Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Элементы финансовой математики

Элементы финансовой математики

4.1. Модели операций дисконтирования

Дисконтирование связано с распространенным в коммерческой сфере утверждением «время – это тоже деньги», что обусловлено неравноценностью одинаковых по абсолютной величине сумм денежных средств сегодня и в будущем. Это объясняется, например, возможностью инвестировать сегодня капитал и в будущем получить доход; кроме того, инфляционный процесс обесценивает денежную массу. Таким образом, можно утверждать, что «деньги сегодня» ценнее «будущих денег». Дисконтирование позволяет учитывать в операциях фактор времени, то есть решать вопрос, как соотносятся между собой суммы денег, полученные в различные моменты времени.

Различают математическое дисконтирование, коммерческий или банковский учет.

Математическое дисконтирование связано с определением так называемого современного, или приведенного, значения Р на некоторый момент времени, которое соответствует заданному значению S в другой момент времени. Простейшая задача связана с определением суммы вклада Р на основе заданной конечной величины в будущем S через временной период начислений n под заданную ставку процентов, например, начисленную без учета капитализации:

(4.1)

где i – годовая процентная ставка;

n – количество периодов начисления процентов;

k_Д– коэффициент дисконтирования (приведения).

Дисконтированное значение будущей суммы вклада с учетом капитализации равно:

, (4.2)

где i_C – годовая процентная ставка,

а по номинальной ставке процентов i_n

(4.3)

где m – количество начислений процентов за год;

i_n – процент в пересчете на год.

Обычно понятие современной стоимости применяется к потоку платежей (во времени).

Пример решения задачи. Сколько нужно положить денег в банк под 20 % годовых (при условии ежегодной капитализации), чтобы через 2 года получить 250 тыс. рублей.

По формуле (2) находим: , то есть в банк нужно положить 173,61 тыс. рублей.

Банковский учет заключается в покупке денежных обязательств банком, например векселя, по цене меньше номинальной указанной в нем суммы. В этом случае вексель учитывается и клиент получит сумму:

P = S – D,

где S – номинальная стоимость данного обязательства;

P – цена покупки векселя банком;

D – дисконт, сумма процентных денег.

Вексель – письменное долговое обязательство строго установленной законом формы, которое выдается заемщиком (векселедателем) кредитору (векселедержателю) и предоставляет право векселедержателю требовать с заемщика уплаты к определенному сроку суммы займа и вознаграждения.

Процентный доход покупателя векселя определяется, например, по простой учетной ставке:

Если срок n от даты учета до даты погашения будет составлять часть года, то дисконт определяется по формуле:

где d – относительная величина учетной ставки;

t – период начисления в днях;

Т – количество дней в году.

Предъявителю учитываемого денежного обязательства будет выдана сумма:

(4.4)

Пример решения задачи. Банк учитывает вексель под 25 % годовых, до погашения осталось 90 дней, номинальная стоимость 100 тыс. рублей. Какую сумму получит предъявитель учитываемого векселя.

По формуле (4.4): . Т. е. предъявитель получит 93,836 тыс. рублей.

Следует заметить, что дисконтирование может быть связано и с проведением кредитной операции. В таком случае проценты начисляются в начале интервала начисления и заемщик получает сумму Р за вычетом процентных денег D из суммы кредита S, подлежащей возврату. В таком случае при проведении операции по простой учетной ставке d следует пользоваться такой формулой:

При проведении операции по сложной учетной ставке d_c% следует пользоваться формулой:

. (4.5)

При разработке условий контрактов или их анализе иногда возникает необходимость в решении обратных задач – определении срока ссуды или уровня учетной ставки.

Формулы для расчета продолжительности ссуды и величины учетной ставки получаем, решив уравнение (4.5) относительно n и d.

Выгодность такого метода начисления процентов по учетной ставке для кредитора или заемщика зависит от величины процентной ставки и срока кредита.

Пример решения задачи. На сколько лет нужно взять кредит в 390,625 тыс. рублей под 20 % годовых с учетом капитализации, чтобы получить 200 тыс. рублей.

, т. е. кредит нужно взять на 3 года.

Легко заметить, что при ставке 20 % годовых без учета капитализации, этот срок составит , т. е. 2,44 лет.

В операциях используется и номинальная годовая учетная ставка i_n, по которой при начислении процентов m раз в году можно определить сумму кредита:

из которой находим следующие модели расчета продолжительности ссуды и величины учетной ставки:

Из приведенных моделей путем несложных преобразований можно получить формулы для расчета различных показателей финансовых операций.

Задания для самостоятельной работы.

Сколько денег нужно положить в банк под 18 % годовых, чтобы через 3 года получить 25 тыс. рублей при условии ежеквартальной капитализации?
Вексель на сумму 500 000 рублей выдан на 100 дней с начислением по нему процентов по ставке 20 % годовых. Банк учел вексель за 20 дней до срока оплаты по учетной ставке 15 % годовых. Определите сумму, полученную предъявителем векселя, и сумму дохода банка.
В контракте за оплату коммерческих услуг можно записать к получению либо через 6 месяцев – 520 000 рублей, либо непосредственно в момент совершения операции 500 000 рублей. Рассчитайте минимальную сумму, которую выгодно получить в момент совершения операции, если банковская ставка составляет 18 % годовых с учетом капитализации.
Вексель стоимостью 20 тыс. рублей выписанный на 100 дней, учитываем в банке через 90 дней за 18,5 тыс. рублей. Чему равна учетная ставка? Какую доходность обеспечил себе банк?

4.2. Эквивалентность процентных ставок

При заключении финансовых контрактов каждый участник сделки стремится заключить контракт на наиболее выгодных для себя условиях. Условия контракта могут быть различными, и надо иметь возможность сравнивать контракты. При этом различные контракты могут предусматривать различные виды начисления процентов и для сравнения таких контрактов надо разработать способы приведении различных процентных ставок к одному виду. Напомним формулы для вычисления наращенной суммы S для всех видов процентных ставок:

– начисление простых процентов;

– начисление сложных процентов;

– начисление процентов m раз в год;

– простой дисконт (процентный доход, вычитаемый из ссуды в момент ее выдачи);

– учет по сложной учетной ставке;

– учет по сложной учетной ставке m раз в году.

Во всех формулах есть число лет (n), оно может быть дробным.

Две процентные ставки называются эквивалентными, если применение их к одинаковым суммам в течение одинаковых промежутков времени дает одинаковые наращенные суммы.

Приравнивая правые части каких-либо двух из приведенных выше формул и выражая из этого равенства одну процентную ставку через другую, получаем условие эквивалентности соответствующих процентных ставок за n лет.

Пример решения задачи.

Определите значение учетной ставки банка, эквивалентной ставке процентов, равной 40 % годовых.

Решение. Рассмотрим будущую стоимость этих сумм дя одного года: и . Так как левые части равны, то равны и правые: . Выражая из этого равенства учетную ставку d, получаем: или .

Таким образом, для заданной i = 40 % .

Для расчета эффективности финансовых операций используют сравнительную доходность, которая на основе допущения о равенстве финансовых результатов различных вариантов инвестиций приводит к понятию эквивалентных ставок простых или сложных процентов. Это позволяет получить инструмент корректного сравнения финансовых операций.

Эффективная ставка процентов измеряет относительный доход, который получают в целом за год от начисления процентов несколько раз в год:

(4.6)

Иначе говоря, эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает такой же финансовый результат, что и m-разовое начисление в год по ставке .

Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную номинальной при заданном значении m и вычисляют по формуле:

Пример решения задачи. Банк начисляет проценты на вклад исходя из номинальной ставки 12 % годовых. Определить эффективную (годовую) ставку при ежедневной капитализации процентов.

Решение: m = 365. По формуле (4.6) получим:

, то есть 12,747 %.

Задания для самостоятельной работы.

Срок платежа по векселю составляет 6 месяцев. Эффективность операции учета в банке должна составить 120 % годовых. Определить эквивалентное значение учетной ставки.
Банк хочет обеспечить себе доходность 90 % годовых. Какую он должен определить учетную ставку, если до погашения векселя осталось 8 месяцев?

4.3. Модели денежных потоков

Денежные потоки являются составной и неотъемлемой частью практически любой сферы человеческой деятельности. В коммерции они образуют питательную среду товародвижения. В экономической, финансовой, производственной и других сферах эти потоки также порождают интерес, они направлены на удовлетворение потребностей человека. Примерами таких потоков являются: оплата по заключенным договорам, которая может предусматривать как разовый платеж, так и ряд выплат, распределенных во времени, погашение банковской задолженности или коммерческого кредита частями и т. п. При этом может возникать целый ряд последовательных, например равновеликих, платежей R, которые и образуют денежный поток.

Ряд последовательных платежей, производимых через равные промежутки времени τ, называется финансовой рентой или аннуитетом. Примером аннуитета могут быть регулярные взносы в пенсионный или другие фонды, выплаты процентов по ценным бумагам, например по акциям и т. д. Финансовая рента определяется следующими основными характеристиками:

члены ренты R_j– величина каждого отдельного платежа;
интервал ренты τ_j– временной интервал между двумя платежами;
срок ренты t – время от начала реализации ренты до момента последнего платежа (бывают вечные ренты);
процентная ставка для расчета наращения или дисконтирования платежей;
наращенная будущая сумма ренты S, включающая все члены потока платежей с процентами на дату последней выплаты;
современная (приведенная) величина ренты А – сумма всех членов потока платежей, дисконтированная (уменьшенная) на величину процентной ставки на начальный момент времени ренты.

Ренты подразделяются на постоянные, когда члены ренты равны: R₁=R₂=R₃=…=R_n, и переменные, когда величины платежей различны.

Рассмотрим модели потоков ежегодных платежей, на которые начисляются проценты в конце каждого года методом сложных процентов.

Сумму первого платежа S₁ с наращенными на него за весь срок процентами определяем из уравнения

S₁= R (1 + i_c)^n-1,

где n – количество платежей величиной R.

Для второго платежа, для которого проценты начисляются на один год меньше, соответственно получим:

S₂= R (1 + i_c)^n-2.

Для третьего платежа наращенная сумма составит:

S₃= R (1 + i_c)^n-3.

На последний платеж, произведенный в конце последнего n-го года, проценты не начисляются.

S_n= R (1 + i_c)^n-n = R.

Тогда для всей наращенной суммы ренты получим:

Коэффициент наращения равен:

Следует заметить, что этот коэффициент представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, где первый член равен u₁=1, а знаменатель q=(1+i_c). На этом основании, используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, преобразуем полученное выражение для наращенной суммы ренты к такому виду:

из которого следует, что коэффициент наращения можно определить следующим выражением:

Полученные модели позволяют определить, например, величину платежа

Для определения срока ренты можно получить следующие формулы:

Приведенная стоимость ренты будет вычисляться по формуле:

Эту формулу можно использовать, когда заемщик берет кредит на условиях его погашения в будущем равными платежами ежегодно:

(4.7)

Пример решения задачи. Заемщик берет кредит на сумму 100 тыс. рублей на пять лет под 25 % годовых. Собирается погашать ежегодно равными частями. Какова величина этих выплат.

По формуле (4.7): .

Т. е. заемщик в конце каждого года будет выплачивать сумму 37,18467 тыс. рублей в течение пяти лет.

В зависимости от исходных данных для решения каждой задачи формируется соответствующий набор моделей для определения количественных значений показателей контракта.

Задания для самостоятельной работы.

Для создания через 5 лет фонда в размере 600 000 рублей определите размер ежеквартальных платежей по ставке 12 % годовых с учетом капитализации.
Платежи величиной 5000 рублей вносятся ежемесячно в течение 6 лет с начислением на них процентов по ставке 11,5 % годовых методом сложных процентов. Вычислите наращенную сумму аннуитета и коэффициент наращения.
Ссуда размером 40 тыс. рублей выдана на 4 года под 24 % годовых. Должник по контракту обязан выплачивать долг равными долями вместе с процентами. Рассчитайте сумму ежемесячных платежей.

4.4. Модели инфляции

Инфляция характеризуется обесцениваем национальной валюты, снижением ее покупательной способности и общим повышением цен в стране. В таком случае инвестор может потерять часть дохода, а заемщик, соответственно, может выиграть за счет погашения задолженности деньгами сниженной покупательной способности. На этом основании необходимо установить количественные соотношения по определению влияния инфляции на показатели финансовой операции. Следует заметить, что если наблюдается общее снижение цен, то происходит дефляция.

Все показатели финансовой операции можно разделить на две группы: номинальные, рассчитанные в текущих ценах, и реальные, учитывающие влияние инфляции, рассчитанные в сопоставимых ценах базисного периода.

Для количественной оценки упомянутых процессов формируют определенный набор товаров и услуг, называемый потребительской корзиной, и фиксируют изменение ее стоимости в различные моменты времени. Состав потребительской корзины математически можно представить в виде совокупности различных товаров:

где x_i – количество i-го вида товара или услуги в корзине;

n – количество товаров и услуг потребительской корзины.

В базисном периоде t₀ цены товаров потребительской корзины обозначим , а в аналогичном периоде t_j, соответственно, .

Тогда стоимость потребительской корзины в базисном периоде t₀ составит:

а в анализируемом периоде t_i

На этом основании полагают, что изменение (рост или падение) потребительских цен определяется безразмерным показателем, называемым индексом инфляции, который показывает, во сколько раз изменились цены (темп роста цен, если выразить в процентах):

а относительная величина – темп прироста цен – это уровень инфляции:

откуда следует, что индекс инфляции равен:

Уровень инфляции в процентах определяется так:

Индекс инфляции показывает, во сколько раз выросли цены, а уровень инфляции – на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период. При проведении исследования стоимость потребительской корзины фиксируется через, например, равные промежутки времени:

что можно записать таким образом:

Аналогично для темпов инфляции на этих интервалах:

Тогда можно записать следующие уравнения связи между членами ряда:

отсюда после подстановок получим:

На этом основании нетрудно получить выражение для определения стоимости потребительской корзины в общем виде:

тогда индекс инфляции за весь период будет равен:

Кроме того, как было показано выше, индекс инфляции связан с уровнем инфляции выражением , отсюда можно определить уровень инфляции за весь период:

Следует заметить, что при равенстве значений уровней инфляции на всех интервалах

индекс инфляции определяется по формуле:

Рассмотрим различные варианты начисления процентов с учетом инфляции.

Для процентов, начисленных без учета капитализации, обозначим i_α ставку процентов, учитывающую инфляцию, тогда наращенную сумму можно определить по формуле:

Затем, воспользовавшись уравнением связи S_α c S с помощью индекса инфляции:

запишем равенство

откуда и получим модель определения номинальной ставки процентов:

Если рассматривать в пределах одного периода, то номинальная процентная ставка выражается через реальную ставку следующим соотношением:

Реальная доходность операции при заданных i_a и I_и определяется по формуле:

При достаточно большом темпе инфляции реальная ставка процентов может стать даже отрицательной.

Для процентов, начисленных с учетом ежегодной капитализации, аналогично запишем два выражения:

из которых определим номинальную ставку процента:

и реальную доходность операции:

По этим формулам можно сравнивать i_cα и α (больше, равно или меньше), проводить экономический анализ эффективности вложений и установить, поглощается ли доход инфляцией или происходит реальный прирост вложенного капитала, а не убыток.

При начислении процентов несколько раз в году запишем аналогичные модели:

откуда получим выражение для вычисления номинальной процентной ставки, учитывающей инфляцию, при начислении процентов несколько раз в год:

а также уравнение для определения реальной доходности:

Приведенные модели позволяют проводить взаиморасчеты с клиентами по экономическим показателям в контрактах с учетом инфляции.

Элементы финансовой математики 📙 Реферат → 🆔 312986