Исследования систем линейных уравнений

Введение.

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений  с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений 1ой степени с n неизвестными:

                             a₁₁x₁ +  … + a_1n x_n = b₁ ;

                             a₂₁x₁ +  … + a_2n x_n = b₂ ;                            

                             ………………………………

                             a_m1x₁+  … + a_mnx_n = b_m .  

Здесь x₁, … , x_n – неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1ой степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г.Лейбниц (1693) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэффициентов, и показал, как из этих коэффициентов (в случае m = n) строить так называемые определители, при помощи которых исследуются системы линейных уравнений. Впоследствии такие матрицы, или матрицы, стали предметом самостоятельного изучения, так как обнаружилось, что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Современная алгебра, понимаемая как учение об операциях над любыми математическими объектами, является одним из разделов математики, формирующих общие понятия и методы для всей математики. Для современной алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми проводятся данные операции. Классическим разделом алгебры является линейная алгебра, т.е. теория векторных пространств и модулей, частью которых являются  сформировавшиеся ещё в XIX веке теория линейных уравнений и теория матриц. Идеи и методы линейной алгебры применяются во многих разделах математики. Так, основным предметом изучения функционального анализа являются бесконечномерные векторные пространства.

Г.Крамером в 1750 году было установлено правило, применимое к любой системе n линейных уравнений c n неизвестными. Оно носит название правила Крамера. Построение полной теории произвольных систем линейных уравнений было закончено только спустя 100 лет Л.Кронекером.

Применение  правила Крамера при практическом решении большого числа линейных уравнений может встретить различные трудности, так как нахождение определителей высокого порядка связано с весьма большими вычислениями. Поэтому были разработаны методы численного (приближённого) решения систем линейных уравнений, наиболее известным из которых является метод Гаусса. Система линейных уравнений может иметь как одно единственное решение (определённая система), так и несколько (и даже бесконечное множество) решений (неопределённая система); может также оказаться, что система линейных уравнений не имеет ни одного решения (несовместная система). Вопрос о совместности системы линейных уравнений, т.е. вопрос о существовании решения системы линейных уравнений, решается сравнением ранга матриц [а_ij] и [a_ij, b_j ]. Если ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В строго больше ранга матрицы А, то система несовместна (теорема Кронекера-Капелли).

Несколько уравнений  вида  a₁x₁ + …+ a_nx_n= b образуют систему линейных уравнений

a_j1x₁ + …+ a_jnx_n = b_j ,   j = 1, …, m,

которую можно записать как

x₁a₁ + …+ x_na_n = b,

где а₁, …, а_n, b m-мерные векторы, являющиеся столбцами расширенной матрицы В системы. Отсюда следует, что различные линейные уравнения в функциональных пространствах, линейные дифференциальные уравнения, линейные интегральные уравнения

-3-

являются бесконечномерными аналогами  обычных систем линейных уравнений.

Ранг  матрицы.

Рассмотрим произвольную прямоугольную  матрицу 

                                         а₁₁   …   а_1n

                                A =   ……………                                                (8)   

                                         a_m1  …   a_mn

Выделим некоторое  число k строк этой матрицы и такое же число столбцов. Элементы матрицы (8), стоящие на пересечение выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Если не все числа а_ij матрицы А равны нулю, то всегда можно указать число r такое, что у матрицы А имеется минор,

имеющий порядок r + 1 и выше, равен нулю.

Число r, представляющее собой наибольший из порядков отличных от нуля миноров матрицы А, называется рангом матрицы и обозначается rangA. Если все элементы а_ij равны нулю, то ранг матрицы принимается равным нулю. Отличный от нуля минор r-го порядка матрицы A (таких миноров у матрицы А может быть несколько, но все они имеют один и тот же порядок r) называется базисным минором матрицы А. Строки и столбцы, из которых построен базисный минор, называют базисными. Понятие ранга матрицы широко применяется в различных приложениях теории матриц.

Выделим в  матрице А произвольно k строк. Пусть это будут строки

a₁, а₂, …, а_k:

                                         а_α11,   а_α12,   …,   а_α1n;

                                         а_α21,   а_α22,   …,   а_α2n;

                                         ……………………

                                         а_αk1,   а_αk2,   …,   а_αkn.

Если существуют такие  числа λ₁, λ₂, …, λ_k, не все равные нулю, что для элементов некоторой другой, отличной от выделенной, строки i выполняются следующие соотношения:   (9)

то говорят, что i-я строка линейно выражается через строки

α₁, α₂, …, α_k. В случае, если равенства (9) выполняются тогда и только тогда, когда все числа λ₁, λ₂, …, λ_k – нули, то говорят, что i-я строка линейно зависима от строк α₁, α₂, …, α_k. Аналогичным образом можно ввести понятие линейной зависимости и линейной независимости между столбцами матрицы.

Теорема 1.2.(о базисном миноре) Любая строка матрицы А является линейной комбинацией её базисных строк.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что базисный минор матрицы (8) расположен в её верхнем левом углу, т.е. в первых r строках и первых r столбцах. Такое предположение не уменьшает общности рассуждения. Пусть k – номер любой строки матрицы А (k может принимать значения от 1 до m), а l – номер любого её столбца (l может принимать значения от 1 до n).

Рассмотрим следующий минор  матрицы (8):

                                        a₁₁  a₁₂  …   a_1r   a_1l

                                        a₂₁  a₂₂  …   a₁₁   a_1l

                               ∆ =  ………………………                                     (10)

                                        a_r1  a_r2   …   a_rr   a_rl

                                       ………………………             

                                        a_k1  a_k2  …   a_kr   a_kl

Если k < r, то ∆ = 0, так как в нем имеется две одинаковые строки. Аналогично ∆ = 0 и при l < r.

Разложив определитель ∆ по элементам последнего столбца, получим

       a_1lA_1l + a_2lA_2l + … + a_rlA_rl + a_klA_kl = 0,

Придавая l значения, получаем: (11)

Равенства (11) показывают, что k-я строка матрицы А является линейной комбинацией первых r строк с коэффициентами

λ₁, λ₂, …, λ_r. Так как эти равенства справедливы при любом k от 1 до n, то т е о р е м а д о к а з а н а полностью.

Основываясь на теореме о базисном миноре, докажем справедливость следующих  предложений.

1. Ранг матрицы не изменяется, если к ней приписать строку, являющуюся линейной комбинацией строк матрицы.         

 Действительно, базисные строки  исходной матрицы будут также  базисными строками в дополнительной  матрице, так как строку из  линейной комбинации всех строк  исходной матрицы можно 

представить как линейную комбинацию базисных строк.

2. Ранг матрицы А не изменится, если вычеркнуть из неё строку, являющуюся линейной комбинацией остальных строк матрицы.

 В самом деле, исходная матрица А получается из матрицы с вычеркнутой строкой путем добавления строки, являющейся линейной комбинацией строк матрицы А. Таким образом, предложение 2 сводится к предложению 1.

Нахождение ранга матрицы, как  это следует из его определения, требует вычисления большого числа  миноров (т.е. определителей разных порядков) матрицы. Однако этот процесс  можно упростить: вычисляя ранг матрицы, гораздо удобнее переходить от миноров  меньших порядков к минорам больших  порядков. Если найден минор r-го порядка, отличный от нуля, то при следующем шаге нужно вычислять миноры (r + 1)-го порядка, окаймляющие прежний минор. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен r.

Другим простым  способом вычисления ранга матрицы  является метод Гаусса, основанный на так называемых элементарных преобразованиях, выполняемых над матрицей. Такими преобразованиями будем считать:

1. вычеркивание строки состоящей из нулей;
2. прибавление к элементам одной из строк соответствующих элементов других строк, умноженных на любое число;
3. перестановку двух столбцов.

Теорема 1.3. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

 Д о  к а з а т е л ь с т в о. Преобразование 1 следует из теоремы о линейной комбинации элементов любой строки матрицы. В самом деле, так как нулевая строка не может быть базисной, то её исключение, как и включение, не изменит ранга матрицы.

Преобразование 3 очевидно, так как перестановка двух столбцов матрицы не нарушает никаких линейных зависимостей между  её строками.

Остается  рассмотреть преобразование 2. Пусть  к k элементам i-ой строки матрицы А прибавляются соответствующие элементы j-ой строки, умноженные на число k. Указанное преобразование можно выполнить в два приёма: сначала добавить к матрице А новую строку

с элементами a_il + ka_jl, вставив её после i-й строки, затем из полученной матрицы вычеркнуть j-ю строку. При первой операции ранг полученной матрицы будет равен рангу матрицы А согласно предложению 1, а при второй операции – согласно предложению 2.

Т е  о р е м а д о к а з а н а.

Метод Гаусса вычисления ранга матрицы  заключается в том, что путем  элементарных преобразований можно  привести данную матрицу А к виду

                      b_1l   b₁₂   …   b_1r   …   b_1n

              B =  0     b₂₂   …   b_2r   …   b_2n

                      ……………………………    ,

                      0     0      …   b_rr   …   b_rn

в котором все диагональные элементы b_1l, b₂₂, …, b_rr отличны от нуля, а элементы других строк, расположенные ниже диагональных, равны нулю.

Учитывая, что  ранг не меняется при элементарных преобразованиях, имеем rang A = rang B.

Критерий  совместности общей системы  линейных уравнений.

Как уже было отмечено, под общей системой линейных уравнений мы понимаем систему (14) в  которой число неизвестных необязательно  совпадает с числом уравнений.

Пусть дана общая система линейных уравнений (14) и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система (14)является совместной.

Из коэффициентов  при неизвестных и свободных  членов системы (14) составим матрицу

                    a₁₁     a₁₂    …    a_1n       

                    A =     a₂₁     a₂₂    …    a_2n     

                    ……………………                                       

                    a_m1    a_m2    …   a_mn     

которую назовем основной матрицей системы (14), и матрицу

                    a₁₁     a₁₂    …    a_1n      b₁ 

                    B =      a₂₁     a₂₂    …    a_2n      b₂

                    ………………………  ……                                   (26)

                  a_m1    a_m2    …   a_mn      b_m

которую назовем расширенной матрицей системы (14).

Теорема 2.1. Для того чтобы система (14) линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть система (14) совместна и c₁, c₂, ..., с_п – некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства:

                                    а₁₁с₁ + а₁₂с₂ + …+ а_1nс_n  = b₁;

                                    а₂₁с₁ + а₂₂с₂ + …+ а_2nс_n  = b₂;                         

_.                                    ……………………………………

                                   а_m1с₁ + а_m2с₂ + …+ а_mnс_n = b_m

из которых  следует, что последний столбец  расширенной матрицы (26) есть линейная комбинация остальных ее столбцов с  коэффициентами с₁, с₂, ..., с_п. Согласно предложению 2, последний столбец матрицы В может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, c_z, ..., с_п — решение системы уравнении (14), то rang А = rang В.

Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений (14) совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т. е.

                                   b₁ = а₁₁с₁ + а₁₂с₂ + …+ а_1nс_n ;

                                   b₂ = а₂₁с₁ + а₂₂с₂ + …+ а_2nс_n ;                         

_.                                    …………………………………

                                   b_m = а_m1с₁ + а_m2с₂ + …+ а_mnс_n,

где c₁, c₂, ..., с_п — коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе (27) удовлетворяют значения x₁ = c₁, ..., х_п = с_п, следовательно, она совместна. Т е о р е м а д о к а з а н а.

Доказанная  теорема совместности системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера – Капелли.

Пример 1. Рассмотрим систему

                                  5x₁ –   x₂ +  2x₃ +   x₄ = 7;

                                  2x₁ +  x₂  – 4x₃ – 2x₄ = 1;

                                    x₁ – 3x₂ +  6x₃ – 5x₄ = 0.

Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так  как сцществует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, например

                                 5   –1   = 7,

                                 2     1

а все миноры третьего порядка  равны нулю.

Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка  этой матрицы, например

                                5   –1     7

                                2     1     1   = –35.

                                1   –3     0             

Согласно критерию Кронекера  – Капелли система несовместна, т.е. не имеет решений.

Пример 2. При каких k совместна система уравнений

                                         x + ky = 3,

                                       kx + 4y = 6?

Поскольку r ≠ 0, то эта система совместна в двух случаях: когда ∆ ≠ 0

И когда R = r = 1. Поэтому рассмотрим два случая.

1) Если ∆ = 0, т.е. если r ≠ 0, т.е. если k² ≠ 4, то по правилу Крамера система имеет единственное решение.

Значит, для  любого k, кроме k = 2 и k = –2, система имеет единственное решение.

2) Если R = r = 1, т.е. если

                            1     k   =   3     k   =   1     3   = 0,

                            k     4        6     4        k     6      

т.е. если k = 2, то система совместна.

Подводя итог, получаем, что исходная система совместна  при любых k кроме k = –2.

Используя критерий Кронекера –  Капелли, проведем исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y:

                                           a₁x + b₁y = c₁,

                                           a₂x + b₂y = c₂.                                           (26)

Основная матрица этой системы

                                          a₁     b₁

                                          a₂     b₂   

имеет ранг r, причем 0 < r < 2.

Расширенная матрица

                                          a₁     b₁     с₁

                                          a₂     b₂     с₂

имеет ранг R, причем 0 < r < R. Очевидно, что r < R < r+1.

Имеют место следующие утверждения.

Пусть дана система двух линейных уравнений  с двумя неизвестными (26). Тогда:

1. Если r = R = 0, т.е. если все коэффициенты a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂ равны нулю, то любая пара действительных чисел является решением системы (26).
2. Если r = 0, R = 1, т.е. a₁ = a₂ = b₁ = b₂ = 0 и c + c ≠ 0, то система (26) не имеет решений.
3. Если r =1, R = 1, то система (26) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел есть её решение.
4. Если r = 1, R = 2, то система (26) не имеет решений.
5. Если r = 2, R = 2, то система (26) имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.

Справедливы и обратные утверждения.

1. Если система (26) имеет единственное решение, то r = R =2.
2. Если любая пара действительных чисел является решением системы (26), то r = R = 0.
3. Если система (26) не имеет решений, то r ≠ R, т.е. либо r =0 и

R = 1, либо r =1 и R = 2.

4.  Если  система (26) имеет бесконечно много  решений, но не любая пара  действительных чисел является  её решением, то r = R = 1.

Приведём доказательство этих утверждений только в том случае, когда оба уравнения системы (26) являются уравнениями первой степени, т.е. когда выполняются условия a  + b  ≠ 0, a  + b  ≠ 0. В этом случае каждое уравнение этой системы в отдельности определяет прямую на плоскости, где задана система координат xOy. Это дает возможность придать геометрический характер дальнейшим рассуждениям при исследовании системы (26)

Теорема 2.2. Пусть две прямые заданы уравнениями

                                 a₁x + b₁y – c₁ = 0,

                                 a₂x + b₂y – c₂ = 0,                                            (27)

где a  + b  ≠ 0, a  + b  ≠ 0.

1. Для того, чтобы две прямые пересеклись, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 2.
2. Для того, чтобы две прямые были параллельными, но не совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = 1, R = 2.
3. Для того, чтобы две прямые совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем достаточность условий.

1. Если r = R = 2, то система (27) имеет единственное решение, которое легко найти по правилу Крамера, а это означает, что прямые имеют одну общую точку, т.е. пересекаются.
2. Если r = 1, R = 2, то система (27) несовместна и поэтому прямые не имеют общих точек, т.е. параллельны и не совпадают.
3. Если r = R = 1, то все миноры второго порядка основной и расширенной матриц равны нулю, т.е.

             a₁    b₁   = 0,     c₁    b₁   = 0,     a₁    c₁   = 0.

             a₂    b₂               c₂    b₂             a₂    c₂     

  Эти условия можно переписать так:

                                     a₁b₂ = b₁a₂,                                                     (28)

                                     c₁b₂ = b₁c₂,                                                     (29)

                                     a₁c₂ = c₁a₂.                                                     (30)

Рассмотрим  теперь все возможные случаи.

а) Если а₁ = 0, то b₁ ≠ 0, так как a₁ + b₁ ≠ 0. Тогда из (28) следует, что а₂ = 0, а так как a₂ + b₂ ≠ 0, то b₂ ≠ 0. Тогда из (29) находим, что c₁/b₁ = c₂/b₂ = α и при этом уравнения прямых примут вид

b₁(y – α) = 0, b₂(y – α) = 0. Поскольку b₁ ≠ 0, b₂ ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой y – α = 0.

б) Если b₁ = 0, то а₁ ≠ 0, а из (28) тогда следует, что b₂ = 0(причем

-43-

а₂ ≠ 0). Тогда из (30) имеем c₁/a₁ = c₂/a₂ = β, и поэтому уравнения прямых примут вид а₁(x – β) = 0, а₂(x – β) = 0. Поскольку

а₁ ≠ 0, а₂ ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой x – β = 0.

в) Если а₁ ≠ 0 и b₁ ≠ 0, то из (28) вытекает, что а₂/a₁ = b₂/b₁ = γ, а из (29) и (30) вытекает, что с₂ = b₂c₁/b₁ = a₂c₁/a₁. Т.е. получаем, что

а₂ = γа₁, b₂ = γb₁, c₂ = γc₁, и поэтому уравнения прямых примут вид

a₁x + b₁y – c₁ = 0, γ(a₁x + b₁y – c₁)= 0. Поскольку γ ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают.

Теперь докажем необходимость условий. Доказательство проведём методом от противного.

1. Пусть прямые  пересекаются. Докажем, что r = R = 2. Если бы оказалось, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны и не совпадали. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно,  r = R = 2.

2. Пусть прямые  параллельны. Докажем, что r = 1, R = 2. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно, r = 1, R = 2.

3. Пусть прямые  совпадают. Докажем, что r = R = 1. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось бы, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны.

Следовательно, r = R = 1.

Т е о р е м а д о к а з а н а п о л н о с т ь ю.

Список литературы:

1. А.А.Дадаян. Алгебра и геометрия./А.А.Дадаян, В.А.Дударенко.  Минск: „Вышэйная школа”, 1989г.
2. Д.К.Фаддеев. „Сборник задач по высшей алгебре”./ Д.К.Фадеев, И.С.Саминский. Москва: „Наука”, 1977г.
3. Ильин В.А. Позняк Э.Г. Линейная алгебра 
4. http://math.semestr.ru