Застосування комплексних чисел до розв’язання геометричних задач в школі

Міністерство освіти і науки в Україні

Житомирський державний університет імені Івана Франка

Курсова робота на тему:

«Застосування комплексних чисел до розв’язання геометричних задач в школі»

Підготувала: студентка 41 групи фізико – математичного факультету Богданець Ю. О.

Перевірив: доцент, кандидат технічних наук Ленчук І. Г.

Житомир 2011

План

І. Вступ.              3

1.1.              Минуле і теперішнє комплексних чисел              4

1.2. Аналіз шкільних підручників з алгебри та початків аналізу……………6

ІІ. Застосування комплексних чисел в геометрії              6

2.1.       Прямі на комплексній площині              6

2.2.              Комплексні числа в геометричних побудовах              9

2.3.              Коло на комплексній площині              10

2.4.              Геометричні задачі, розв'язувані за допомогою одиничного

кола              12

2.5.       Геометричні застосування визначників з комплексним

елементами              13

2.6.  Корені з комплексних чисел              15

2.7. Уявні числа і плоскі многокутники              16

2.7.1.              Побудова правильних многокутників              16

2.7.2.              Уявні числа і площа многокутника              21

2.8. Інтерпритація комплексних чисел на площині Лобачевського……...22

         2.9. Приклади…………………………………………………………………23

ІІІ. Дослідна робота………………………………………………………………..26

IV. Висновки……………………………………………………………………….30

V. Література……………………………………………………………………….31

І. Вступ.

          Застосування комплексних чисел у геометрії грунтується на геометричному тлумаченні комплексних чисел та операцій над ними. Застосування цього незвичного курсу геометрії методу дозволяє розв’язувати певні питання більш цікаво та динамічно.  Особливу мою увагу привернула можливість розглянути площину Лобачевського зо допомогою геометричної інтерпретації комплексного числа. Це завжди цікаве та корисне питання – розв’язання математичної задачі декількома способами. Також дуже важливо відстежити міжпредметний зв’язок нових і доволі абстрактних понять курсу алгебри та начал аналізу з практичними, а під час і з вже знайомими геометричними питаннями та задачами. Це дозволяє не тільки розвинути математичні уявлення про поле комплексних чисел та важливість його існування для розв’язку певних математичних та механічних питань, а і виховує свідоме ставлення до науки, вимагає використання певних логічних тверджень та міркувань. Застосування комплексних чисел при розв’язанні практичних задач – це важливий аспект у технічному навчанні, підготовка майбутніх інженерів до вивчання теорії функції комплексної змінної у вузі, її зв’язків з теорією диференціальних рівнянь; тому поглиблення знань з цього питання  відповідає меті даної роботи.

   МЕТА РОБОТИ. Розвинути навички з самостійної  роботи з монографічною і періодичною літературою, з узагальнення та аналізу фактичного матеріалу за певною проблемою, удосконалити оволодіння геометричною інтерпретацією комплексних чисел як засобом розв’язування геометричних задач.

   ОБ’ЄКТ ДОСЛІДЖЕННЯ. Комплексні числа та їх геометрична інтерпретація.
   МЕТОД  ДОСЛІДЖЕННЯ.  Узагальнення   і   аналіз    літератури   з   даної   теми,  використання апарату поля комплексних чисел до розв’язання геометричних задач, висновки на основі зробленої роботи.

1.1. Минуле і теперішнє комплексних чисел

Уявні числа зобов’язані своїм народженням цілком реальній задачі – задача розв’язання рівняння третього степеня ще у XVI столітті.

Корені рівняння :

                            (1.1)

можуть бути обчислені за формулою, яку називають формулою Кардано:

,

де D=(.

Ця формула не дає бажаного результату в тому випадку, коли рівняння (1.1) має три різні (дійсні) корені. Наприклад, легко перевірити, що коренями рівняння будуть числа 0,1,-1. Але якщо б ми розв’язали це рівняння за формулою Кардано, то отримали б :

Яким чином можна отримати числа 0, 1, -1? Щоб дати відповідь на це питання математикам XVI-XVIIст. Необхідно було навчитися оперувати з виразами виду , де , і частково, виділяти із таких виразів кубічні корені.

Математики неохоче йшли на вивчення таких виразів. Вони називали їх уявними, неіснуючими, неможливими величинами Вважалося  що вони не мають реального змісту. Г. В. Лейбніц назвав їх “гібридом між буттям і небуттям”.

Одне з важливих питань алгебри, яке хвилювало математиків XVII-XVIIIст. полягало в наступному: скільки коренів має алгебраїчне рівняння n-го степеня, тобто рівняння вигляду

                              (1.2)

Якщо обмежитися дійсними коренями, то можна стверджувати, що їх не більше ніж . Якщо розглядати і уявні корені, то відповідь на поставлене вище питання виявляється простою: коренів у рівнянні (1.2) всього рівно . З цим виявилося важливим друге питання, яке вперше було поставлене Л.Ейлером: чи правильно, що будь-який многочлен можна представити у вигляді многочлена не вище другого степеня? Багато математиків 18 століття вважали, що відповідь повинна бути негативною. Але, між тим, відповідь виявилася позитивною. Це вдалося показати за допомогою уявних чисел. У XVIII столітті Л.Ейлер з іншими математиками виявили, що вивчення різних коливальних процесів зводяться до пошуку функцій , які задовольняють умову виду

                            (1.3)

де -постійні числа.

Наприклад, вивчення гармонічних коливань зводяться до розгляду рівняння , де -константа, -час, - відхилення маятника від деякого нейтрального положення. Ейлер виявив, що для знаходження функції , яка задовольняє диференціальне рівняння (1.3), необхідно знати корені алгебраїчного рівняння

                            (1.4),

де - ті ж числа, що і в рівнянні (1.3). При цьому потрібно всі корені рівняння (1.4)- не тільки дійсні, але й уявні.

Протягом останніх двохсот років комплексні числа знайшли чисельні застосування. Так, наприклад, за допомогою комплексних чисел Гаусс в 1 ральних значеннях можна побудувати циркулем і лінійкою правильний n-кутник?

Широке застосування знайшли комплексні числа в картографії, електротехніці, гідродинаміці, теоретичній фізиці. Вже в наше століття комплексні числа і комплексні функції успішно застосовувалися математиками та механіками Н.Е.Жуковим, С.А.Чаплигіним, М.В.Келдишем та іншими. Вітчизняні математики Г.В.Колосов і Н.І.Мусхелішвілі вперше стали застосовувати комплексні функції в теорії пружності. З застосуванням комплексних змінних в теоретичній фізиці зв’язані досліди вітчизняних вчених Н.Н.Боголюбова і В.С.Владимирова.

1.2. Аналіз шкільних підручників з алгебри та початків аналізу.

При вивченні будь-якої нової теми в основному курсі школи встає проблема викладу даної теми в шкільних підручниках. Пропедевтикою вивчення розділу комплексної множини в школі є введення поняття комплексного числа і, відповідно, вивчення його властивостей.

Проаналізуємо в яких класах вводиться дане поняття різними авторами підручників. Поняття множини вводиться безпосередньо ще у підручниках «Алгебра. 8 клас» . У підручнику В.Кравчука «Алгебра. 10 клас» вводяться поняття комплексної множини, а саме: комплексні числа, операції над ними, геометрична інтерпретація, дії з комплексними числами та їх застосування. У підручнику М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С. Дубінчук «Алгебра і початки аналізу, 10-11клас» також вводить поняття комплексної множини, а саме: комплексні числа, операції над ними, геометрична інтерпретація, дії з комплексними числами та їх застосування.

Проте ні в одному з підручників не виділяють застосування комплексних  чисел до розв’язку геометричних задач, тому це питання пропонується винести на факультативні заняття та додаткові уроки.

II. Застосування комплексних чисел в геометрії

2.1. Комплексні числа в геометричних побудовах. Комплексні числа і центр мас.

Застосування комплексних чисел спрощує розв’язування складних задач на побудову (з допомогою циркуля і лінійки). Суть цього методу полягає в тому, що ми зводимо задачу до побудови якої-небудь точки, а  комплексну координату цієї точки виражаємо формулою через величини, які можна вважати відомими. По отриманій формулі будуємо шукану точку. Цей метод доцільно застосовувати в задачах, де мова йде про повороти.

Нехай на площині вибрано декілька точок (мал.6) і в кожній точці поміщені маси . Матеріальні точки, які виникли в результаті визначимо так:. Центром мас цієї системи матеріальних точок називається така точка, для якої справедлива векторна рівність:

              .               (2.1)

Виберемо на площині декартову систему координат, тоді точки отримують комплексні координати, які позначимо буквами . Вектори мають комплексні координати , а рівність (2.1) рівносильна рівності:

                            (2.2)

звідки отримуємо формулу для комплексної координати центра мас:

                            (2.3)

Із формул (2.2)-(2.3) випливають важливі властивості центра мас:

1.Кожна система матеріальних точок з ненульовою сумарною масою має центр мас і до того ж єдиний.

2.Центр двох додатних мас розміщений на відрізку, який з’єднує ці матеріальні точки, і його положення задовольняє таке правило: . Якщо маси не рівні, то центр двох мас ближче до більшої з них.

3.Якщо в системі матеріальних точок

                            (2.4)

відібрати декілька матеріальних точок

                            (2.5)

і зосередити їх сумарну масу в їх центр мас , то від цього положення центра мас всієї системи (2.4) не зміниться. Іншими словами система матеріальних точок

                            (2.6)

має той же центр мас, що й система (2.4).

Як для механіки, так і для геометрії, важливою є теорема Лагранжа про моменти інерції. Нехай на площині є матеріальна точка і точка . Ейлер назвав моментом інерції матеріальної точки відносно точки величину ,а моментом інерції системи матеріальних точок відносно точки : . Виявляється, що, якщо відомий момент інерції системи матеріальних точок (2.4) відносно її центра мас, то легко знайти її момент інерції відносно будь-якої іншої точки .

Теорема Лагранжа. Момент інерції системи матеріальних точок

відносно точки може бути виражений через момент інерції тієї ж системи відносно її центра мас за формулою , де -сумарна маса системи (1.19), тобто .

Доведення. Для конкретності обмежимося випадком трьох матеріальних точок, які лежать в одній площині. Виберемо на площині декартову систему координат. Нехай точки мають комплексні координати . Тоді

              ,               (2.7)

              ,               (2.8)

              .

Оскільки

                            (2.9)

то  .

Аналогічно:

,

.

Додаючи почленно останні три рівності і враховуючи рівності (2.3), (2.7)-(2.8), отримаємо: .

2.2. Прямі на комплексній площині

На комплексній площині кожна пряма може бути задана рівнянням:

              , де .              (2.10)

Не важко записати те ж рівняння прямої в комплексній формі. Для цього достатньо ввести комплексну змінну . Відомо, що , . Тоді (2.10) можна записати у вигляді:

.

Позначимо комплексне число через . Тоді , і рівняння прямої буде мати вигляд:

              ,              (2.11)

де - комплексне число, , а - дійсне. З допомогою комплексних змінних зручно записати рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки . Дійсно, при будь-якому виборі точки на прямій вектори і колінеарні, тому відношення їх комплексних координат виражається дійсним числом, звідки:

              .              (2.12)

Це і є рівняння прямої, яка проходить через точки і .

Напишемо рівняння прямої , яка проходить через дану точку і паралельно заданому вектору , який заданий своєю комплексною координатою (мал.2). Тоді при будь-якому виборі точки на прямій вектор колінеарний вектору , відповідно, відношення їх комплексних координат виражається дійсним числом. Іншими словами кожної точки прямої задовольняє умову . Це і буде шукане рівняння прямої. Число є уявне, і його можна записати у вигляді , де - дійсна константа. Отримаємо:

              .                  (2.13)

Рівнянням вигляду (2.13) може бути задана будь-яка пряма. При цьому - кут нахилу прямої до дійсної осі. Зупинимося на рівнянні прямої, яка проходить через задану точку перпендикулярно вектору , де - нульова точка (мал.3). Нехай - точка цієї прямої. Тоді вектор колінеарний вектору з комплексною координатою . Тому - дійсне число і, відповідно, рівне спряженому до нього числу: , тобто . Це і є рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до вектора .

Щоб знайти комплексну координату точки перетину двох прямих і , потрібно розв’язати систему з двох рівнянь і знайти , або .

2.3. Коло на комплексній площині

Коло з центром у точці С і радіусом R – це множина усіх тих точок Z, для яких відстань CZ дорівнює R, тобто

                                                      (2.14)

Це і є рівняння кола. Рівність (2.14) можемо переписати так:

тобто рівняння кожного кола має вигляд:

                            (2.15)

де α – комплексне число, γ – дійсне. Однак рівняння вигляду (2.15) не при кожному γ задає коло. Дійсно, ми можемо рівняння (2.15) записати так:

                            (2.16)

а це рівняння задає коло лише за умові, що . При рівнянню (2.15) задовольняє лише одна точка , а при – жодне комплексне число z не задовольняє рівності (2.16), тобто зовсім не існує точок, що задовольняють умові (2.15).

Особливо зручно записувати в комплексній формі рівняння кола Г, що проходить через три дані точки Z1, Z2, Z3. Виведемо це рівняння. Точки Z1 іZ2 (мал. 4) поділяють коло на дуги Г' і Г". Нехай Г' – та з них, що виникає при русі від Z1 до Z2 у додатному напрямку (проти годинникової стрілки). Будемо вважати, що Г' – дуга, що не містить точку Z3, – а дуга Г" містить Z3. Радіаyну міру дуги Г' позначимо через 2φ. Тоді , і вектор може бути отриманий з вектора поворотом на кут φ з наступним розтягом. Тому

                              (2.17)

де t – дійсне (навіть додатне) число. Для кожної фіксованої точки Z, яка лежить на дузі Г", маємо аналогічна рівність:

                            (2.18)

де t, – додатнє число. Якщо ж точка Z розташована на додатковій дузі Г', то кут Z1ZZ2 – містить π-φ радіан, причому проходиться в від’ємному напрямку (мал. 5). Тому

                            (2.19)

де t2 – додатне число.

З (2.17) і (2.18) – (2.19) бачимо, що при кожнім, виборі точки Z на колі Г дріб

є дійсним числом, а значить, що він дорівнює спряженому до нього дробу:

                            (2.20)

Це і є рівняння кола, що проходить через три задані точки Z1, Z2, Z3. У тому випадку, коли точки Z1, Z2, Z3 лежать на одній прямій, то кола, що проходить через ці три точки, не існує, але рівняння (2.20) має й у цьому випадку зміст: воно задає цю пряму.

2.4. Геометричні задачі, розв'язувані за допомогою одиничного кола.

Одиничним колом в комплексному аналізі прийнято називати коло, у якого центром є нульова точка (початок координат), а довжина радіуса рівна одиниці. На ньому, очевидно, розташовані ті і тільки ті точки площини, чиї комплексні координати z задовольняють умову . Цю умову можна переписати так:, тобто , або . Таким чином, для координати z точки одиничного кола (і тільки для координати такої точки) число спряжене співпадає з оберненим числом .

Якщо ми маємо на площині будь-яке коло ω з центром у деякій точці О и радіуса R, то можна вибрати декартову систему координат так, щоб початком координат був центр О цього кола. Тоді координати z точок кола будуть задаватися умовою , або . Тому викладення, зв'язані з такими колами, теж прості. При необхідності можемо від такого кола перейти до одиничного за допомогою гомотетії з центром у точці О. Аналітично це означає заміну змінних: .

Якщо точка Z лежить на колі радіуса R, що має центром нульову точку, і якщо радіус-вектор точки Z утворить з дійсною віссю кут t, то комплексна координата z точки Z задається формулою

.

Ці прості розуміння дозволяють вирішити різноманітні задачі, зв'язані з колом з центром у нульовій точці.

2.5. Геометричні застосування визначників з комплексним елементами.

Рішення деяких геометричних задач значно спрощується, якщо скористатися визначниками третього порядку. Визначники (їх також називають детермінантами) були уперше введені Г.В.Лейбніцем у зв'язку з розв’язанням систем лінійних рівнянь. Нехай потрібно розв’язати систему двох рівнянь (з дійсними чи комплексними коефіцієнтами):

                            (2.21)

Одержимо (якщо ):

,

Розв’язок буде, і притому єдиний, якщо . Вираз називають визначником другого порядку і записують так:

'

Розв’язок системи (2.21) можна записати так:

Під визначником, третього порядку

приймають такий многочлен: .

Таке визначення зручне для розв’язання системи трьох рівнянь із трьома невідомими:

                            (2.22)

Виявляється, що якщо визначник

то розв’язок системи єдиний і він може бути отриманий за формулою:

, ,

де

.

При d1=d2=d3=0 система (2.22) здобуває вид:

                            (2.23)

Таку систему називають однорідною. Вона завжди має розв’язок (трійка чисел х=0, у=0, z=0), що називається тривіальним, або нульовим. Іноді тривіальний розв’язок системи (2.23) є єдиним. Однак є однорідні системи рівнянь, у яких, крім тривіального, існують і інші рішення. Така, наприклад, система х‑у=0, у-z=0, z-х=0 (одне з її нетривіальних рішень: 7, 7, 7).

2.6. Корені з комплексних чисел.

Коренем п-го степеня (п – натуральне число) з комплексного числа z називають кожне таке комплексне число ω, для якого виконується рівність . Той факт, що комплексне число ω є коренем n-го степеня з комплексного числа z, записують так:

Враховуючи, наприклад, що і2=–1, і ми можемо сказати, що значеннями кореня квадратного з числа –1 є комплексні числа i і –i. Цей приклад, зокрема, свідчить про те, що корінь п-го степеня з комплексного числа визначається неоднозначно. Виникає питання: скільки різних значень має корінь п-го степеня з комплексного числа z і як усі вони можуть бути обчислені?

Формули Єйлера і Муавра дозволяють отримати просте правило для добування кореня з комплексного числа. Нехай , , (φ– аргумент числа z) і нехай , (, α–аргумент числа ω). Рівність можна записати так: . Зіставляючи модулі й аргументи обох частин останньої рівності, записуємо:

                            (2.24)

                            (2.25)

де k — деяке ціле число.

Із (2.24) випливає, що (у правій частині записаний +арифметичний корінь п-го степеня з числа r, так що –додатне число). А з (2.25) одержуємо: , де k — ціле число. Легко перевірити, що при будь-якім цілому числі k число задовольняє умові , тобто ω являється одним зі значень кореня п-го степеня з числа z. Отже, безліч усіх чисел, що є коренями п-го степеня з числа z, задається формулою:

(2.26)

де k – будь-яке ціле число.

Формулу (2.26) можна записати так (у тригонометричній формі):

                            (2.27)

Скільки ж різних значень кореня п-го степеня з числа z одержимо по формулі (2.26) при всеможливих цілих значеннях k? Виявляється, тільки п (при ). Дійсно, підставляючи у формулу (2.26) замість k цілі числа 0, 1, 2, ..., п–1, можна переконатися, що всі одержувані при цьому значення кореня n-го степеня являють собою числа з попарно різними аргументами, що відрізняються один від одного менше, ніж на 2π, і зображуються попарно різними векторами, а отже, різні. Якщо ж k приймає будь-яке інше ціле значення, то його можна представити у виді де q-ціле число, а р—одно з чисел 0, 1, 2,   ,п–1. Тоді:

Тому відповідному обраному значенню k значення збігається з одним з раніше отриманих (при k=0, 1, 2,..., n–1) значень кореня п-го степеня із числа z.

Отже, корінь п-го степеня з комплексного числа має п різних значень, які можуть бути обчислені по формулі (2.26) або (2.27) при k=0, 1, ..., n– 1.

2.7. Уявні числа і плоскі многокутники.

2.7.1 Побудова правильних многокутників.

Побудова правильних трикутників, чотирикутників, п'ятикутників, шестикутників з допомогою циркуля і лінійки було відомо грецьким геометрам ще в IV ст. до н.е. Архімед (III ст. до н.е.) намагався знайти спосіб побудови тими ж інструментами правильного семикутника, однак йому це не удалося. Такої побудови не зуміли знайти геометри і протягом двох тисячоріч після Архімеда, хоча ніхто не сумнівався в існуванні способу розв’язання цієї за дачі. Питання про побудову правильного семикутника був вирішений у 1796 р. німецьким математиком К. Ф. Гауссом. Більш того Гаусс одержав теорему, що дозволяє для кожного натурального числа п сказати, чи можна циркулем і лінійкою побудувати правильний п-кутник чи така побудова неможлива. Проблему побудови правильних многокутників Гаусс зумів вирішити завдяки застосуванню комплексних чисел

Будемо вважати, що п – просте число. Зрозуміло, що побудова правильного п-кутника рівносильна поділу кола на п рівних дуг. Ми можемо взяти будь-яке коло ω, вважаючи довжину його радіуса рівним одиниці, розглянути декартову систему координат з початком у центрі О обраного нами кола. Тоді кожна точка на площині здобуває визначену комплексну координату. Зокрема, точка Z0 перетину кола з додатною віссю осі абсцис буде мати координату z0=1. Правильний п-кутник, що має Z0 однією зі своїх вершин, буде мати іншими своїми вершинами точки Zk, з комплексними координатами:

(k=1,2,...,п-1)

Усі ці числа – відмінні від одиниці корені рівняння тобто корені рівняння

                              (2.28)

Задача поділу кола полягає в тому, щоб побудувати точки з комплексними координатами zk (k=1, 2, 3, n-1), тобто в тім, щоб побудувати корені рівняння (2.28). Тому рівняння (2.28) називають рівнянням поділу кола. Помітимо, що при простому п для побудови усіх вершин правильного п‑кутника, уписаного в коло, досить побудувати одну із цих вершин.

Якщо п – просте число, то послідовно підносячи в натуральні степені будь-якій, не рівний одиниці, корінь рівняння , можна знайти всі корені п‑го степеня з одиниці. Геометрично це означає, що якщо крім вершини Z0 побудована на колі яка-небудь одна вершина Zk, то, відкладаючи послідовно по колу п–2 рази дугу Z0Zk. одержимо всі інші вершини правильного п-кутника.

Таким чином (при простому п) питання про можливість побудови за допомогою циркуля і лінійки правильного п-кутника зводиться до питання про можливість за допомогою цих інструментів побудувати на комплексній площині який-небудь корінь рівняння (2.28) поділу кола.

Розглянемо три частинні випадки.

1) Нехай п=5

Тоді рівняння поділу кола має вид:

                            (2.29)

З'ясуємо, чи можливо побудувати циркулем і лінійкою корінь рівняння (2.29)

                            (2.30)

Покладемо

                              (2.31)

де під z розуміємо число (2.30). Тоді:

                            (2.32)

Тому що число z задовольняє рівнянню (2.19), те воно задовольняє і рівнянню

                            (2.33)

У силу (2.31) маємо і рівняння (2.33) здобуває вид:

Із (2.32) видно, що нас цікавлять додатні корені цього рівняння . Відрізок такої довжини легко побудувати циркулем і лінійкою. Після цього можна побудувати і точку z, що задається формулою (2.30). Тим самим не тільки встановлена можливість побудови правильного п'ятикутника, але і знайдений визначений спосіб для фактичного виконання цієї побудови.

2) Нехай п=7.

Рівняння поділу кола на 7 рівних частин має вигляд:

, або

Нехай z– який-небудь його корінь. Покладемо тоді легко знайти, що , і ми приводимо рівняння до виду:

                            (2.34)

Це рівняння не має раціональних коренів. Жоден з коренів рівняння (2.34) не може бути побудований циркулем і лінійкою. Отже, не існує способу, що дозволяє побудувати правильний семикутник за допомогою циркуля і лінійки.

3) Нехай п=17.

У цьому випадку задача зводиться до побудови відрізка До побудови цієї величини можна підійти поступово, виходячи зі співвідношення:

                            (2.35)

Позначимо:

,

.

Зі співвідношення (2.26) ясно, що . З іншого боку, виходячи з того, що , неважко встановити, що .Отже γ1 та γ2 – корені квадратного рівняння γ2+γ-4=0, так що .Ці корені можна легко побудувати (по абсолютній величині). Щоб відрізнити один корінь від іншого, помітимо, що . Це число – від’ємне, так що

Маючи величини γ1 і γ2, можна побудувати величини: , , та . Дійсно, , , так що β1 і β2 – корені рівняння а, отже:

Тому що

то

,

Точно так само можна показати, що

,

Позначимо , . Тоді , , так що величини α1 і α2 є коренями рівняння:

тобто

Тому що

,

то і відповідно

Вважаючи, що β1 і β2 уже побудовано, відмітимо, що циркуль і лінійка дозволяють тепер побудувати відрізок довжини .

Проводячи аналогічні міркування, К.Ф.Гаусс у 1796 р. довів теорему: побудова правильного п-угольника за допомогою циркуля і лінійки можливо в тому, і тільки в тому випадку, коли число п може бути представлене у виді де попарно різні прості числа виду , а число m – ціле ненегативне.

Зокрема, якщо п – просте число, то для побудови правильного п-кутника за допомогою циркуля і лінійки необхідно і досить, щоб число п мало вид .

2.7.2. Уявні числа і площа многокутника.

Відомі формули, що дозволяють по трьох незалежних основних елементах трикутника (наприклад, по трьох його сторонах; чи по двох сторонах і куту між ними; чи по стороні і двом кутам) обчислити його площу. А як обчислити площу п-кутника при п>3 (наприклад, чи п'ятикутника семикутника), якщо відомі його сторони і кути? Відповідь на подібні питання підказують комплексні числа. Заради конкретності обмежимося випадком опуклого п'ятикутника (міркування у випадку довільного п-кутника аналогічні).