Дослідження Еваріста Галуа
Вступ
Еваріст Галуа - видатний французький математик, засновник сучасної вищої алгебри.
Перше ж знайомство з енциклопедичними статтями про Галуа створює враження , що мова йде про видатного вченого . Леопольд Інфельд , автор однієї з небагатьох об'ємних книг, присвячених долі Галуа , впевнено вносить його до списку дюжини найбільших математиків історії. Однак з тихий же статей можна зробити висновок , що біографія цієї людини вивчена недостатньо.
Багато в чому це , звичайно , пов'язано з коротким терміном його життя - народився в 1811 і гине вже в 1832 році , проживши всього 20 років. Нема про що особливо і писати. Проте насправді до двадцяти років Галуа мав настільки насичену біографію , що похвалитися такою зможе не кожен сорокарічний .
Коротке життя Галуа була сповнене героїзму , страждань і обманутих надій . Його майже зухвала впевненість у власному надзвичайному математичному даруванні стала причиною того , що викладачі переслідували його , а вчені ігнорували. Виключений зі школи за свій неприборканий республіканський дух , він був потім кинутий у в'язницю і, нарешті , став жертвою дуелі , підлаштований його політичними супротивниками.
З біографією Галуа майстерно переплітається розповідь про Францію XIX століття - Франції після поразки Наполеона , під час реставрації Бурбонів ; Франції Гюго, Дюми, Делакруа ; розповідь про бурхливі події липневої революції 1830 року , в якій Еваріст Галуа зіграв настільки трагічну роль.
Коли Галуа помер , він був відомий тільки як несамовитий республіканець , який ненавидів тиранію і боровся за Францію і свободу. Але безсмертя Галуа досягнуто тим , що він встиг написати за тринадцять годин до смерті і що нині вчені досліджують як « групу Галуа » , «поле Галуа » , « теорію Галуа »
Біографія
Еваріст Галуа народився 25 жовтня 1811 в Бур- ла- Рені , невеликому місті на південь від Парижу. Його батько Ніколя Габріель Галуа був затятим прихильником Наполеона. У наслідку, під час Ста днів , він буде обраний мером міста - і залишиться ним до самої смерті
До 12 років Еваріст виховувався в сім'ї - біографи впевнено пишуть , що більше впливу на нього справила мати Марія Аделаіда Галуа. Вона дійсно була освіченою жінкою , дочкою юриста . Відрізнялася вільнодумством в релігійних питаннях , добре знала грецьку та латинську мови . Все це вона повною мірою передавала синові .
Коли Еварістові виповнилося 12 років, батьки відправили його навчатися в Королівський коледж в Парижі ( нині ліцей Луї -ле -Гран ) . Добре підготовлений , він стає одним з найбільш успішних вихованців ліцею. За вірші латинською мовою та переклади з грецької він отримує призи та похвальні листи. Галуа відразу потрапляє не тільки в прекрасну наукову, а й в ліберальну середу - в усякому разі серед учнів.
В період навчання
Галуа там відбувається
Галуа вчиться добре перші два роки , потім починається спад , його навіть залишають на другий рік. Трохи пізніше він записується на лекції з математики в клас Іполита Жана Верньє . Він першим звертає увагу на математичні здібності Еваріста і охоче постачає його літературою.
Дослідження математики стало метою життя юного Еваріста Галуа. Відтепер тільки сюди спрямовані всі його думки. Він повністю закинув літературу , риторику та історію. Умовляння викладачів не діяли. Юнак твердо і безповоротно вступив на стежку самостійних математичних досліджень . Найближче його прагнення - вступити до Політехнічної школи.
І незабаром Галуа робить спробу, але провалює іспит - причому іспит з математики.
Юнак змушений повернутися в школу, проте ще до її закінчення , в 1829 році, представляє свою першу статтю Французької академії наук . Стаття ця присвячена галузі алгебри , яка надалі буде названа теорією груп - сам термін « група» в цьому значенні введений у науку Галуа в одній з робіт . Стаття була представлена , але не була розглянута.
Влітку того ж року помирає батько Еверіста,який вчинив самогубство, не винісши наклепу , поширюваного про нього місцевим священиком . Галуа, мабуть , був дуже близький зі своїм батьком , але якби навіть і ні - такий удар підкосить будь-кого. Якщо в школі йому і змогли прищепити якісь зачатки релігійного почуття, то роль священика у смерті батька остаточно позбавляє молодого математика поваги до релігії. Фінальним акордом стає приниження, яке йому і його родині безумовно довелося пережити на похоронах - батько Еваріста був католиком , але самовбивць не відспівують і не ховають на церковній землі
Через пару тижнів Галуа знову складає іспити в Політехнічну школу. Екзаменатор запропонував йому вирішити дуже важке рівняння . За кілька хвилин Еваріст написав на класній дошці оригінальне рішення. Не зрозумівши способу вирішення , екзаменатор засміявся . Зневірившись переконати екзаменатора в правильності прийомів свого рішення , Еваріст жбурляє в нього губку для стирання крейди. Чи було все так насправді не відомо, але в Політехнічну школу він не потрапив.
Нещастя і невдачі не загасили в Галуа спрагу знань і творчості. З лютого - 1830 він відвідує лекції професорів іншої вищої школи , відомої під назвою « Есоlе Normale » (« Нормальна школа »). У тому ж році Еваріст представляє на конкурсі до Академії наук три нові манускрипти . Здавалося б, тепер все добре. Рукопис почав читати сам Фур'є - великий математик. Але і тут його чекала невдача, незабаром Фур’є помирає, а рукопис Галуа кудись таємничо зникає.
У липні 1830 року у Франції починається революція . Галуа , до того серйозно цікавившись тільки математикою , несподівано виявляє великий інтерес до політики. Він активно підтримує революціонерів - республіканців. У самих подіях революції участь він не прийняв - але тільки тому , що за наказом директора Еколь Нормаль всіх студентів Школи замкнули в будівлі. Студенти взагалі дуже активно підтримали революцію і вигнання Карла X.
Наступні два роки життя Галуа - все , що залишилися йому до смерті - він веде надзвичайно активний спосіб життя. Зараз нам складно це уявити , але очевидно свого часу він був абсолютно невідомий , як математик , в той час як його революційна діяльність була у багатьох на слуху.
У день взяття Бастилії , Галуа одягає форму розпущеної Національної гвардії. І через його діяльність суд засуджує математика до тюремного ув'язнення. Математичні роботи , написані ним в 1831 році , ніхто не печатав.
Відомий хімік і політичний діяч Франсуа- Вінсент Распай , що сидів в одній в'язниці з Галуа , згадував що той був дуже пригнічений , багато пив , скаржився на долю.. Однак ув'язнення у в'язниці не зломило в Галуа ні революційного духу , ні бажання займатися наукою.
У березні 1832 вченого
переводять з в'язниці в
Про останні дні Еваріста Галуа відомо дуже небагато. Очевидно , що 29 травня 1832 хтось викликає його на дуель. Однак ми не знаємо ні хто це зробив, ні чому це відбулося. Відомо , що незадовго до смерті вчений перервав відносини з Стефані дю Мотель . У своєму останньому листі він пише , що гине « через підлу кокотку ». Складно сказати чи мав він на увазі Стефані, але Галуа у напруженні через недавню сварку міг так її назвати.
Можливо причина смерті зовсім не в жінці. Брат Еваріста , Альфред, був упевнений , що вбивство підлаштували політичні противники Галуа. Це не можна виключати , так як той був помітною фігурою серед республіканців, а рішення політичних дискусій за допомогою дуелі у Франції тих років була справа не рідкісна.
Однак саме велику справу свого життя він зробити встиг. Всю ніч 30 травня Еваріст дописує свої останні роботи , доповнюючи і пояснюючи їх. Повного пояснення він все одно не встигає дати . Він сам зазначає на полях рукопису: «У мене немає часу». Виправлені роботи він запечатує і відсилає їх своєму другові Огюсту Шевальє. У листі він просить опублікувати готові статті в « Енциклопедичному огляді» і показати їх Якобу і Гаусу - найбільшим математикам того часу.
У ніч перед дуеллю Еваріст написав своїм друзям листа:
««Мене викликали на дуель два патріота ... Я не міг відмовитися. Вибачте, що я не дав знати нікому з вас. Противники взяли з мене слово честі, що я не попереджу нікого з патріотів.
Ваше завдання дуже просте: вам треба підтвердити, що я бився проти волі, тобто після того, як були вичерпані всі засоби мирно залагодити справу, і що я не здатний брехати навіть у такій дрібниці.
Не забувайте мене! Адже доля не дала мені прожити стільки, щоб моє ім'я дізналася батьківщина.
Помираю Вашим другом.»
Вранці 30 травня 1832 випадковий перехожий помітив на галявині важко поранену в живіт молоду людину. Це був Галуа. Пораненого відвезли до лікарні , де він помер вранці наступного дня на двадцять першому році життя. Поховали його в загальній могилі на кладовищі Монпарнас .
Галуа створив новий напрямок алгебри , теорію груп , багато в чому яка направила розвиток цієї науки до наших днів.
Доказ однієї теореми з теорії неперервних дробів
Еваріст особливо захопився роботою Лагранжа - великого французького математика - аналітика XVIII століття , в якій досліджувалася проблема можливості розв'язання в радикалах алгебраїчних рівнянь загального вигляду
а0хп + а1хп - 1 +… + ап - 1х + ап = 0 ..
Суть проблеми - висловити рішення такого рівняння формулою , складеної з коефіцієнтів рівняння , знаків арифметичних дій і радикалів. Відповідні формули для розв'язання рівнянь квадратних, третього і четвертого ступенів відомі. Останні дві були отримані ще в XVI столітті італійськими математиками Тарталья і Феррарі , але всі спроби отримання формули для розв'язання рівнянь п'ятого ступеня загального вигляду:
а0х5 + а1х 4 + а2х3 + а3х2 + а4х + а5 = 0
були безуспішними протягом більш ніж двох століть.
Юний Галуа обрав інший напрямок для своїх шукань в теорії алгебраїчних рівнянь n- го порядку:
Відомо , що якщо за методом Лагранжа розкладати в безперервний дріб корінь рівняння другого ступеня , то цей безперервний дріб буде періодичним і що те ж , буде мати місце для кореня рівняння будь-якого ступеня , якщо цей корінь є коренем раціонального множника другого ступеня запропонованого рівняння.
У цьому випадку рівняння має щонайменше ще один періодичний корінь . І в тому , і в іншому випадку безперервний дріб , може бути чисто періодичним чи змішаним , але у випадку , коли остання обставина має місце, існує хоча б одне перетворення , при якому один з коренів стає чисто періодичним . Коли деяке рівняння має два періодичних кореня , відповідне одному раціональному множнику другого ступеня , то між цими двома коренями існує досить дивне співвідношення, яке , здається , ще не було зазначено; воно може бути виражене у вигляді наступної теореми.
Теорема:
Якщо один з коренів деякого рівняння небудь мірою являє собою чисто періодичну безперервний дріб , то рівняння неодмінно має інший періодичний корінь , що виходить діленням негативною одиниці на безперервний дріб , написану в зворотному порядку
Доказ:
Для визначеності візьмемо період в чотири члени , так як хід обчислення показує , що той же результат вийде і при допущенні великого числа членів в періоді.
Нехай один з коренів
деякого рівняння якого – небудь ступеня
виражається так :
Рівняння другого ступеню, якому належить
цей корінь і який містить його зв'язаний
корінь, буде
Звідки послідовно отримуємо:
Отже, це знову рівняння другого ступеня,
яке дає обидва кореня, про які йде мова;
але, необмежено підставляючи в праву
частину значення х, ми отримуємо:
Це буде друге значення х, визначене цим рівнянням; як бачимо, воно дорівнює -1, поділене на перше значення, написане в зворотному порядку.
У попередньому ми припускали,
що розглянутий корінь більше одиниці;
але якщо:
То підсумовуємо, що для одного з значень
1 / x має місце
І за попереднім інше значення
1 / x буде
Звідки виводимо для іншого значення х
або
що знову точно відповідає нашій теоремі
.
Нехай А – якийсь чисто періодичний безперервний дріб , а В - безперервний дріб , який виходить при перестановці періоду в зворотному порядку.
Ми бачили , що якщо х = А - один з коренів деякого рівняння , то воно неодмінно має і корінь х = -1 / B.
Якщо А позитивне і більше одиниці , то -1 / B негативне і укладається між 0 і -1 ; і навпаки, якщо А негативне і укладається між 0 і -1 , то -1 / B позитивне і більше одиниці.
Таким чином , коли один з коренів рівняння другого ступеня є чисто періодичний безперервний дріб, велика одиниця, другий корінь неодмінно укладається між 0 і -1 ; і , навпаки , якщо перший корінь укладається між
0 і -1 , то другий неодмінно позитивний і більше одиниці .
Можна довести , що , навпаки, якщо один з двох коренів рівняння другого ступеня позитивний і більше одиниці , а другий пролягає між 0 і -1 , то ці корені виражаються в чисто періодичних безперервних дробах .
Дійсно, нехай весь час А - деякий чисто періодичний безперервний дріб , позитивна і велика одиниці , а В - чисто періодичний безперервний дріб , одержуваний з А оберненням періоду , також позитивний і великий , ніж одиниця .
Перший з даних коренів не може мати форми
x = p + 1 / A ,
Так як тоді , в силу нашої теореми , другий корінь повинен бути
x = p + 1 / ( -1 / B ) = p - B ,
а p - B буде укладатися між 0 і -1 лише тоді , коли ціла частина B дорівнює p , в такому випадку перше значення буде чисто періодичним .
Перше значення х , крім того , не може дорівнювати
x = p + 1 / ( q + 1 / A ) , так як тоді іншим значенням буде
x = p + 1 / ( q - B ) або x = p - 1 / ( B - q ) ;
Але щоб значення укладалося між 0 і -1 , необхідно насамперед, щоб
1 / ( B - q ) дорівнювало p плюс деякий дріб.
Отже необхідно, щоб B - q було менше одиниці , а це вимагає , щоб В дорівнювало q плюс деякий дріб ;
Звідки видно , що p і q повинні бути відповідно рівні двом першим членам періоду В або двом останнім членам періоду А; так що , всупереч припущенням , значення x = p + 1 / ( q + 1 / A ) буде чисто періодичним.
Поле Галуа
Скінченне поле або поле Галуа — поле, яке складається зі скінченної множини елементів.
Найменше поле Галуа містить лише два елементи, 0 та 1 арифметичні операції над якими поводяться майже як звичайно, за винятком правила 1+1 = о. Це поле широко застосується в дискретній математиці, комп'ютерних науках і теорії кодування.
Ідея застосування поля полягає в тому, що доцільно розглядати послідовності з нулів й одиниць як елементи деякої алгебраїчної структури: векторного простору над цим полем, розширення кільця многочленів тощо.
Алгебраїчні операції в цій структурі приводять до низки важливих конструкцій в означених галузях, наприклад, скінчених проективних площин, кодів Ріда-Мюлера і кодів Гоппа. Засновані на теорії скінчених полів алгоритми перевірки на простоту і факторизації цілих чисел відіграють важливу роль у сучасній прикладній теорії чисел.
Для будь-якого простого числа кільце залишків — це скінчене поле з елементів, яке позначається Е лементи цього поля можуть бути представлені цілими числами які додаються і множаться «за модулем » Будь-яке скінчене поле містить елементів і однозначно задається своєю характеристикою і степенем
Будь-яке скінчене поле має просту характеристику тому воно містить в собі просте підполе З аксіом поля випливає, що уявляє собою скінченовимірний векторний простір над розмірності
Довільний елемент задається своїми координатами відносно певного базиса, які належать до Таким чином, поле складається з елементів. Виявляється, що і навпаки, для даних простого і натурального існує єдине, не враховуючи автоморфізмів, поле Галуа з елементів, яке має характеристику і позначається
Група Галуа
Група Галуа - група, асоційована з розширенням поля. Відіграє важливу роль при дослідженні розширень полів.
Визначення:
Нехай поле K є розширенням Галуа поля P. Взаємно однозначне відображення f поля K на себе називається автоморфізмом, якщо воно суму переводить в суму, тобто якщо для будь-яких елементів a, b поля K справедливі рівності:
.
Групою Галуа для даного розширення поля називається сукупність всіх автоморфізмів поля K, що зберігають елементи поля P: Зазвичай позначається як G (K, P) або Gal (K, P).
Приклади:
- Якщо розширене поле збігається з вихідним , то група Галуа містить тільки один елемент: одиницю (тотожний автоморфізм ) .
- Для розширення поля дійсних чисел до поля всіх комплексних чисел група Галуа містить 2 елементи : одиницю і комплексне сполучення .
- Поле розширення складається з чисел виду , де a , b - раціональні числа. Група Галуа тут містить 2 елементи : одиницю і операцію , яка міняє знак у 2-го доданка
- Нехай p - просте число , розглянемо кінцеві поля и , перше з них природним чином вкладено в друге. Група Галуа даного розширення - циклічна , вона породжується автоморфізмом Фробеніуса
- Група Галуа алгебраїчного рівняння. Розглянемо рівняння алгебри четвертого ступеня .
Воно допускає наступні перетворення змінної x :
Для y = 1 / x слідує тобто .
Тому з P ( x ) = 0 випливає, що P ( y ) = 0 . Це означає , що рівняння
P ( x ) = 0 допускає перетворення y = 1 / x . Для отримуємо
Ділення цього рівняння на вихідне P ( x ) дає
Таким чином, перетворення y = x² також допускається рівнянням P ( x ) .
Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) — це особлива підгрупа, в яких лівий і правий клас суміжності збігаються. Інваріантні підгрупи дозволяють будувати факторгрупу по заданій групі.
Визначення:
Підгрупа групи називається нормальною, якщо вона інваріантна щодоспряження, тобто:
Наступні умови нормальності підгрупи є еквівалентними:
Множини лівих і правих суміжних класів в збігаються.
.
Умова (1) слабша, чим (2), а умова (3) слабша, ніж (4). Тому умови (1) та (3) часто використовують при доведенні нормальності підгрупи.
Приклади:
- та — завжди нормальні підгрупи . Вони називаються тривіальними. Якщо інших нормальних підгруп немає, то група називається простою.
Центр групи — нормальна підгрупа.
Комутант групи — нормальна підгрупа.
Довільна характеристична підгрупа є нормальною, бо її спряження завжди єавтоморфізмом.
Всі підгрупи абелевої групи нормальні, тому що . Неабелева група, в якої всі підгрупи нормальні називається гамільтоновою.
Властивості:
Нормальність зберігається при побудові прямого добутку.
Нормальна підгрупа нормальної підгрупи не обов'язково є нормальною в групі, тобто нормальність не транзитивна. Але характеристична підгрупа нормальної підгрупи є нормальною.
Кожна підгрупа індекса 2 є нормальною. Якщо — найменьший простий дільник порядка , то довільна підгрупа індекса нормальна.
Якщо — нормальна підгрупа в , то на множині лівих (правих) суміжних класів можна ввести групову структуру по правилу
Отримана множина називається факторгрупою по .
- нормальна тоді і тільки тоді, коли вона тривіально діє на лівих сміжних класах .
- Нормальні підгрупи групи G утворюють ґратку відно
сно операції включення знайменшим елементом {e} та найбільшим елементом G. Ґратка є повною тамодулярною.
Висновок
Життя і творчість Еваріста Галуа являють собою абсолютно виняткове в історії науки явище. Молодий чоловік, який не досяг 21 року, здійснює в математиці переворот, виводячи її на зовсім новий розвиток.
Тепер ім'я Галуа - юнака гордого, непримиренно чесного, генія з дивовижною і трагічною долею, - одне з найбільш іменитих і популярних в математиці.
На закінчення своєї роботи,хочу процитувати вірш присвячений Еварісту Галуа:
«Добавить следует к тому, что сказано поэтом:
Да, Галуа республиканцем был — все верно это.
«Неистовым» по прозвищу, опасным для «желудков сытых».
Но в записях «заметных» им не были раскрыты
Законы политической борьбы. Их Галуа не знал.
В «заветных записях» он в тайну уравнений проникал:
Когда решений в радикалах нет, когда они все ж есть?
Ответ был найден в свойствах групп,— групп Галуа,—
Как их назвали позже в его честь.
Трагична Галуа судьба. При жизни не был понят гений
Учёными. Труды не издавались. Ему шел двадцать первый год.
Когда на грязной и подстроенной дуэли его убил какой-то скот
Минули годы... И наступил триумф его прозрений:
Учение о группах — суть многих из наук теперь
И в эру НТР оно им приоткрыло дверь.
В учении о группах успехов алгебры секрет.
Об этом вот поэму надо бы сложить, поэт!»
Список використаної літератури:
1. Бородин А.И, Бугай А.С, "Биографический словарь деятелей в области математики", Киев, "Радянська школа", 1979г.
2. Дальма А. «Эварист Галуа, революционер и математик»: Пер.с франц. – 2 – е изд. – М.: Наука, 1984. – 112 с.
3. П.С. Александров «Введение в теорию групп».
4. «Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей» / Под ред. Колмогорова А.Н., Юшкевичка А.П. -М.,1978.
- Дослідження зв язку рекламного звернення з його носіями
- Дослідження змін при зберіганні
- Дослідження лічильників
- Дослідження методів вимірювання вологості матеріалів
- Дослідження мовлення у дошкільників
- Дослідження Нафти
- Дослідження небезпечних ситуацій при користувані побутовою технікою
- Досконала конкуренція
- Дослiдження психологiчних особливостей осiб лiтнього й похилого вiку
- Дослідження
- Дослідження Африки Девідом Лівнгстоном
- Дослідження внутрішнього середовища турфірми «Ольга»
- Дослідження грошових систем
- Дослідження договору перевезення вантажів
