Линейные уравнения

Линейные уравнения

Уравнения с одной переменной.

Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной, или  уравнением с одним неизвестным. Например, уравнением с одной переменной является равенство 3(2х+7)=4х-1.

Корнем  или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Например, число 1 является решением уравнения 2х+5=8х-1. Уравнение х2+1=0 не имеет решения, т.к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение (х+3)(х-4) =0 имеет два корня: х1= -3, х2=4.

Решить  уравнение — значит найти все  его корни или доказать, что  корней нет.

Уравнения называются равносильными, если все  корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и  наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого уравнения или, если оба уравнения не имеют корней. Например, уравнения х-8=2 и х+10=20 равносильны, т.к. корень первого уравнения х=10 является корнем и второго уравнения, и оба уравнения имеют по одному корню.

При решении уравнений используются следующие свойства:

Если  в уравнении перенести слагаемое  из одной части в другую, изменив  его знак, то получите уравнение, равносильные данному.

Если  обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Уравнение ах=b, где х – переменная, а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Если  а¹0, то уравнение имеет единственное решение  .

Если  а=0, b=0, то уравнению удовлетворяет  любое значение х.

Если  а=0, b¹0, то уравнение не имеет решений, т.к. 0х=b не выполняется ни при одном  значении переменной.

Пример 1. Решить уравнение: -8(11-2х)+40=3(5х-4)

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с х в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие х, в правую часть, получим:

16х-15х=88-40-12

х=36

Ответ: 36.

Пример 2. Решить уравнения:

3х2-5х=0;

х3-2х2-98х+18=0;

х2+7х+12=0.

Эти уравнения не являются линейными, но покажем, как можно решать такие уравнения.

3х2-5х=0; х(3х-5)=0. Произведение равно  нулю, если один из множителей  равен нулю, получаем х1=0; х2= .

Ответ: 0; .

Разложить на множители левую часть  уравнения:

х2(х-2)-9(х-2)=(х-2)(х2-9)=(х-2)(х-3)(х-3), т.е. (х-2)(х-3)(х+3)=0. Отсюда видно, что решениями этого  уравнения являются числа х1=2, х2=3, х3=-3.

с) Представим 7х, как 3х+4х, тогда имеем: х2+3х+4х+12=0, х(х+3)+4(х+3)=0, (х+3)(х+4)=0, отсюда х1=-3, х2=- 4.

Ответ: -3; - 4.

Пример 3. Решить уравнение: ½х+1ç+½х-1ç=3.

Напомним определение модуля числа:

Например: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

В данном уравнении под знаком модуля стоят числа х-1 и х+1. Если х  меньше, чем –1, то число х+1 отрицательное, тогда ½х+1½=-х-1. А если х>-1, то ½х+1½=х+1. При х=-1 ½х+1½=0.

Таким образом,

Аналогично 

а) Рассмотрим данное уравнение½х+1½+½х-1½=3 при х£-1, оно равносильно уравнению -х-1-х+1=3, -2х=3, х= , это число принадлежит множеству х£-1.

b) Пусть -1 < х £ 1, тогда данное  уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

с) Рассмотрим случай х>1.

х+1+х-1=3, 2х=3, х= . Это число принадлежит множеству х>1.

Ответ: х1=-1,5; х2=1,5.

Пример 4. Решить уравнение:½х+2½+3½х½=2½х-1½.

Покажем краткую запись решения  уравнения, раскрывая знак модуля «по  промежуткам».

          

  -2        0    1     х   

х £-2, -(х+2)-3х=-2(х-1), - 4х=4, х=-2Î(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

х>1, х+2+3х=2(х-1), 2х=- 4, х=-2Ï(1; +¥)

Ответ: [-2; 0]

Пример 5. Решить уравнение: (а-1)(а+1)х=(а-1)(а+2), при всех значениях параметра а.

В этом уравнении на самом деле две переменных, но считают х–неизвестным, а а–параметром. Требуется решить уравнение относительно переменной х при любом значении параметра  а.

Если а=1, то уравнение имеет вид 0×х=0, этому уравнению удовлетворяет любое число.

Если а=-1, то уравнение имеет  вид 0×х=-2, этому уравнению не удовлетворяет  ни одно число.

Если а¹1, а¹-1, тогда уравнение  имеет единственное решение  .

Ответ: если а=1, то х – любое число;     

  если а=-1, то нет решений;    

  если а¹±1, то .

Системы уравнений с двумя переменными.

Решением системы уравнений  с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что их нет. Две системы уравнений называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй системы и каждое решение второй системы является решением первой системы или они обе не имеют решений.

При решении линейных систем используют метод подстановки и метод  сложения.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Для решения этой системы применим метод  подстановки. Выразим из первого  уравнения х и подставим это  значение  во второе уравнение системы, получим

,

Ответ: (2; 3).

Пример 2. Решить систему уравнений:

Для решения этой системы применим метод  сложения уравнений. 8х=16, х=2. Подставим  значение х=2 в первое уравнение, получим 10-у=9, у=1.

Ответ: (2; 1).

Пример 3. Решить систему уравнений:

Эта система равносильна одному уравнению 2х+у=5, т.к. второе уравнение получается из первого умножением на 3. Следовательно, ей удовлетворяет любая пара чисел (х; 5-2х). Система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: (х; 5-2х), х–любое.

Пример 4. Решить систему уравнений:

Умножим первое уравнение на –2 и сложим со вторым уравнением, получим 0×х+0×у=-6. Этому уравнению не удовлетворяет ни одна пара чисел. Следовательно, эта система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

Пример 5. Решить систему:

Из  второго уравнения выражаем х=у+2а+1 и подставляем это значение х  в первое уравнение системы, получаем . При а=-2 уравнение не а=-2 имеет решения, если а¹-2, то .

Ответ: при a=-2система не имеет решения,    

 при а¹-2 система имеет решение  .

Пример 6. Решить систему уравнений:

Нам дана система из трех уравнений  с тремя неизвестными. Применим метод  Гаусса, который состоит в том, что равносильными преобразованиями приводят данную систему к треугольной  форме. Прибавим к первому уравнению  второе, умноженное на –2. 

2х+у+3z=13

+ -2х-2у-2z=-12

-у+z=1 или у-z=-1.

Далее к третьему уравнению системы  прибавим второе, умноженное на –3, 

3х+у+z=8

+ -3х-3у-3z=-18   

-2y-2z=-10,

наконец прибавим к этому уравнению  уравнение у-z=-1, умноженное на 2, получим - 4z=-12, z=3. Итак получаем систему уравнений:

  х+у+z=6  

  у-z=-1 

    z=3, которая равносильна данной.

Система такого вида называется треугольной.

Ответ: (1; 2; 3).

МБОУ «СОШ №4  г.Касимова»

Исследовательская работа

на тему:

Решение уравнений

Выполнила:     

 ученица 10 «Б» класса

Карлова Светлана

 

 

 

 

2013г

 

 

 

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения изучают  в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Определение

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Определение

Пусть дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b² − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает  на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача

Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x² − 8x + 12 = 0;
2. 5x² + 3x + 7 = 0;
3. x² − 6x + 9 = 0.

Решение

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант: 
a = 1, b = −8, c = 12; 
D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому  уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение: 
a = 5; b = 3; c = 7; 
D = 3² − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение: 
a = 1; b = −6; c = 9; 
D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Ответ

1) 2 корня; 2) нет корней; 3) один корень.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача

Решить квадратные уравнения:

1. x² − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x² = 0;
3. x² + 12x + 36 = 0.

Решение

Первое уравнение: 
x² − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3; 
D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение: 
15 − 2x − x² = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15; 
D = (−2)² − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их:

Наконец, третье уравнение: 
x² + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36; 
D = 12² − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Ответ

1) x₁ = 3; x₂ = -1; 2) x₁ = −5; x₂ = 3; 3) x = −6.

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение  несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x² + 9x = 0;
2. x² − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Определение

Уравнение ax² + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый  случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax² = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax² + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x² и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax² + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Произведение равно нулю, когда  хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача

Решить квадратные уравнения:

1. x² − 7x = 0;
2. 5x² + 30 = 0;
3. 4x² − 9 = 0.

Решение

x² − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x₁ = 0; x₂ = −(−7)/1 = 7.

5x² + 30 = 0 ⇒ 5x² = −30 ⇒ x² = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x² − 9 = 0 ⇒ 4x² = 9 ⇒ x² = 9/4 ⇒ x₁ = 3/2 = 1,5; x₂ = −1,5.

Ответ

1) x₁ = 0; x₂ = 7; 2) корней нет; 3) x₁ = 1,5; x₂ = 1,5.

 

Целые и дробные рациональные уравнения

 

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части являются рациональными выражениями.

(Напомним: рациональными выражениями  называют целые и дробные выражения  без радикалов, включающие действия  сложения, вычитания, умножения или  деления - например: 6x;  (m – n)²; x/3y и т.п.) 

 

Рациональное уравнение называется целым, или алгебраическим, если в нем нет деления на выражение, содержащее переменную.

Примеры целого рационального уравнения:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x 
— = 2x – 10 
4

Если в рациональном уравнении есть деление на выражение, содержащее переменную (x), то уравнение называется дробно-рациональным.

Пример дробного рационального  уравнения:     

15 
x + — = 5x – 17 
       x

 
Дробные рациональные уравнения обычно решаются следующим образом:

1) находят общий знаменатель  дробей и умножают на него  обе части уравнения; 2) решают получившееся целое  уравнение; 3) исключают из его корней  те, которые обращают в ноль  общий знаменатель дробей.

 

 

Примеры решения целых и дробных рациональных уравнений.

Пример 1. Решим целое уравнение

x – 1      2x        5x 
—— + —— = ——. 
   2         3           6

Решение:

Находим наименьший общий знаменатель. Это 6. Делим 6 на знаменатель и полученный результат умножаем на числитель  каждой дроби. Получим уравнение, равносильное данному:

3(x – 1) + 4x          5х 
—————— = —— 
            6                 6

Поскольку в левой и правой частях одинаковый знаменатель, его можно  опустить. Тогда у нас получится  более простое уравнение:

3(x – 1) + 4x = 5х.

Решаем его, раскрыв скобки и сведя подобные члены:

3х – 3 + 4х = 5х

3х + 4х – 5х = 3

2х = 3

х = 3:2

x = 1,5.

Пример решен. 

 

Пример 2. Решим дробное рациональное уравнение

x – 3     1        x + 5 
—— + — = ———. 
x – 5     x       x(x – 5)

Решение:

Находим общий знаменатель. Это x(x – 5). Итак: 

x² – 3х         x – 5            x + 5 
———   +  ———    =  ——— 
 x(x – 5)      x(x – 5)         x(x – 5)

Теперь снова освобождаемся  от знаменателя, поскольку он одинаковый для всех выражений. Сводим подобные члены, приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение:

x² – 3x + x – 5 = x + 5

x² – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x² – 3x – 10 = 0.

Решив квадратное уравнение, найдем его  корни: –2 и 5.

Проверим, являются ли эти числа  корнями исходного уравнения.

При  x = –2 общий знаменатель x(x – 5) не обращается в нуль. Значит, –2 является корнем исходного уравнения.

При x = 5 общий знаменатель обращается в нуль, и два выражения из трех теряют смысл. Значит, число 5 не является корнем исходного уравнения.

Ответ: x = –2 

 

 

 

 

 

 

 

Простейшие тригонометрические уравнения

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:

 
Особо отметим некоторые частные  случаи простейших тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул: 
, 
, 
; 
, 
, 
. 
Каждая из функций и определена на отрезке [-1; 1] и

Функция является нечетной, то есть . Функция не является ни четной, ни нечетной: . 
Функции и определены на всей числовой прямой и

Функция является нечетной, то есть . Функция не является ни четной, ни нечетной: .  
При решении тригонометрического уравнения, не являющегося простейшим, его сводят тем или иным способом к одному или нескольким простейшим.  
Пример. Решить уравнение

(1)

Решение. 
Исходное уравнение равносильно совокупности

Решением первого уравнения  этой совокупности является семейство  , а второго – семейство . Объединение этих двух множеств и есть решение уравнения(1). Эти решения можно для краткости записать в виде . 
Ответ: 

 

Решение тригонометрических уравнений  разложением на множители.

Метод разложения на множители заключается в следующем: если

То всякое решение уравнения

(1)

Является решением совокупности уравнений 

(2)

Обратное утверждение, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (2) является решением уравнения (1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (2) могут не входить в область определения функции . 
Поэтому, если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители, функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние корни. Можно поступать другим способом: находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в найденную область допустимых значений. 
 
Пример. Решить уравнение

(3)

Решение. 
Используя основное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде

 ^↔ 

↔

(4)

 
Грубой ошибкой, которую часто  допускают при решении, является сокращение левой и правой части  уравнения (4) на , так как при этом теряются корни. При правильном подходе к решению данного уравнения следует перенести все слагаемые в правую часть и вынести общий множитель за скобки, получая равносильное уравнение

 ^↔ 
↔ 

 
Ответ:   

 

Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие  тригонометрические тождества:

 
 

Пример. Решить уравнение

(1)

Решение. 
Используя основное тригонометрическое тождество, осуществим замену , тогда уравнение (1) примет вид

Введем подстановку  , тогда получим квадратное уравнение

Решая его, находим корни  . Затем осуществляя обратную подстановку или , получаем решение исходного уравнения. 
Ответ:   

 

 

 

Решение уравнений с помощью  введения вспомогательного аргумента.

Рассмотрим уравнение 

(1)

Разделим левую и правую часть  уравнения (1) на :

Так как 

то существует угол φ такой, что

при этом

Тогда уравнение (1) примет вид 

Отметим, что к выбору угла φ в задачах с параметрами нужно относиться внимательно: выбор и выбор будут не всегда равносильны.  
Пример. Решить уравнение

(2)

Решение. 
Разделим левую и правую часть уравнения на . Тогда получим

Ответ можно записать в другом виде. Для этого положив  получим  
Ответ: 

 

Решение уравнений с применением  формул понижения степени.

При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы понижения степени

 

Пример. Решить уравнение

Решение. 
Применив формулу понижения степени, получим

 
 
 

Последнее уравнение равносильно  совокупности трех уравнений

которые имеют соответственно следующие множества решений

Решение из множества  при содержаться в множестве ( ), а при в множестве  
Ответ: