозможных ), то они заполнят всю «внутренность» угла . На рисунке 2, кроме жирной гиперболы, изображено еще несколько: при = 1, 2, 3, 4, 5 и 16. Таким образом, гипербол - бесконечное множество, каждая из них определяется значением параметра .¹

Форма гиперболы, ее вершина и асимптоты.

Гиперболы с различными значениями параметра похожи друг на друга, но они не равны - их нельзя совместить наложением. Однако легко доказать, что все они подобны, даже подобно расположены с центром подобия . Читателю предлагается доказать это, пользуясь рисунком 3.

Опишем форму гиперболы (точнее - одной ветви равносторонней гиперболы), т.е. перечислим ее свойства, прежде всего бросающиеся в глаза.

Гипербола имеет бесконечное протяжение - она не может вся поместиться на ограниченном куске плоскости. Какое бы большое число ни было задано, можно указать на гиперболе точку, удаленную от точки на расстояние, большее чем (докажите).

Гипербола симметрична относительно биссектрисы угла (рис.4), т.е. для любой точки гиперболы симметричная точка также принадлежит этой гиперболе (докажите).

Точка пересечения гиперболы с ее осью симметрии называется вершиной гиперболы. Каждая координата вершины гиперболы с параметром равна . Расстояние вершины от центра гиперболы (его будем обозначать ) равно . Вершина - ближайшая точка гиперболы от центра (докажите).

В отличие от окружности, которая одинаково искривлена во всех своих частях, гипербола сильнее всего искривлена в окрестности своей вершины, а по мере удаления от нее в любую сторону «распрямляется». Мы не даем доказательства этого очевидного свойства гиперболы; не будем доказывать и другого важного свойства гиперболы – гладкости во всех ее точках (кривая называется гладкой или плавной в данной ее точке, если в этой точке существует касательная к кривой). Доказательства обоих свойств требуют знания основ дифференциального исчисления.

Каноническое уравнение гиперболы.

Уравнение гиперболы общего вида, отнесенное к ее осям симметрии, зависит от того, лежат ее вершины на оси или на оси . Получить уравнения обеих гипербол (толстой и тонкой) можно из уравнений (4) равносторонних гипербол совершенно таким же способом, как было получено уравнение эллипса из уравнений окружности. Приводим эти уравнения:

(толстая), (тонкая); (5)

здесь и - полуоси сопряженных гипербол

Уравнения (5) отличаются от уравнения эллипса , вписанного в тот же фундаментальный прямоугольник, тем, что в левой части у обоих членов разные знаки. Замечательное сходство эллипса и гиперболы! Фокальное свойство гиперболы

Известно, что эллипс обладает замечательным «фокальным» свойством: в его плоскости существуют такие точки и (фокусы), что сумма расстояний каждой точки эллипса до его фокусов одна и та же - она равна длине большой оси эллипса:

. (6)

Похожее свойство имеется и у гиперболы. В ее плоскости существуют две точки (фокусы гиперболы), такие что разность расстояний каждой точки гиперболы для этих точек одна и та же - она равна расстоянию между вершинами гиперболы:

(7а)

Здесь - фокус, более удаленный от , чем (рис.12). Оба фокуса лежат на оси симметрии гиперболы, проходящей через ее вершины и ; расстояние каждого фокуса от центра гиперболы равно ,

где и - длины полуосей данной гиперболы и ее сопряженной. Важная связь между тремя «элементами гиперболы» : (8)

аналогична связи для эллипса.

На рисунке 12 точка лежит на правой ветви гиперболы; для любой точки на левой ее ветви формула (7а) будет иметь вид

. (7б)

Для сопряженной ей гиперболы (тонкой) фокусами будут и . Все 4 фокуса взаимно сопряженных гипербол лежат на окружности, центр которой - в центре гиперболы, а радиус равен половине диагонали прямоугольника , фундаментального для обеих гипербол.

Фокальное свойство часто принимается за определение гиперболы.

Вычерчивание гиперболы непрерывным движением.

На фокальном свойстве основано вычерчивание гиперболы при помощи двух нитей, аналогичное известному вычерчиванию эллипса. Положим лист бумаги на чертежную доску и наколем на лист бумаги две канцелярские кнопки и (рис.13). Возьмем две нити, разность длин которых () меньше расстояния между кнопками (), конец каждой нити привяжем к ножкам кнопок, а оставшиеся концы свяжем узлом (точка ). Держа теперь узел в левой руке, защепим обе нити острием карандаша и будем двигать карандаш по бумаге так, чтобы обе нити и были все время в натянутом положении. Тогда острие карандаша все время находится на одной ветви гиперболы с фокусами и и длиной оси (при ), так как

Для вычерчивания второй ветви следует поменять местами кнопки с привязанными к ним нитями. Вычерченные дуги гиперболы будут тем длиннее, чем длиннее нити.

Приложение гиперболы в военном деле.

Требуется определить на карте, как нужно направить орудие, чтобы поразить неподвижную звучащую цель, например, стреляющее орудие противника (рис.14).

По обе стороны орудия располагают симметрично относительно два пункта и , в которых фиксируется время дошедшего до них звука выстрела вражеского орудия . Пусть этот звук слышен в пункте в момент , а в пункте - в момент . Если , то очевидно, и орудие следует направить по перпендикуляру к . Если же , то есть – , где — скорость звука в воздухе, а — разность расстояний от пунктов и . Значит, орудие находится на одной ветви гиперболы с фокусным расстоянием и расстоянием между вершинами , именно — на той ветви, которая ближе к пункту, где звук выстрела услышан раньше. Асимптоты этой гиперболы легко построить на карте: угол между асимптотой и прямой таков, что .

Так как далекая точка близка к асимптоте, мы можем практически принять и направить орудие под углом к .

Мы не объяснили названия гиперболы (по-древнегречески hyperbole значит «избыток», «преувеличение»), не рассказали о других важных свойствах этой кривой, общих для всех конических сечений - эллипса, гиперболы и параболы

Эллипс

Рассмотрим кривую, описываемую точкой М так, что сумма расстояний этой точки до двух неподвижных точек F₁ и F₂ остается неизменной. Возьмем нить, концы ее привяжем к двум булавкам и воткнем эти булавки в лист бумаги, оставляя сначала нить ненатянутой. Если оттянуть теперь нить с помощью вертикально поставленного карандаша и затем передвигать карандаш, слегка придавливая его к бумаге и следя за тем, чтобы нить была натянутой, то острие М карандаша опишет кривую овальной формы (похожую на сплющенный круг); она называется эллипсом.

Чтобы получить полный эллипс, придется перекинуть нить на другую сторону от булавок, после того как будет описана одна половина эллипса. Очевидно, что сумма расстояний от острия М карандаша до булавочных проколов F₁ и F₂ остаётся неизменной во все время движения; эта сумма равна длине нити.

Определение эллипса. Элементы эллипса.

Эллипсом называется фигура, полученная в результате РС окружности. Пусть - радиус окружности (рис. 3, ось РС будем считать проходящей через центр окружности). Тогда диаметр , лежащий на оси, перейдет в себя (), а перпендикулярный к нему диаметр – в отрезок (). Обозначим через , тогда .

Отрезки и называются осями эллипса, а их половины (а также числа и ) – его полуосями. Если (растяжение), то (рис. 3), если же (сжатие), то . При окружность перейдет в окружность. Больший из отрезков называется большой осью эллипса, а меньший – малой осью. Значит, если , то – малая полуось, а – большая, а если , то наоборот. В обоих случаях .

Точка о – центр окружности – при РС переходит сама в себя, эта точка называется центром эллипса, точки – его вершинами. Квадрат , описанный вокруг окружности так, что а , преобразуются в прямоугольник со сторонами и , описанный вокруг эллипса; его называют фундаментальным прямоугольником для нашего эллипса. Стороны этого прямоугольника касаются эллипса в его вершинах.

Как начертить эллипс.

Если заданы оси эллипса, то проще всего начертить эллипс от руки, построив сначала фундаментальный прямоугольник, а затем вписав в него овальную кривую. Но этот метод не точен, существует много овальных кривых с одними и теми же осями симметрии (несколько таких кривых изображено на рисунке 4), но только одна из них ( на рисунке 4 – жирная) является эллипсом. Можно точно построить сколько угодно точек эллипса. Наиболее простой способ изображен на рисунке 5.

Начертить эллипс непрерывным движением, не отрывая карандаша от бумаги, подобно тому, как мы вычерчиваем окружность циркулем, можно специальным прибором – эллипсографом.

Уравнение линии. Уравнение эллипса.

Одним из самых замечательных открытий XVII века является метод координат, позволяющий переводить геометрические понятия на алгебраический язык. Этот метод дает возможность устанавливать соответствие между линиями, лежащими на плоскости, на которой введена система координат, и уравнениями, содержащими две буквы и . Уравнением линии называется такое уравнение относительно и , которое обращается в тождество при подстановке вместо и значений в том и только в том случае, когда точка с координатами лежит на этой линии. Например, уравнение есть уравнение биссектрисы I и III координатных углов, а уравнение окружности радиуса с центром в начале координат имеет вид .

Пусть данный эллипс с полуосями и получен как РС окружности радиуса с коэффициентом (рис. 7). Введем на плоскости, содержащей обе эти линии, систему координат следующим образом: ось направим по оси РС, а ось – через центр окружности , который является и центром эллипса, перпендикулярно к оси . Пусть – точка на окружности, а – та точка эллипса, в которую перейдет при РС.

Координаты точки обозначим через , а точки – через . По определению РС , откуда . Если подставить в уравнение окружности координаты любой точки , то будет верно равенство , и, значит на основании верным будет равенство . Если же точка не лежит на эллипсе, то точка , переведена в в результате РС, не лежала на окружности, и равенство неверно, значит, неверно и равенство . В соответствии с определением уравнения линии мы получили такое уравнение эллипса: . Поскольку , последнее уравнение приводится к виду .

Это и есть уравнение эллипса в наиболее удобной (так называемой канонической) форме.

Фокальное свойство эллипса.

Мы переходим к наиболее важному свойству эллипса – фокальному.

Будем рассматривать эллипс как сечение кругового цилиндра. Вкатим теперь в цилиндр с обоих его концов по фару (того же радиуса, что и цилиндр) так, что бы оба шара стукнулись о плоскость его сечения (рис. 9), на геометрическом языке – впишем шары в цилиндр так, что бы они касались плоскости сечения.

Точки прикосновения и и будут фокусами нашего эллипса.

Каждый шар касается цилиндра по окружности. Возьмем любую точку эллипса и отметим ту образующую цилиндра, на которой точка лежит ( и – точки этой образующей, лежащие на окружности касания). Ясно, что , так как это длины двух касательных к правому шару, проведенных из до точек прикосновения и (эти отрезки равны как образующие конуса с вершиной , описанного около правого шара). Рассуждая так же для левого шара, получаем: . Сложив оба равенства, имеем: .

Но длина одна и та же для всех образующих цилиндра, это – расстояние между плоскостями окружностей касания. Значит, какую бы точку на эллипсе ни взять, будет удовлетворяться равенство

Таким образом, сумма расстояний от любой точки эллипса до двух его фокусов – величина постоянная. В этом и состоит фокальное свойство эллипса. Часто эллипс и определяется как множество точек, лежащих в одной плоскости, для которых сумма расстояний до двух точек (фокусов) – величина постоянная.

Расстояние от каждого фокуса до конца малой оси равно половине длины большой оси эллипса (рис. 10) или, иначе, .

В этой формуле – большая полуось, – малая, – половина расстояния между фокусами. Для доказательства этой формулы рассмотрим конец большой оси эллипса (точка на рисунке 10). По фокальному свойству ; вследствие симметрии ; значит, постоянная const равна , т.е. большой оси . С другой стороны, для конца малой оси, например, , , а так как, в силу симметрии, , то каждый из этих отрезков равен . Это дает способ построения фокусов эллипса по его осям (рис. 10).

Замечательные кривые в математике 📙 Курсовая → 🆔 80972