Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Логическая мера вероятности умозаключений

Министерство образования Российской Федерации

Московский государственный университет экономики,

статистики и информатики (МЭСИ)

Кафедра менеджмента

Реферат по дисциплине «Логика»

на тему: «Логическая мера вероятности умозаключений»

Руководитель: Труфанова И.В.

Выполнил: студент (ка)

группы ЗМО- 111п

Удалова Н.Г.

Москва – 2011

Содержание.

Введение

I Глава.

1. Логическое заключение.

1.1. Понятие логической формы.

1.2. Логическое следование.

II Глава.

2. Умозаключение. Понятие и виды.

2.1. Умозаключение.

2.2. Дедуктивные умозаключения.

2.3. Понятие правила вывода.

2.4. Выводы из категорических суждений по средствам

их преобразования.

2.5. Индуктивное умозаключение

2.6. Индуктивные методы установления причинных связей

III Глава.

3. Логическая мера вероятности умозаключений.

3.1. Вероятностная логика.

3.2. Частотный подход к вероятности и ее законам.

3.3. Вероятностная логика Рейхенбаха.

3.4. Теория вероятности Кейнса.

Заключение

Список используемой литературы

Введение.

Логика - одна из самых старых наук. Ее богатая событиями история началась еще в Древней Греции и насчитывает две с половиной тысячи лет. В конце прошлого - начале нынешнего века в логике произошла научная революция, в результате которой в корне изменились стиль рассуждений, методы, и наука как бы обрела второе дыхание. Теперь логика - одна из наиболее динамичных наук, образец строгости и точности даже для математических теорий.

Логика – одна из древнейших наук. Сформировалась в IV в. До н.э. в трудах ревнегреческого мыслителя Аристотеля, чьи логические трактаты были объединены под общим названием «Органон» ("орудие” познания). В «Органоне» был заложен каркас логики как науки, сформулированы основные проблемы, в ней решаемые: - проблема построения теории правильных (дедуктивных) рассуждений, позволяющих из истинных посылок гарантированно получать истинные следствия. Создана первая дедуктивная наука – силлогистика; - логико-семиотические проблемы: выделение категорий языковых выражений, установление смыслов и условий истинности высказываний разных видов; - выработка правил реализации познавательных процедур (определение, классификация, объяснение, аналогия.

Эпоха античности характеризуется интенсивным развитием наук – математики, физики, астрономии, медицины, психологии. Возникла необходимость ответить на вопросы, в каких формах действительность воспроизводится в мышлении, каковы условия получения истинного знания, каковы условия получения истинного знания. В точных науках особую значимость приобретали требования строгости определений убедительности доказательств.

Стихийно сложившиеся навыки логически совершенного мышления и научная теория такого мышления совсем разные вещи. Логическая теория своеобразна. Она высказывает об обычном - о человеческом мышлении - то, что кажется на первый взгляд необычным и без необходимости усложненным. Отсюда сложность первого знакомства с логикой: на привычное и устоявшееся надо взглянуть новыми глазами и увидеть глубину за тем, что представлялось само собой разумеющимся.

В логике, как науке об операциях суждения, встречается такое понятие, как вероятное суждение. Первоначальные понятия и методы теории вероятностей возникли из рассмотрения ситуаций, которые складываются в азартных играх. Такие игры и их правила организованы таким образом, чтобы различные исходы оказывались равновозможными. Так, например, при бросании игральной кости выпадение каждой грани является одинаково возможным. Исходя из условий равновозможности, легко подсчитать вероятность событий, встречающихся в азартных играх. Для этого нет непосредственной необходимости обращаться к непосредственному опыту. Если, например, игральная кость изготовлена тщательно, то вероятность выпадения любого числа очков от 1 до 6 равна 1/6. Такой подход к определению вероятности подробно излагается Якобом Бернулли в его работе «Искусство предложений».

1.Логическое заключение.

1.1. Понятие логической формы.

Логическая форма – это та сторона рассуждения (доказательства, вывода, аргументации и т.п.), которая не зависит от содержания данного рассуждения. Логическая форма в языке фиксируется посредством логических констант и образуемых с их помощью отдельных фраз и их сочетаний - схем рассуждения (форм вывода, выражающих связь посылок и

заключения), в которых может воплощаться разное содержание.

Вопрос о том, является ли некоторое умозаключение правильным или

неправильным, нельзя смешивать с вопросом, какими – истинными или ложными являются его посылки и заключение. Это нужно четко различать, поскольку тот или иной ответ на второй из них не всегда предопределяет ответ на первый.

Два умозаключения, построенных по одинаковому принципу:

(1) А.П. Бородин занимался химией или сочинял музыку.

А.П. Бородин сочинял музыку или писал детективные романы.

Неверно, что А.П. Бородин писал детективные романы.

А.П. Бородин занимался музыкой.

(2) М.Ю. Лермонтов жил в 18 веке, или он жил в 19 веке.

М.Ю. Лермонтов жил в 19 веке, или он жил в 20 веке.

Неверно, что М.Ю. Лермонтов жил в 20 веке.

М.Ю. Лермонтов жил в 18 веке.

Если каждая из посылок истинна, а заключение ложно, то умозаключение заведомо неправильно. В (2) все посылки истинны, а заключение ложно, следовательно, умозаключение заведомо неправильно. Заключение (1) истинно. Этот пример показывает необходимость ввода такого понятия как логическая форма. Заменим простые высказывания, входящие в состав посылок заключения умозаключения (1) малыми буквами из середины латинского алфавита, например:

p:=А.П. Бородин занимался химией

q:=А.П. Бородин сочинял музыкуr:=А.П. Бородин писал детективные романы.

В результате замены получим следующую языковую конструкцию:

(3) p или q

q или r

неверно, что rp

В математической логике два высказывания p и q называются несовместимыми, если из истинности одного из них необходимо следует ложность другого (т.е. p и q никогда не могут оказаться одновременно истинными).

Совместимые выражают одну и ту же мысль полностью или лишь в некоторой части. Отношения совместимости: эквивалентность, логическое подчинение, частичное совпадение (субконтрарность). Если два высказывания эквивалентны, то невозможно, чтобы одно из них было истинным, а другое ложным.

Совместимые суждения, находящиеся в отношении логического подчинения, имеют общий предикат; понятия, выражающие субъекты двух таких суждений, также находятся в отношении логического подчинения.

В отношении частичного совпадения (субконтрарности) находятся два таких совместимых суждения, которые имеют одинаковые субъекты и одинаковые предикаты, но различаются по качеству.

Отношения несовместимости: противоположность, противоречие. Из истинности одного из противоположных суждений вытекает ложность другого, но ложность одного из них оставляет другое суждение неопределенным.

Закономерности, выражающие отношения между суждениями по истинности, имеют большое познавательное значение, так как они помогают избежать ошибок при непосредственных умозаключениях, производимых из одной посылки (одного суждения).

Аналогичную операцию проделываем с умозаключением (2). Приходим к выводу, что оба умозаключения имеют одинаковую структуру, иначе, одинаковую логическую форму. В данном случае логическая форма высказываний, входящих в умозаключение, выражает ту часть их содержаний, которая получается в результате абстрагирования (отвлечения) от содержания простых высказываний в их составе. Однако не происходит абстрагирования от того, каким образом и с помощью каких союзов простые высказывания сочленяются в составе сложных. Кроме того, при данном способе выявления логической формы различные простые высказывания в языковом контексте заменяются различными параметрами, а одинаковые простые высказывания (везде, где они встречаются в данном контексте) – одинаковыми параметрами.

Вернемся к примерам (1) и (2). Так как, умозаключение (1) истинно, а (2) ложно, то очевидно, что применение умозаключения формы (3) не дает гарантии выведения из истинных посылок обязательно истинного заключения.

Итак, для того чтобы показать, что некоторое умозаключение неправильно, достаточно найти, по крайней мере, одно умозаключение той же логической формы, все посылки которого истинны, а заключение ложно. Тем самым мы вывели критерий неправильности умозаключения:

Умозаключение является неправильным, если и только если его

логическая форма не гарантирует, что при истинных посылках мы обязательно получим истинное заключение, т.е. существует умозаключение данной логической формы с истинными посылками и ложными умозаключениями.

Умозаключение является правильным, если и только если его логическая форма гарантирует, что при истинности посылок мы обязательно получим истинное заключение, т.е. существует умозаключение данной формы с истинными посылками и ложными заключениями.

1.2. Логическое следование

При выполнении этого условия говорят, что между посылками и заключением имеет место отношение логического следования, что заключение логически следует из посылок.

Вообще, ложное заключение может быть получено в результате умозаключения в следующих случаях:

если все его посылки истинны, но само умозаключение неправильно;
если умозаключение правильно, но в нем имеется некоторая ложная посылка;
если имеется ложная посылка, и само умозаключение неправильно.

2. Умозаключение. Понятие и виды.

2.1.Умозаключение.

Умозаключение, как и понятия и суждение, являются формой абстрактного мышления. С помощью многообразных видов умозаключений опосредованно (т.е. не обращаясь к органам чувств) мы можем получать новые знания. Умозаключать можно при наличии одного или нескольких суждений (называемых посылками), поставленных во взаимную связь (Все углероды горючи. Алмаз – углерод./ Алмаз горюч.). Структура всякого умозаключения включает посылки, заключение и логическую связь между посылками и заключением. Логический переход от посылок к заключению называется выводом.

Умозаключение – форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений на основании определенных правил вывода получается новое суждение, с необходимостью или определенной степенью вероятности следующее из них.

Умозаключение делится на такие виды: дедуктивные, индуктивные, по аналогии. Умозаключения могут быть логически необходимыми, т.е. давать истинное заключение, и вероятностными (правдоподобными), т.е. давать не истинное заключение, а лишь с определенной степенью вероятности следующее из данных посылок (при этом в качестве посылок могут быть и ложные суждения).

2.2. Дедуктивные умозаключения.

В определении дедукции в логике выявляются два подхода:

В традиционной (не математической) логике дедукцией называют умозаключение от знания большей степени общности к новому знанию меньшей степени общности.
В современной математической логике дедукцией называется умозаключение, дающее достоверное (истинное) суждение. Четкая фиксация существенного различия классического и современного понимания дедукции особенно важна для решения методологических вопросов. Правильно построенному дедуктивному умозаключению присущ необходимый характер логического следования заключения из данных посылок. Обобщая сказанное, можно дать такое определение.

Дедуктивные умозаключения – те умозаключения, у которых между посылками и заключением имеется отношение логического следования.

2.3.Понятие правила вывода.

Умозаключение дает истинное заключение, если исходные посылки истинны и соблюдены правилами вывода. Правила вывода, или правила преобразования суждений, позволяют переходить от посылок (суждений) определенного вида к заключениям также определенного вида.

Другая характерная черта логики, органически связанная с предыдущей, состоит в том, что всякий логический вывод из посылок допускает некоторую формализацию, т.е. может быть осуществлен по каким-нибудь общим правилам, относящимся к способам выражения знаний и способам переработки этих выражений – способам образования и преобразования выражений. В зависимости от средств, которыми мы располагаем, таких способов формализации может быть много, начиная с того, что одно и то же знание мы можем выразить на разных языках.

Формализация способов вывода состоит в том, что каждый шаг вывода совершается только в соответствии с каким-нибудь из заранее перечисленных правил вывода, относящихся только к способам оперирования с некоторыми материальными объектами.

Различают правила прямого вывода и правила непрямого (косвенного) вывода. Правила прямого вывода позволяют из имеющихся истинных посылок получить истинное заключение. Правила непрямого (косвенного) вывода позволяют заключать о правомерности некоторых выводов из правомерности других выводов.

Типы дедуктивных умозаключений (выводов) такие: выводы, зависящие от субъектно-предикатной структуры суждений; выводы, основанные на логических связях между суждениями (выводы логики высказываний).

2.4.Выводы из категорических суждений

посредством их преобразования.

Непосредственными умозаключениями называются дедуктивные умозаключения, делаемые из одной посылки, являющиеся категорическим суждением. К ним в традиционной логике относятся следующие: превращение, обращение, противопоставление предикату и умозаключения по «логическому квадрату».

Превращение – вид непосредственного умозаключения, при котором изменяется качество посылки без изменения ее количества, при этом предикат заключения является отрицанием предиката посылки.

Обращением называется такое непосредственное умозаключение, в котором в заключении (в новом суждении) субъектом является предикат, а предикатом – субъект исходного суждения, т.е. происходит перемена мест субъекта и предиката при сохранении качества суждения.

Противопоставление предикату – это такое непосредственное умозаключение, при котором (в заключении) предикатом является субъект, субъектом – понятие, противоречащее предикату исходного суждения, а связка меняется на противоположную.

Противопоставление предикату можно рассматривать как результат двух последовательных непосредственных умозаключений: сначала производится превращение, затем – обращение превращенного в суждение.

ПРОСТОЙ КАТЕГОРИЧЕСКИЙ СИЛЛОГИЗМ

Категорический силлогизм – это вид дедуктивного умозаключения, построенного из двух истинных категорических суждений, в которых S и P связаны средним термином. Понятия, входящие в состав силлогизма, называются терминами силлогизма. Посылка, содержащая предикат заключения (т.е. больший термин), называется большей посылкой. Посылка, содержащая субъект заключения, (т.е. меньший термин), называется меньшей посылкой.

СОКРАЩЕННЫЙ КАТЕГОРИЧЕСКИЙ СОЛЛОГИЗМ (ЭНТИМЕМА)

Энтимемой, или сокращенным категорическим силлогизмом, называется силлогизм, в котором пропущена одна из посылок или заключение. Энтимемами пользуются чаще, чем полными категорическими силлогизмами.

СЛОЖНЫЕ И СЛОЖНОСОКРАЩЕННЫЕ СИЛЛОГИЗМЫ (полисиллогизмы, сориты, эпихейрема)

В мышлении встречаются не только отдельные полные или сокращенные силлогизмы, но и сложные силлогизмы, состоящие из двух, трех или большего числа простых силлогизмов. Цепи силлогизмов называются полисиллогизмами.

2.5. Индуктивные умозаключения.

В определении индукции в логике выявляют два подхода – первый, осуществляемый в традиционной (не в математической) логике, в которой индукцией называется умозаключение от знания меньшей степени общности к новому знанию большей степени общности (т.е. от отдельных частных случаев мы переходим к общему суждению). При втором подходе, присущем современной математической логике, индукцией называется умозаключение, дающее вероятное суждение.

Полной индукцией называется такое умозаключение, в котором общее заключение о всех элементах класса рассмотрения каждого элемента этого класса. В полной индукции изучаются все предметы данного класса, а посылками служат единичные суждения. Полная индукция дает достоверное заключение, поэтому она часто применяется в математических и в других самых строгих доказательствах. Чтобы использовать полную индукцию, надо выполнять следующие условия:

Точно знать число предметов или явлений, подлежащих рассмотрению.
Убедиться, что признак принадлежит каждому элементу этого класса.
Число элементов изучаемого класса должно быть невелико.

2.6. Индуктивные методы

установления причинных связей

Причина – явление или совокупность явлений, которые непосредственно обусловливают, порождают другое явление (следствие).

Причинная связь является всеобщей, так как все явления, даже случайные, имеют свою причину. Случайные явления подчиняются вероятностным, или статистическим, законам.

Причинная связь является необходимой, ибо при наличии причины действие (следствие) обязательно наступит. Например, хорошая подготовка и музыкальные способности являются причиной того, что этот человек станет хорошим музыкантом. Но причину нельзя смешивать с условиями. Ребенку можно создать все условия: купить инструмент и ноты, пригласить учителя, купить книги по музыке и т.д., но если нет способностей, то из ребенка не выйдет хорошего музыканта. Условия способствуют или, наоборот, мешают действию причины, но условия и причина не тождественны.

3. Логическая мера вероятности умозаключений.

3.1. Вероятностная логика.

Индуктивное или классическое определение вероятностей было развито Л. Ферма, Я. Бернули (1654–1705), П. Лапласом (1749–1827) и др. Оно основано на анализе равновероятных исходов мыслимого эксперимента. Если все исходы этого мыслимого эксперимента составляют n, а, m – число тех наступления события А в этом эксперименте, вероятность которого хотят найти, то

Р (А)=

Например, исходя из симметрии игральной кости до ее подбрасывания легко подсчитать, что вероятность выпадения более четырех очков (событие А) равна 1/3. В самом деле, вероятность выпадения пяти очков равна, вероятность выпадения шести очков-то же . Следовательно,

Р (А)=

В ХХ в. сначала Р. Мизес, а затем Г. Рейхенбах обратили внимание на то, что часто интересуемые нас события опосредованы такой массой обстоятельств, что учесть их и априорно предсказать, с какой вероятностью из них будут вытекать эти события, не представляется возможным. Поэтому на практике приходится ограничиваться приближенной оценкой вероятности, получаемой из обобщения ряда наблюдений или физических экспериментов. Вероятность события А, т.е. Р (А), по Мизесу и Рейхенбаху представляет собой отношения числа m появления события А в n наблюдениях или экспериментов, т.е.

Р (А)=

Формулы вычисления вероятности события А при первом и при втором подходах совпадают. Но смысл их совершенно различен. При первом подходе вероятность вычисляется аpriori (до опыта), при втором apasteriori (после опыта), т.е. статистически. При первом подходе вероятностная логика может рассматриваться как расширение логики модальной, при втором – логики индуктивной.

В аксиоматической теории вероятностей вопрос о том, как определяются вероятности основных событий, не играет роли. В основу этой теории, развитой С.Н. Бернштейном, А.Н. Колмогоровым, А.Я. Хичиным лежит некоторая система аксиом, указывающая основные правила составления вероятностей сложных событий. Произведением событий А и В называется событие «А и В», суммой – событие «А или В» и т.д. вероятностью события называется число Р обладающее следующими свойствами: 0≤р(A)≤1; р (1)=1; р(0)=0; если АМВ, то Р(А) ≤ Р (В); если АЗВ=0, то р (А или В)= Р(А) + Р (В) и т.д.

Аксиоматическое построение теории вероятности превращает ее в раздел чистой математики.

3.2.Частотный подход к вероятностям и ее законам.

С самой общей, философской точки зрения вероятность связана и опирается на категорию возможности. Поэтому ее нередко определяют как количественную меру возможности появления случайного события. Речь в данном случае идет о случайных событиях потому, что необходимые события неизбежно происходят в силу существующей закономерности, но чисто формально можно было не делать такой спецификации, поскольку необходимость можно рассматривать как практическую достоверность. Очевидно, что подобная общая мера может быть установлена прежде всего для повторяющихся, массовых, а не индивидуальных событий, независимо от того выражается ли она в метрических терминах (т.е. выражена с помощью числа) или же сравнительных терминах (т.е. выражена с помощью отношений: “больше”, “меньше” или “равно”). По сути дела, такой взгляд на вероятность высказывал еще Аристотель, хотя сама теория вероятности возникла из анализа азартных игр и опиралась на иное истолкование вероятности как отношения благоприятствующих шансов к числу всех равновозможных. Оказалось, однако, что такой подход был весьма ограниченным, поскольку опирался на существование равновозможных альтернатив или шансов. Но в реальном мире лишь небольшая часть шансов являются равновозможными, а в азартных играх правила построены так, чтобы с самого начала постулировать равенство шансов для игроков. Поэтому впоследствии классическая интерпретация вероятности уступила место более общей частотной интерпретации.

Обычно такую интерпретацию характеризуют как объективную, так как ее определение основывается на реальных наблюдениях частоты появления тех или иных массовых случайных событий и потому не зависит от индивидуальной психологической или даже рациональной веры наблюдателя. Возникает законный вопрос: а что лежит в основе появления самих частот? Почему мы считаем, что результаты наблюдения не зависят от наблюдателя и средств его наблюдения и измерения? В последние годы на эти вопросы попытались ответить сторонники так называемой пропенситивной концепции, которые считают, что реализация определенных частот зависит от пропенситивности, или предрасположенности соответствующей системы массового случайного характера. Именно эта предрасположенность находит свое проявление или выражение в частоте появления событий.

Какая же внутренняя связь существует между частотой появления события и его вероятностью?

С интуитивной точки зрения ясно, что чем чаще появляется событие, тем выше его вероятность. На этом очевидном представлении основывается количественное измерение вероятности массовых случайных событий. Для этого, как известно, необходимо провести достаточно большое – определенное условиями задачи – количество независимых испытаний n. Если при этом окажется, что интересующее нас событие появляется m раз, то относительная частота его появления выразится правильной дробью:

n / m

Очевидно, что относительная частота представляет собой эмпирическое понятие, ибо она определяется с помощью непосредственных наблюдений и измерений. В каждом серьезном исследовании для этого необходимо располагать соответствующей статистикой, которая упорядочивает и анализирует результаты наблюдений и испытаний. Поэтому частотная интерпретация называется также статистической и, пожалуй, это название встречается чаще, чем частотное.

В отличие от понятия эмпирической относительной частоты и его эквивалента статистической частоты само понятие вероятности носит теоретический характер и поэтому не может быть непосредственно сведено, а тем более отождествлено с любым релевантным эмпирическим понятием. Некоторые исследователи выход из возникшей трудности находят в идеализации процесса нахождения относительной частоты массового случайного или повторяющегося события. В этих целях предполагается, что процесс может продолжаться неограниченно долго и относительная частота определяется именно для бесконечного количества независимых испытаний.

Если обозначить вероятность массового события через P(A), то она может быть выражена формулой:

P(A) = lim n (при n -> ∞)

где m - обозначает число появлений интересующего нас события A, в предположении, что число n независимых испытаний стремится к бесконечности. Такой предельный подход к определению частотной вероятности был использован сначала Р.Мизесом (Mises R. Probability, Statistics and Thruth. N.Y., 1957), а затем более детально Г.Рейхенбахом (Reichenbach H. The theory of probability. Los-Angeles, 1949). Хотя Мизеса и Рейхенбаха критиковали их единомышленники неопозитивисты за отход от принципов эмпиризма, тем не менее подобные переходы от эмпирических понятий к теоретическим весьма часто применяются в теоретическом естествознании, например, когда определяют понятие мгновенной скорости в данной точке через среднюю скорость с использованием предельного перехода.

Логическая мера вероятности умозаключений 📙 Реферат → 🆔 138932