Аналітична геометрія

Аналітична геометрія

 Алгебраїчне трактування питань геометрії підготовила грунт для створення аналітичної геометрії , предметом якої является вже не тільки знаходження окремих відрізків , які виражаються коренями рівнянь з одним невідомим , а й вивчення властивостей різних геометричних образів , насамперед алгебраїчних ліній і поверхонь , які виражаються рівняннями з двома або більше невідомими або координатами .

Координати з'явилися  ще в давнину , притому в різних формах , між собою безпосередньо  не пов'язаних . З одного боку , це були географічні координати , іменувалися  довготою і широтою , причому положення  пунктів земної по ¬ верхні , зображеної у вигляді прямокутника , характеризувалося  парою чисел . Подібними були астрономічні координати , що служили для визначення положення світил на небесній сфері. Інший вид координат представляли собою відрізки , залежності між якими , так звані симптоми  , виражали визначальні властивості цих кривих. У цьому випадку мова йшла не про числові координати будь-яких точок з відліком від фіксованого меридіана і паралелі , а про відрізки діаметрів і хорд , пов'язаних з точками розглянутої фігури.

Своєрідним різновидом координат  були відрізки широт і довготи в теорії зміни форм Орема . Тут не було ні числових координат будь-яких точок , ні « симптомів » , виражених засобами геометричної алгебри ; словесно сформульована залежність між широтою і довготою форми зображувалася плоскою лінією.

Частина координатних відрізків давньогрецької геометрії стали відомі в Європі по арабським творам , але головним чином за працями Архімеда і особливо Аполлонія . Паралельні хорди або полухорди , спряжені деяким діаметром , Аполлоній називав , якщо перекласти з грецької, « по порядку проведеними лініями » , а відрізки цього діаметра від його кінця до хорди - « відсіченими на діаметрі по порядку проведеними ( лініями) » ( на рис. 6 відповідно у і x ) .

У своєму латинському виданні  « Конічних перетинів» (Венеція , 1566 ) Федоріго Коммандіно перше вираження передав поняттям  ordinatim applicatae , тобто « по порядку докладені » (тобто спрямовані )* , а другі- quae ab ipsis ex diametro ad verticem abscinduntur , тобто « які відсікаються ними по діаметрі від вершини» . Звідси беруть початок терміни abscissa , тобто « відсічена » , ordinata і applicata , які , втім , укоренились не відразу. Слово « абсциса » , яка зустрічалась в сенсі відрізка у різних авторів , наприклад Кавальерп ( 1635), стає технічним терміном координатної геометрії в 1668 р. у Мікеланджело Річчі ( 1619-1692 ) i особливо в Лейбніца , починаючи з рукописів 1673 Ферма і Декарт у своїх основоположних творах по аналітичної геомет рії (1636-1637 ; писали ще про « відрізки  діаметра ». Слово « ордината » в нашому сенсі застосовував інший перекладач на  латину « Конічних се чений » - Франческо Мавроліко . Ферма користувався терміном applica ta , Декарт - appliquee par ordre , тобто французьким перекладом ordinatim applicata , але також (у листі 1638 ) словом ordonnee , яке неза довго перед тим в 1637 р. вжив у своєму курсі П. Ерігон (у латин ¬ ському тексті 1644г. - ordinata ) ; потім ним став регулярно користуватися Лейбніц .

У середині XVIII ст. слово «  ордината » починає витісняти в геометрії на площині слово « аппликата ». Обидві координати спочатку називалися невідомими величинами , як у Ферма , або невизначеними , як у Декарта ; слово « координати » ввів у 1692 р. Лейбніц , маючи на увазі вже будь-які криволінійні координати . Але ще й пізніше поняття про координати пов'язувалося з відрізками діаметрів і хордами плоских кривих. Так, наприклад в статтях « Abscissa , die Abscisse » і « Ordinatae , ordinatim applicatae , die Ordinaten » « Математичного словника» ( Mathematisches Lexicon , Leipzig , 1716 ) Xp . Вольфа ( пор. стор 35).

Термін « вісь» , який у  Аполлонія використовувався до взаємно перпендикулярних діаметрів, ужив в більш широкому сенсі І. Барроу ( 1670 ) . Позначення початкової точки буквою О перегукується з її найменуванням origine - «початок» , даному Ф. Лагіром в 1679 р.; двадцять років раніше Я. де Вітт писав про initium immutabile , нерухомому початку . Декарт ще говорив про точку , з якої починаються обчислення. Повернемося від історії термінології до історії геометричних методів та ідей.

Аналітична геометрія  Ферма

До розробки початків нової  аналітичної геометрії незалежно  один від одного і одночасно приступили обидва найбільших французькі  математики XVII ст. - Ферма і Декарт. Невеликеий«Вступ до вивчення плоских і тілесних місць» (Ad locos pianos et solidos isagoge) Ферма було написано трохи раніше -1637, але за життя Ферма поширювалося через Мерсепна та інших тільки в рукописному вигляді. Нагадаємо, що «плоскі і тілесні місця» - терміни грецької геометрії - означали прямі та кола і відповідно еліпси, параболи і гіперболи. Робота написана в позначеннях Вієта з дотриманням однорідності рівнянь.

*Ще в перекладі арабського  трактату Ібн ал-Хайсама про  параболічних дзеркалах, зробленому  в XII ст., Вживається поняття linea secunduin ordinem, тобто «лінія по порядку». Н. Орезмський в середині XIV ст. писав про перпендикулярно прикладених відрізках - perpendiculariter applicatae.

Ферма формулює принцип аналітичної  геометрії таким чином: «Щоразу, коли в заключному рівнянні є дві  невідомі величини (quantitates ignotae), і кінець однієї з них описує пряму або ж криву лінію ... Для складання рівнянь зручно розташувати обидві невідомі величини під деяким заданим кутом (який ми здебільшого приймаємо прямим) і задати положення і кінець однієї з величин ». Як ми бачимо, під невідомими величинами (координатами) Ферма розуміє прямолінійні відрізки: першу з них він щоразу позначає NZ і алгебраїчною буквою А,а другу – ZI і відповідно Е

Потім по порядку розглядаються  різні плоскі і тілесні місця.

Рівняння прямої, що проходить  через початкову точку, Ферма  виводить у формі

D на А рівно В на А

Тобто . dx = by (на рис. 7 нанесена лише частина прямої NI, оскільки Ферма користується додатніми координатами). До цієї нагоди наводиться загальне рівняння першого ступеня (із зазначеним обмеженням) і кілька однорідних рівнянь другого ступеня, причому тут йдеться лише про одну з двох можливих прямих. Перше приведення сутнісно со ¬ стоїть у перетворенні координат, саме у паралельному зсуві вздовж горизонтальній осі: від рівняння виду с - dx = by Ферма приходить до d (r - х) = by, где dr = с. Ідею перетворення координат шляхом параллельного перенесення системи Ферма більш чітко висловлює в прикладах: встановивши спочатку, що в прямокутній системі рівняння кола з центром у початковій точці є b² - x² = у²   він правильно характеризує загальне рівняння кола і для зразка перетворює до основної форми рівняння

b² - 2dx = у² + 2rу.

Для цього він виробляє доповнення до квадрата

p¹ - (х + d)² = (у + r)², где р² = r² + b² + d²,

потім пише знову x замість x + d і y замість у + r і отримує

p² - x² = у².

Слід зауважити все  ж, що Ферма обходить мовчанням питання  про відємні координати, якими  виявляються координати центру (- d,-r) в даній задачі (бо d і r в нього  позитивні). Зрозуміло, побудувати центр для нього не становило праці і в цьому випадку.

Основні рівняння конічних перетинів являють собою у  Ферма безпосереднє вираження в  термінах алгебри їх властивостей, відомих з праці Аполлоіня. Для  параболи це рівняння x² = dy и симметричное у² = dx, для эллипса (b² - x²)/y² = const (вказується, що у разі непрямого координатного кута крива буде еліпсом і при const = 1), для гиперболы (b² + x²)/y² = const. Цікаво, що на малюнку в останньому випадку зображені обидві гілки гіперболи, хоча знов-таки про негативні координатах нічого не сказано. Крім того, наводиться рівняння рівносторонній гіперболи ху = с. Все це поширюється на відповідні рівняння, доповнені лінійними членами.

На приватному прикладі рівняння b² - 2x² = 2xy + у²  Ферма розбирає і найбільш важкий випадок, коли група старших членів містить і член з твором координат. Його викладки та побудови відповідають пе ¬ реходу до нової системи координат X, Y з колишнім початком і віссю ординар ¬ нат і з віссю абсцис, що утворює кут 45 ° зі старою. У цій системі Х = х, Y = x + у так що (2b² — X²)/Y² = 2 і фігура є еліпсом. Виклавши все це , Ферма писав: «Таким чином ми коротко і ясно виклали все, що залишили нез'ясованим древні щодо пласких і тілесних місць». Насправді було зроблено лише перший крок до створення ¬ ню нового типу геометрії , яка , між іншим , отримала своє ни ¬ нинішні найменування лише в самому кінці XVIII в .

Аналітична геометрія  Декарта

« Вступ» Ферма , довгий час залишався в рукописі , і не знайшов він того широкого розповсюдження , яке отримала « Геометрія» Декарта , видана в 1637 р. Про вплив «Вступу» на Декарта не може бути мови

Виклад аналітичної геометрії  у Декарта багато в чому відрізняється  від даного Ферма. В одному воно поступається , бо розкидано по всіх трьох книг « Геометрія » і навіть у  другій з них , яка містить найбільш важливі елементи нової дисципліни , не має систематичного характеру , як у «Вступі». Але в інших відносинах геометрія Декарта мала вирішальні переваги . Не кажучи вже про те , що Декарт застосовував більш розвинену символіку , що його виклад був доступнішими і багатше прикладами , він висунув кілька загальних ідей і пропозицій , вельми істотних для подальшого .

Один з основних питань для Декарта полягав у наступному : які лінії служать предметом  геометрії ? Відповідь визначався вірою Декарта в те, що єдиним загальним методом математики є алгебраїчний. Спочатку цей відповідь формулюється в кінематичних поняттях:

геометричні лінії - це ті, які «описані неперервним рухом або ж декількома такими послідовними рухами. Причому наступні цілком визначаються попередніми - бо цим шляхом завжди можна точно дізнатися їх міру ». Навпаки, з геометрії, тобто власне загальної математики, виключаються механічні лінії, описувані «двома окремими рухами, між якими й не існує ніякого відношення, яке можна було б точно виміряти». Приклади механічних ліній-спіраль і квадратріса: як приклад геометричних наводяться криві, що описуються деяким шарнірним механізмом, число ланок якого можна невизначено збільшувати. Цей механізм,( за ідеєю подібний смезолабієм запропонованим Ератосфеном у III ст. до н. е.. для побудови двох середніх пропорційних,) Декарт винайшов між 1619 і 1621 рр..: у третій частині «Геометрії» показано, як можна з його допомогою будувати будь-яке число середніх пропорційних між двома даними відрізками

а : x₁ = x₁ : x₂ = x₂ : х₃ = ... = x_n : b.

Рівняння  ліній описаних цим прибором

r² (x² + у²)^2n-1 = x⁴ⁿ   (n = 0,1, 2,...)

Декарт не привів ні до загального вигляду , ні для окремих значень n.

Кінематичний вигляд ліній було відправним пунктом геометрії Декарта і застосовувався в неї неодноразово . Звичайно , дана при цьому кінематична характеристика геометричних ліній як кривих , описуваних одним або кількома безперервними рухами , не цілком виразна , так само як і заява , що для проведення всіх таких ліній « потрібно тільки те припущення , що дві або кілька ліній можна переміщати вздовж один одного і що їх перетин утворює інші лінії ». Але в цих твердженнях , по суті справи , Декарт передбачив важливу теорему англійського вченого А. Кемпі ( 1876) , відповідно якої за допомогою плоских шарнірних механізмів можна описати дуги будь-яких алгебраїчних кривих і не можна описати жодної трансцендентної . Свій кінематичний спосіб розподілу ліній на геометричні та механічні Декарт негайно наділяє в більш ясну аналітичну форму і тут же пропонує класифікацію перших . « Всі точки ліній , - пише він , - які можна назвати геометричними , тобто які підходять під яку-небудь точну і певну міру , обов’язково знаходяться в деякому відношенні до всіх точок прямої лінії , що може бути виражено деяким рівнянням , одним і тим же для всіх точок даної лінії ». У цьому воістину чудовому за глибиною місці свого твору Декарт вводить і метод прямолінійних координат і поняття про зрівняння кривої , а разом з тим поняття про функції як про аналітичний вираз , складений з « невизначених » відрізків x і у. Декарт пояснив, як описувати криву або , вірніше , будувати будь-яке число її точок, обчислюючи значення х за даними значенням у, - першою координатою у нього служила у.

У 1684 р. Лейбніц назвав геометричні  криві Декарта алгебраїчними, а механічні - трансцендентними, мотивуючи відмову від термінологіі Декарта тим, що і механічні лінії не підлягають виключенню з геометрії.

Безпосередньо за викладеними  загальними міркуваннями Декарт наводить першу загальну класифікацію алгебраїчних кривих в залежності від ступеня їх рівнянь, віднісши до роду n криві з рівняннями ступеня 2n - 1 і 2n. Класифікація потрібна передусім для всезагальної математики Декарта а також була потрібна в аналітичній геометрії. Запропоноване Декартом поділ кривих за родами, себе не виправдало, мотивувалося тим, що, на його думку, криві з рівнянням ступеня 2n взагалі не складніші ніж з рівнянням ступеня 2n - 1. Всі труднощі, пов'язані з четвертої ступенем, писав він, приводяться до третьої, а труднощі, пов'язані з шостої ступенем, - до п'ятої і т. д. Загальноприйнятою класифікацією плоских кривих по порядку ми зобов'язані Ньютону.

Термін «аналітична геометрія» в застосуванні вживався в XVIII в. не раз. У більш спеціальному сенсі. співпадаючому із загальноприйнятими в XIX ст., його почав застосовувати С. Ф. Лакруа, а перша книга, має назву «Начала аналітичної геометрії» (Elements de geome ¬ tric analytique. Paris, 1801), опублікував професор Політехнічної школи Ж. Г. Гарньє (1766-1840).

Але класифікація кривих в  прямолінійних координатах за родами або порядкам має сенс , якщо рід  або порядок кривої не залежить від  вибору координатної системи . Це було Декарту ясно , і він , правда мимоходом , але цілком виразно , сформулював фундаментальне пропозицію про інваріантність роду кривої при заміні однієї системи прямолінійних координат іншою: «Дійсно , хоча б для отримання більш короткого і зручного рівняння і потрібен вельми ретельний вибір , але все ж , яку б пряму і точку не взяли, завжди можна зробити так , щоб лінія виявилася того ж самого роду : це легко довести ». Втім , доказ не наводиться , та й формули лінійного перетворення координат у Декарта ще були відсутні .

В якості першого прикладу Декарт виводить рівняння лінії ЕС , описаної точкою перетину лінійки GL й невизначено продовженої сторони CNK плоскою прямолінійною фігури NKL , сторона якої KL рухається вздовж даної прямої ВА , змушуючи обертатися навколо точки G лінійку , незмінно проходить при цьому через точку L. Прийнявши GA , перпендикуляр до ВА , рівним а , KL = b , NL = с, вибравши АВ за вісь х і точку А за початок , Декарт позначає « невизначені і невідомі  величини » СВ = у, ВА = х . Тоді на підставі подібності трикутників СВК і NLK , з одного боку , і CBL і GAL - з іншого , швидко виводиться рівняння лінії ECG

уу = су -

так що ця лінія першого  роду і, як вказує без доведення Декарт, гіпербола (приклад цей докладно розібрали коментатори латинського видання «Геометрія»).

Сторінка першого видання «Геометрії» Р. Декарта (1637):

початок доведення рівняння лінії ЕС

Замінюючи пряму CNK іншими лініями, можна отримувати таким чином  нескінченну безліч кривих. Так, якщо CNK є коло з центром L, то буде описана конхоіда (​​безсумнівно, що прийом Декарта є якраз узагальненням античного визначення конхоіди), а якщо CNK є парабола з діаметром KB, то виникає крива другого роду, саме та, яку Ньютон назвав тризубцем). Взагалі, заявляє Декарт, якщо утворена  крива має рід n, то описана лінія буде роду n - 1. Це одна з небагатьох помилок Декарта, який не довів, мабуть, до кінця легкі, за його власними словами, обчислення. Насправді, якщо в рухомій системі координат СВ = у, BL = х ', рівняння лінії CNK є

f(x',y) = 0,

то крива ECG має в прежних координатах рівняння

Неточність Декарта показав  на приватному прикладі ще Ферма. У  розглянутому щойно прикладі намальовані дві взаємно перпендикулярні координатні осі , хоча і не в звичайному для нас положенні. Проте найчастіше Декарт , так само як Ферма і найближчі покоління їх послідовників , креслив тільки одну вісь з початковою точкою і вказував напрям інших координат , взагалі кажучи похилих . відємні абсциси не розглядалися , що іноді призводило до неточних або неповних креслень. Ці зауваження не відносяться до Ньютону або Лейбніцу .Правильне розрізнення знаків координат і застосування обох осей стало звичайною справою вже у XVIII ст .

Силу свого методу Декарт потім демонструє на запропонованої йому Я. Гоолем задаі Паппа про геометричні місця до 2n або 2n - 1 прямим , яке визначається так: дано 2n (або 2n - 1) прямих , потрібно знайти геометричне місце таких точок , щоб твір відрізків , наведених від них під даними кутами до n з цих прямих , знаходилося в даному відношенні до твору аналогічних відрізків . проведених до решти n (або n - 1) прямим. Древні знали , що при n= 2 геометричне місце є конічний перетин , але не залишили аналізу і цього випадку : випадок ж n > 2 залишився нерозглянутим . Якщо ми запишемо рівняння прямих у вигляді а_kх + b_kу + c_k = 0, то довжини прове дених до них відрізків d_k пропорційні лівим частинам цих рівнянь, і для нас звідси ясно , що рівняння це буде , взагалі кажучи , кривою порядку n. Декарт , отримавши вирази для d_k у вибраній ним косокутній координатної системі з геометричних міркувань , приходить до того ж загального результату . Більш докладно він розглянув випадки n = 2 і п = 3. Це насамперед місце до трьох чи чотирьох прямих , дослідження якого дає йому привід досліджувати рівняння другого порядку , дуже загального , хоча і не самого загального вигляду . Нехай дані прямі АВ , AD , EF і GH , причому кути , утворені з ними відрізками СВ , CD , CF і СH , проведеними з точки С шуканого геометричного места , що визначається умовою CB –( -CF) = CD - CH , відомі ( рис. 8). Декарт приймає одну з даних і одну з проведених ліній , саме АВ і ВС , за осі АВ = х , ВС = у і позначає дані довжини відрізків ЕА = k , AG = l . Даними є також кути трикутників на рис. 8 , а значить , відношення їх сторін

АВ : BR = z : b, CR : CD = z : с и т. д., где z, b, с, ...дані відрізки (Декарт не вводить синуси кутів). Після цього не потрібні відрізки выражаються через x, у, z, b, с, ..., k,l, лінійно відносно х и у:

CB = y, ,

а умова CB·CF = CD·CH виражається рівнянням другої степені без вільного члена, розвязок якого відносно у, після введення деяких скорочених позначок, дає

Однорідність отриманого рівняння пояснюється прийнятими для  відношень сторін виразами і, по суті, не була в очах Декарта обов'язковою), але представляла в даному випадку ту зручність, що в принципі дозволяла відразу будувати одні відрізки по інших

Спираючись на теореми I книжки «Конічних перетинів» Аполлонія, Декарт показує, що отримане рівняння належить конічному перетину, а в особливих випадках, коли радикал звертається в нуль або корінь отримується без остачі, виявляється прямою лінією: в самостійному вигляді рівняння прямої відсутнє і про «виродження» кривої другого порядку в пару прямих нічого не говориться. У ході аналізу з'ясовується, при яких знаках коефіцієнтів виходять парабола, гіпербола і еліпс, зокрема коло, і визначаються положення і форма конічного перетину - у разі параболи

вершина, діаметр і «пряма сторона», а в разі центральних  кривих-центр вершини, «пряма сто рона» і діаметри. Тут же Декарт розбирає числовий приклад, беручи ЕА = 3, AG = 5, АВ = BR и т. д., а угол ABR равным 60°, так що рівняння є уу = 2у — ху + 5x — хх: крива при цьому виявляється колом. Загальний висновок свідчить, що до першого роду належать круг, парабола, гіпербола і еліпс. Пряма не згадується, - її приналежність до першого роду підкреслив Дебон, який розглянув так же випадок, коли в рівнянні немає членів з х² и у², но есть ху, оставленный Декартом в стороне.

Слідом за тим Декарт вивчає ще місце до п'яти прямих і спеціально випадок, в якому чотири прямі еквідістанти АВ, IH, ED, GF, а п'ята GA до них перпендикулярна (рис. 9), причому CF • CD • CH = СВ • СМ • а, де а - відстань між сусідніми еквідістантами. Тут з'являється перше в історії аналітичної геометрії рівняння кривої третього порядку. Позначивши СВ = у, СМ = х, Декарт знаходить

у³ — 2ay² — аау + 2а³ = аху,

тобто рівняння тризуба, и показує , що це крива CEG

«Пряма  сторона» - термін, висхідний до давнини, є відрізок, рівний нашому подвоєному параметру. Слово «параметр» (вимірюю) запропонував у цьому сенсі вживати друг Декарта Кл. Мідорж під «Введення в катоптрику і Діоптріка або працю про конічних перетинах» (Prodromus catoptricorum et dioptri-corum sive conicoruni opus, Parisiis, 1631).

може бути , як він стверджував  раніше , описана перетином параболи CKN , діаметр якої KL = а рухається  по АВ , і лінійки GL , вра ¬ щающую навколо точки G і постійно проходить  через точку L . Він не випускає з  уваги , що шуканим місцем служить також крива NIo , описана перетином GL з іншою гілкою параболи ( HKN ) , можна взяти і зв'язані лінії cEGc и пI0, отримувані , якщо рухлива парабола звернена вершиною в інший бік. Креслення в « Геометрії» недосить чітко зображує другу частину тризуба , який складається з двох окремих ліній, що мають кожна - в термінології Ньютона - гіперболічну гілка з асимптотой АВ і параболічну гілку , яка асимптоти не має . Як і має бути , крива перетинає на кресленні горизонтальну вісь при значеннях у = - а , у = а , у = 2а , але точка перегину у частини , що лежить праворуч від асимптоти , не позначене .

Велике місце займають у «Геометрії » дослідження оптичних овалів , що розглядаються в біполярних координатах , і проведення нормалей . Друга книга твори завершується короткими зауваженнями про можливість поширення методу на про ¬ просторові криві допомогою проектування їх точок на дві вза ¬ імно перпендикулярні площини і заявою : «Я вважаю тепер , що нічого не пропустив з почав , необхідних для пізнання кривих ліній» .

Звичайно , в цих словах Декарта , як і в наведеній вище авторської оцінці « Введение» Ферма , було безсумнівну перебільшення. Але  дійсно-тельно , перед геометрією розкривалися небачено широкі перспективи . Історики науки чимало сперечалися про  те , чи була у Аполлонія аналіті -чна геометрія і чи було творчість  Ферма і Декарта у цій галузі новаторським . Відповідь залежить від визначення терміна « аналітична гео - метрія » , який , як зазначалося  в іншому зв'язку , розуміється по- різному. Безсумнівно , що обидва вчених надзвичайно багато чим зобов'язані  були древнім і що в саму теорію конічних перетинів вони не внесли якихось нових теорем , а також  не побудували її в чисто аналітичному плані. І разом з тим Декарт і Ферма закладали фундамент  воістину нової геометрії , хоча «  симптоми » Аполлонія і відповідали  буквеним рівнянням кривих другого  порядку .

Справа в тому , що , як правильно писав Г. Цейтен , « геометрична  форма , приданная методом древніх  самої алгебрі , була причиною численний  ¬ них комбінацій між коштами  і об'єктом геометричного дослід ¬ вання - комбінацій , які мали залишатися досить чуж ¬ дими аналітичної  геометрії , особливо оскільки остання  стре ¬ мілась перетворити геометричні  проблеми цілком в задачі обчис ¬  ня ». І до тих пір , поки засобом  дослідження залишалася геометри ¬  чна алгебра , синтетичне розгляд  неминуче перепліталося з аналітичним , а в очах деяких учених було принципово панівним . Ньютон , завершуючи свій висновок теореми про те , що місце до чотирьох прямим є конічний перетин , писав: «  Таке рішення , як наведене вище, тобто  виконуваний не за допомогою обчислення , але геометри ¬ ним побудовою , і вишукувалося древніми» . Тим  часом після Ферма і Декарта  і завдяки їм починає розвиватися  суто аналітичний ме ¬ тод дослідження  геометричних образів , в принципі не потребує зверненні до геометричних побудов і спирається лише на ал ¬ гебраіческое числення . Така загальна , ідейна сторона справи . До цього  слід додати , що нова алгебра давала кошти вивчення кривих будь-якого  порядку , перші приклади чого є вже  у Декарта ( таке застосування геометричній алгебри було неможливо) , що система  коор ¬ ДИНАТ ставала вільною  від зв'язку з тими чи іншими винятковими  точками і напрямами (наприклад , діаметром і вершиною конічного  перетину ) , що набували право на існування  негативні координати і т. д. Ми не говоримо вже про те , що в новій  геометрії вперше знайшло явне вираз  поняття про функції , заданої  формулою.

У світлі сказаного другорядне значення мають недоліки , при ¬  сущі аналітичної геометрії Декарта  і Ферма , що користувався до то ¬  му ж менш досконалою алгеброю Вієта , наприклад НЕ розробленість питання  про негативних координатах або  відсутність на більшості креслень другий осі , а також та обставина , що обидва вони обмежилися деякими  прикладами програми нового методу .

Сучасники сприйняли нову геометрію з ентузіазмом. Вже  в ла- тінскую виданнях « Геометрії» Декарта ми знаходимо окремі , заслу - жива згадки речі.

  В подвижной системе координат  ЕВ = у, LB = х' уравнение параболы CKN есть у² = а (a — х'), при этом х' = ху/(2а — х).