Застосування диференціального та інтегрального числення в економічній теорії

 

 

 

Курсова робота: 20 с., 2 рисунка, 7 джерел.

Об’єкт дослідження –  застосування диференціального та інтегрального числення в економічному аналізі.

Метод дослідження – аналітичний.

Мета дослідження –  застосувати диференціальне та інтегральне числення в задачах економічного аналізу.

У курсовій роботі розглянуто основні питання диференціального числення, застосування його апарату  в економічному аналізі, а саме  наведено основні формули, твердження, умови, зауваження, запропоновано приклади розв’язання типових задач теоретичного і практичного характеру, економічного змісту. На основі цього матеріалу  вивчено методи застосування диференціального числення в економічному аналізі, а  саме надані поняття маргінальної похідної, маргінальних витрат, еластичності функції, нееластичності функції, функції доходу фірми, еластичності попиту за ціною, наведено приклади обчислення еластичностей  елементарних функцій. Досліджено теорію одноресурсної фірми, задачу вибору фірмою оптимального обсягу виробництва, закон спадної ефективності виробництва, оптимізацію оподаткування підприємств.

ЕЛАСТИЧНІСТЬ, ВИРОБНИЧА ФУНКЦІЯ, ЛОГАРИФМІЧНА ПОХІДНА, ФУНКЦІЯ ПОПИТУ, КРИВА ЛОРЕНЦА

 

 

ЗМІСТ

 

 

ВСТУП 4

1 ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ В ЕКОНОМІЦІ 5

1.1 ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ 5

1.2 ОПТИМАЛЬНИЙ  РІВЕНЬ ВИРОБНИЦТВА. 6

1.3 ЕЛАСТИЧНІСТЬ  ФУНКЦІЇ ТА ЇЇ ГЕОМЕТРИЧНИЙ  ЗМІСТ. 9

1.3.1 Еластичність функції 9

1.3.2 Логарифмічна похідна у економіці та її зв'язок із еластичністю попиту. 9

1.3.3 Геометричний зміст еластичності 11

2 ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ В ЕКОНОМІЦІ 14

2.1 ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ 14

2.2 КРИВА ЛОРЕНЦА  ТА КОЄФІЦІЕНТ ДЖІНІ 16

ВИСНОВКИ 19

Список використаної літератури: 20

 

 

 

 

ВСТУП

 

Диференціальне числення - широко вживаний для економічного аналізу математичний апарат. Базовим  завданням економічного аналізу  є вивчення економічних величин, записуваних у вигляді функцій. У якому напрямі зміниться  дохід держави при збільшенні податків або при введенні імпортних  мит? Збільшиться або зменшиться виручка фірми при підвищенні ціни на її продукцію? У якій пропорції  додаткове устаткування може замінити вибуваючих працівників? Для вирішення  подібних завдань мають бути побудовані функції зв'язку змінних, що входять  в них, які потім вивчаються за допомогою методів диференціального числення.

 

 

 

 

1. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ В ЕКОНОМІЦІ

 

1.  ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ

 

Теоретичний аналіз різнобічних  явищ  економіки використовує низку  граничних величин. Ось лише деякі  з них: гранична вартість, граничні витрати, граничний прибуток, гранична продуктивність, гранична корисність, гранична схильність до вжитку. Всі  ці величини досить тісно пов’язані  з поняттям похідної.

Для прикладу розглянемо граничні витрати.

Нехай y(x) – витрати на виготовлення x екземплярів деякого продукту. Тоді – швидкість зміни витрат при зміні кількості продукту. Ця похідна називається граничною (маржинальною) вартістю.

За означенням похідної маємо:

 

 

 

 

 

Відповідно, можна вважати, що похідна  приблизно дорівнє відношенню . Візмемо у ролі =1. Це можна зробити, бо на практиці x – це досить велике число порівняно з =1.

Підставляючи в (1.1) отримаємо:

 

 

 

 

 

Різниця виражає, на скільки змінились витрати при виготовленні додаткової одиниці продукції. Тому економісти визначають граничні  витрати так само, як і витрати на виготовлення додаткової одиниці продукції.

Приклад 1. Залежність витрат виробництва одного з підприємств від об’єму продукції що випускається виражається формулою

Визначити середні та граничні витрати при обсязі продукції =15 грошових одиниць.

Розв’язок. Функція середніх витрат на одиницю продукції визначається формулою , в нашому випадку ,

Звідки 

 грошових одиниць.

Граничні витрати знаходемо  за формулою

 

 

 

звідки при =15 отримуємо грошових одиниць.

Інакше кажучи, при середніх витратах на виробництво одиниці  продукції у 33,25 грош. од. додаткові  витрати на виробництво одиниці  продукції складатиме 19,75 грош. од. та не перевищуватиме середніх витрат.

Отже, гранична величина характеризує не стан, а процес, зміну економічного об’єкту.

1.2 ОПТИМАЛЬНИЙ РІВЕНЬ ВИРОБНИЦТВА.

 

Нехай x – кількість реалізованого товару, R(x) – функція прибутку, C(x) – функція витрат на на виробництво товару. Позначимо функцію прибутку як . Тоді

 

 

 

 

Очевидно, що оптимальним  рівнем виробництва є той, при  якому прибуток максимальний. Тобто  таке значення випуску , при якому функція приймає максимум. Згідно теореми Ферма у цій точці .

 Отримаємо , тобто якщо рівень випуску є оптимальним для виробника, то граничний прибуток і граничні витрати співпадають.

Отримаємо:  Для того, щоб  прибуток був найбільший, треба, щоб  граничний дохід та граничні витрати  були рывними.

Приклад 1. Нехай функція доходу від кількості реалізованого товару х виражається формулою , а функція витрат на виробництво товару – формулою Визначити оптимальний рівень виробництва та прибуток, який при цьому отримуємо.

Розв’язання. Прибуток визначається формулою ,

звідки 

 

 

 

Прирівнюючи похідну прибутку

 

 

 

до нуля, отримаємо рівняння

 

 

 

Корені цього рівняння Первірка показує, що максимальний прибуток досягає при x=2000.

 грошових одиниць.

Приклад 2. Фірма виробляє два види товарів і продає їх за ціною 1000 грош. од. і 800 грош. од. відповідно. Об’єми випуску товарів - . Функція витрат має вид . Потрібно знайти такі значення , при яких прибуток, одержуваний фірмою, максимальний і знайти цей прибуток.

Розв’язання. Сумарний дохід від продажу товарів :

. Прибуток (), звідки ( = . Знайдемо максимум даної функції.

 

 

 

 

 

Точка є стаціонарною. Покажемо, що в ній функція досягає максимуму:

 

 

 ,  C

 

 

A, тобто є точкою максимуму. Сума максимального прибутку складає  П(100; 300) = 170 000 грош. од.

 

 

 

 

1.3 ЕЛАСТИЧНІСТЬ ФУНКЦІЇ ТА ЇЇ ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ.

 

 

1. Еластичність функції

 

 

Означення. Еластичністю функції називається наступна границя

 

 

 

 

 

- коефіцієнт еластичності .

Чисельно еластичність дорівнює приблизному відсотковому приросту функції (підвищення або зниження), відповідному приросту незалежної змінної  на 1%.

Означення. еластична в точці , якщо , не еластична. якщо , нейтральна, якщо

 

 

2. Логарифмічна похідна у економіці та її зв'язок із еластичністю попиту.

 

 

Нехай y(t) - величина вкладу у момент часу t (в роках). Чи можливо визначити (приблизну) річну ставку банківського проценту p за  функцією y(t)?

Якщо проценти нараховуються  неперервно, то величина вкладу y(t) вираховується за формулою

 

 

 

 

де  p - щорічний процент приросту вклада, - номінальна ставка за рік. Знайдемо логарифмічну похідну від величини вкладу:

 

 

 

 

 

Отдже, можна зробити висновок, що ставка банківського проценту співпадає з логарифмічною похідною від величини вкладу.

Відносна швидкість (темп) зміни функції  визначається логарифмічною похідною

 

 

 

 

Еластичність попиту  пов’язана із логарифмічною похідною наступним чином:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Геометричний зміст еластичності

 

 

Розглянемо функцію (рис. 1)

 

 

 

 

 

Знайдемо еластичність цієї функції у довільній точці С з координатами . Для цього проведемо дотичну АВ до функції у точці С.

Із .

Так як похідна функції  у точці С дорівнює , то .

Отже, =.

Із подібності трикутників  CBY і CAX маємо

 

 

= -

 

 

Тобто, геометрично еластичність спадної функції дорівнює відношенню відстаней по дотичній від точки до її перетину з осями Y та X, взятому зі знаком «-».

У випадку, коли зростаюча функція випукла вгору чи випукла вниз, еластичність за модулем буде дорівнювати , а знак еластичності визначається напрямком відрізків СВ і СА. Якщо А і В лежать з однієї сторони від точки С на дотичній – то у формулі потрібно вибрати знак «+». Якщо А і В лежать з різних сторін – потрібно вибрати знак «-».

Приклад 1.  Продуктивність праці бригади робітників може бути описана рівнянням

 

Де  - робочий час у годинах. Знайти швидкість та темп зміни продуктивності праці при t=2 та t=7.

Розв’язання. Швидкість зміни продуктивності праці виражається похідною

 

 

а темп її зміни – логарифмічною  похідною

 

 

 

При

При

Отже, у момент часу після початку роботи швидкість зміни продуктивності праці склала 5 од./год, а в момент склала -20 од./год; відносна швидкість (темп) зміни продуктивності праці склалавідповідно 0,04 од./год та (-0,24) од./год

Знаки плюс та мінус вказують на те, що на початку зміни ) відбувалося збільшення продуктивності праці, а в кінці зміни (при ) – її зниження.

Приклад 2. Обчислити еластичність функції та визначити її економічний зміст.

Розв’язання.  За формулою еластичності маємо:

 

 

 

Якщо покласти =10, то еластичність функції дорівнює 5/4=1,25. Це означає, якщо зросте на 1%, то функція також зросте на 1,25%

Приклад 3. Для випуску деякого товару визначена виробнича функція , де – чинники виробництва. Визначити: а) еластичність функції за кожним чинником; б) коефіцієнт еластичності за чинниками при

Розв’язання.  а) знайдемо:

   

За визначенням еластичність функції за кожним чинником така:

 

 

 

 

 

 

де 

б) 35, тоді , .

Отже, зі збільшенням чинника  на 1% відбувається відносне збільшення заданої виробничої функції приблизно на 0,89%. При збільшенні чинника на 1% відбувається відносне збільшення заданої виробничої функції приблизно на 0,26%. Найбільший вплив на виробничу функцію робить чинник .

 

2. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ В ЕКОНОМІЦІ

2.1 ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ

 

Визначений інтеграл використовується в економіці для визначення об’єму випуску продукції.

Вважається, що зміна продуктивності деякого виробництва, виробленої за одиницю часу (продуктивність), є неперервною функцією від часу . Обсяг продукції за проміжок часу можна знайти за формулою:

 

 

 

 

 

Обсяг продукції, виготовленої за обчислюється за такою формулою

 

 

 

 

 

Означення. Чисті інвестиції, як похідна від капіталу за часом , обчислюється за такою формулою де – капітал, залежний від часу, - чисті інвестиції. Якщо потрібно визначити приріст капіталу за період часу з моменту часу , тобто величину

 

 

 

 

 

Приклад 1.  Знайти денне вироблення за робочий день тривалістью у 8 годин, якщо продуктивність праці протягом доби змінюється за формуллою .

 

Розв’язання.  

 

 

 

Приклад 2. Визначити обсяг продукції, виготовленої робітником за другу годину робочого дня, якщо продуктивність праці характеризується функцією

Розвязання. Згідно формули отримаємо:

 

 

 

Приклад 3. Чисті інвестиції задані функцією . Визначити 1) приріст капіталу за три роки; б) через скільки років приріст капіталу становитиме 50 000 грош од.

Розв’язання. 1)  Використовуємо формулу (2. 3), поклавши  

 

2) позначивши шуканий відрізок часу через T отримаємо 

 і  .

Тоді 

 

 

 
 

 років.

Відповідь: 1) за три роки приріст капіталу становитиме 24248,71 грош. од.; 2) через п’ять років приріст капіталу становитиме 50000 грош. од.

Приклад 4. Нехай дана функція маргінальних витрат виробництва  x од. продукції за певний час має вигляд . Пояснити, як зміняться витрати виробництва при збільшенні випуску продукції від 100 до 120 од.

Розвязання. Дана функція маргінальних витрат є  похідною від функції витрат. Тоді функція витрат буде мати вигляд: 

де , Отже,

 

Отримали, що при збільшенні випуску продукції від 100 до 120 од. відбудеться зростання витрат виробництва на 56 грош. од.

 

2.2 КРИВА ЛОРЕНЦА ТА КОЄФІЦІЕНТ ДЖІНІ

 

 

Для виміру фактичного розподілу  прибутків використовують "криву Лоренца" і "коефіцієнт Джіні", що показують, яка доля сукупного доходу доводиться на кожну групу населення, що дозволяє судити про рівень економічної нерівності в цій країні.

"Крива Лоренца" - це  метод графічного зображення  рівня концентрації явища. Для  її побудови на обидві осі  координат наносять процентну  масштабну шкалу (від 0 до 100 %). Для точок кривої абсцисами  служать одиниці сукупності, а  ординатами - значення ознаки. Рівномірний  розподіл ознаки буде представлений  у такому разі діагоналлю, що  називається "лінією рівномірного  розподілу", а нерівномірне - "лінією  Лоренца", відхилення якої від  діагоналі і характеризує міру  нерівномірності.

 

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

Таким чином, якщо прийняти величину доходу і чисельність населення  за 100 %, то пряма ОА покаже абсолютно  рівномірний розподіл сукупного  доходу між усіма групами населення. Проте реальний розподіл завжди характеризуватиметься  відхиленням від цієї прямої. Абсолютно  нерівномірний розподіл співпав  би з осями координат. Але оскільки "надбідні" і "надбагаті" завжди складають незначну частину ринкового  суспільства те перед нами буде деяка  крива ("крива Лоренца"), відхилення якої від діагоналі наочно покаже міру нерівномірного розподілу прибутків.

Для розрахунку конкретного  рівня нерівності в розподілі  прибутків поступають таким чином. Площу, утворену лініями рівномірного і нерівномірного розподілу прибутків (вона на графіці заштрихована), відносять  до площі трикутника ОАВ. Отриманий  результат і є "коефіцієнт Джіні".

Формула для отримання  коефіцієнта Джіні має наступний виглад:

 

 

 

 

 

де  - функція, яка описує криву Лоренца.

Чим ближче значення до 1, тим вище рівень нерівності в розподілі сукупного доходу; чим ближче він до 0, тим вище рівень рівності.

Взагалі вважається що якщо - слабка нерівність у прибутках населення, - значна нерівність у прибутках населення, сильна нерівність у прибутках населення.

Приклад 1. За даними дослідження розподілу доходів певної держави крива Лоренца описується рівнянням де . Знайти значення коефіцієнта Джіні та пояснити його економічний зміст.

Розвязання. За формулою (2. 4) отримаємо:

 

Отримали, що у даній державі  розподіл доходів ближче до рівномірного, тобто при . Це означає, що 50% найбіднішого населення володіють приблизно 25%  загального доходу населення.

 

ВИСНОВКИ

 

 

У курсовій роботі було розглянуто основні теоретичні відомості з  диференціального числення та застосування диференціального числення в економічному аналізі.

Досліджено еластичність функції, функції доходу фірми, еластичність попиту за ціною. Вивчено теорію одноресурсної  фірми, задачу вибору фірмою оптимального обсягу виробництва, закон спадної  ефективності виробництва, оптимізацію  оподаткування підприємств.

Доведено, що коефіцієнт еластичності показує відносну зміну досліджуваного економічного показника внаслідок  одиничної відносної зміни економічного фактора, від якого він залежить, за незмінності інших факторів, що впливають на нього. Зокрема, за еластичного  попиту доход збільшується зі збільшенням  кількості товару або зменшенням ціни, а не нееластичного зменшується.

З’ясовано, що диференціальне числення широко використаний для економічного аналізу математичний апарат. Зокрема, базовою задачею економічного аналізу  є вивчення зв’язків економічних  величин, що записуються у вигляді  функцій. Отже для вирішення економічних задач повинні бути побудовані функції зв’язку, між змінними задачі, які потім вивчаються за допомогою методів диференціального числення.

В економіці дуже часто  необхідно знайти найкраще, або оптимальне значення того чи іншого показника: найвищу продуктивність праці, максимальний прибуток, максимальний випуск, мінімальні витримки і т.д. Тому, знаходження оптимального значення показника зводиться до знаходження екстремуму (максимуму або мінімуму) функції однієї або декількох змінних.

 

Список використаної літератури:

 

 

1. Ахтямов А. М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464 с.
2. Математические методы в экономике: Учебник/Под общ. ред. д. э. н., проф. А. В. Сидоровича; МГУ им. М. В. Ломоносова. – 3-е изд., перераб. – М.: Издательство «Дело и сервис», 2001. – 368 с.
3. Вища математика Ю.О. Борисовська, О. С. Козлова, О. А. Лисенко, В. М. Тархова,
4. http://lib.vvsu.ru/books/Bakalavr01/page0150.asp
5. http://www.rusnauka.com/35_OINBG_2010/Matemathics/75637.doc.htm
6. http://mat.1september.ru/2001/13/no13_01.htm
7. http://economics.wideworld.ru/macroeconomics/regulation_mechanism/market_incomings/2/