Матиметические методы в эокономике

Введение

   Методы экономико-математического  моделирования, возможности применения  которых существенно расширились  благодаря современному программному  обеспечению ПЭВМ, представляют  собой один из наиболее динамично  развивающихся разделов прикладной  экономической науки.

    Решение конкретных экономических  и управленческих задач предусматривает  построение математических моделей  исследуемых операций, описываемых  с помощью того или иного  математического аппарата (функций,  уравнений, систем уравнений и  неравенств и т.д.). Математическая модель по сравнению с реальным физическим экспериментом обладает целым рядом преимуществ. В частности, она позволяет сэкономить материальные ресурсы, дает возможность апробировать систему в изменяющихся условиях и выбрать оптимальный вариант из имеющегося набора альтернатив, а также оценить работоспособность систем с длительными технологическими циклами за более короткий промежуток времени.

   Современный экономист должен  хорошо разбираться в экономико-математических  методах. Уметь их практически применять для моделирования реальных экономических ситуаций. Это позволит лучше усвоить теоретические вопросы современной экономики, повысить уровень квалификации и общей профессиональной культуры специалиста.

   Целью данной расчетной работы является закрепление теоретических основ симплексного метода решения задач линейного программирования, формирование умения применять полученные знания на практике при оптимизации машинно-тракторного парка сельскохозяйственного предприятия. 
 
 
 
 
 

     1. Постановка экономико-математической задачи 

      Исследование  различных процессов обычно начинается с моделирования, т.е. отражения реального процесса через математические соотношения. При этом составляются уравнения или неравенства, которые связывают различные показатели (переменные) исследуемого процесса, образуя систему ограничений. В этих соотношениях выделяются такие переменные, меняя которые можно получить оптимальное значение основного показателя данной системы (прибыль, доход, затраты и т. п.).

      Построение математической модели задачи включает следующие этапы:

• выбор переменных задачи;
• составление системы ограничений;
• выбор целевой функции.

      Переменными задачи называются величины х₁, х₂, ..., x_n, которые полностью характеризуют изучаемый процесс.

      Система ограничений включает в себя систему уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которые следуют из ограничений ресурсов или других экономических или физических условий, например, положительности переменных и т. п.

      Целевой функцией называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи и экстремум которой требуется найти.

      Оптимальный состав и использование машинно-тракторного  парка на сельскохозяйственном предприятии  необходимо моделировать в следующей  последовательности.

      1) Определить, на какой период решается задача (далекую перспективу, 3-5 лет, текущий год или в течение года) и при каких условиях хозяйства (полностью отсутствует техника, имеется некоторое число тракторов и машин, планируется или не планируется покупка новой техники). От этого зависит выбор варианта экономико-математической задачи.

      Возможные варианты оптимизации: I - комплектование машинно-тракторного парка; II - доукомплектование; III - использование.

      2) Определить метод решения задачи, который зависит от математической модели, описывающей ее. Математические модели по оптимизации со става и использования машинно-тракторного парка могут быть решены симплексным и распределительным методами линейного программирования, а также методом нелинейного программирования.

      При моделировании задачи для решения  симплексным методом линейного программирования необходимо:

      1)      выбрать критерии оптимальности. Могут быть взяты такие экономические показатели, как минимум приведенных, текущих или трудовых затрат, количество обслуживающего персонала, энергомашин, капитальные вложения в покупку техники, расход горючего. С помощью этих показателей описывается целевая функция модели;

      2) подготовить источники входной информации. Используются: информация производственно-финансовых планов, технологических карт возделывания сельскохозяйственных культур, каталогов для заказа сельскохозяйственной техники, сборников технически обоснованных норм выработки на механизированные сельскохозяйственные работы, а также материалы зональных и областных справочников, прейскуранты цен на технику, нормативно-справочный материал для экономической оценки техники;

      3) построить календарный график выполнения работ. Математическая модель описывает методику планирования машинно-тракторного парка, применяемую на практике экономистами и инженерами. Она основана на по строении и выравнивании графика проведения работ в соответствии с принятым в хозяйстве технологическим процессом возделывания сельскохозяйственной культуры, объемом работ и продолжительностью его выполнения (информация технологических карт и планов предприятия). По вертикали записывают виды работ, а по горизонтали - агротехнические сроки ее выполнения. Для каждого вида работ указывают их объемы в физических единицах;

      4) выделить расчетные периоды. На графике выполнения работ проводят вертикальные линии, соответствующие началу и концу каждой работы и определяющие границы расчетных периодов. При этом необходимо соблюдать следующие правила:

• каждый расчетный период должен содержать хотя бы одну работу, которая отличается от других;
• каждая работа должна быть включена в один из расчетных периодов;
• в течение каждого расчетного периода не должна начинаться и заканчиваться ни одна из выполняемых работ (не считая первого и последнего дней периода).

      Для сокращения числа расчетных периодов график выравнивают перенесением сроков проведения работ (но так, чтобы не повлиять на их качество, не снизить урожайность сельскохозяйственных культур) или объединением периодов, когда продолжительность их незначительна и в течение этого времени выполняется небольшое число работ;

      5)    рассчитать технико-экономические коэффициенты для модели. Подготовка входной информации для модели — наиболее трудоемкий процесс при моделировании оптимального состава и использования машинно-тракторного парка;

      6)     составить экономико-математическую модель, решить на ЭВМ и проанализировать решение. Характерная особенность моделей — их большая размерность (количество переменных и ограничений). Решение задачи на ЭВМ осуществляется по программам, реализующим симплексный метод и метод целочисленного программирования. 

1.1 Экономико-математическая  модель оптимального 

использования машинно-тракторного  парка.

     Определить  оптимальный план использования  машинно-тракторного парка на сеноуборочных работах.

     В хозяйстве на сено возделывается 1 300 га многолетних трав, урожайность  – 39 ц/га. Коэффициент использования  календарного времени: июль-1-я декада-0,89» 2-я – 0,94; 3-я – 0,65.

     Годовые затрат на хранение техники: по энергомашинам – 2%: их балансовой стоимости, сельскохозяйственным машинам – 15%.

     Комплексная цена 1 л топлива – 14,82 р. (с НДС  – 20%).

     В каждом агрегате используются по одной  машине и одному механизатору.

     В хозяйстве имеется следующее  количество машин: МТЗ-80 – 11;Т-25А – 13; ЗИЛ-ММЗ – 16; КДП-4,0 – 15; КС-2,1 – 8; ГВК-6 – 9; НС-1,6 – 11; ПЭ-0,8 – 10; ТШН-2,5 – 17 шт.

     Предусмотрено списание старых машин : Т-25А – 1 и  ТШН-2,5 – 2 шт., их остаточная стоимость: Т-25А – 3 000 р. и ТШН-2,5 – по 1 600р. за машину.

     Таблица 1

     Календарные сроки сеноуборочных работ

     Таблица 2

     Нормативная загрузка и наличие техники

      Таблица 3

Характеристика  агрегатов для выполнения механизированных работ.

   Построим календарный график  выполнения работ и проведем  на нем вертикальные линии,  соответствующие началу и концу  каждой работы и определяющие границы расчетных периодов (6, 8, 10, 25, 27, 29 июля – всего 4 периода). Их число определяет количество переменных и ограничений в задаче. 

Номер

работы

         6 

         5 
 

         4 

         3 
 

         2 
 

         1 
 
 
 

                      6      8     10                                     25    27    29                             Календарные

      сроки 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Таблица 4

Объемы  и сроки проведения работ по расчетным  периодам

     Таблица

     Входная информация для составления экономико-математической модели

продолжение табл. 5 

Система переменных модели

1. По количеству агрегатов, требующихся для выполнения работы в определенный расчетный период (х₁ – х₃₁). В таблице 5 указаны все данные переменные. Количество таких переменных определяется количеством расчетных периодов, работ в них и вариантами агрегатов для их выполнения.
2. По количеству списываемых тракторов и машин (х₃₂ –х₃₃): х₃₂ – трактора Т-25А, х₃₃ – 2 машины ТШН-2,5.

Система уравнений и неравенств, описывающих условия модели

1. По обязательному выполнению всех работ по расчетным периодам (всего 20 ограничений: три работы в первом периоде, шесть работ во втором периоде, шесть в третьем периоде, пять в четвертом периоде.

1.Скашивание травы, первый период, га

60,52х₁+35,6х₂ = 260

   Уравнение показывает, что с помощью  агрегатов, состоящих из МТЗ-80 и КДП-4,0 и Т-25А и КС-2,1, необходимо  скосить траву площадью 260 га (объем работы в первом периоде, табл. 4). Коэффициенты 60,52 и 35,6 – производительность агрегатов за первый период.

2.Сгребание  трав в валки, первый период, га

129,58х₃+102,17х₄ = 260

3.Ворошение  валков, первый период, га

131,72х₅+116,77х₆ = 260

4.Скашивание  травы, второй период, га

175,78х₇+103,4х₈ = 715

5. Сгребание трав в валки, второй период, га

376,38х₉+296,76х₈ = 715

6. Ворошение валков, второй период, га

382,58х₁₁+339,15х₁₂ = 715

7. Подбор  валков с прессованием, второй  период, га

620,4х₁₃ = 715

8. Погрузка  прессованного сена, второй период, ц

723,8х₁₄ = 27 885

9. Транспортировка тюков, 5 км, второй период, ц

454,96х₁₅ = 27 885

10. Скашивание  травы, третий период, га

55,25х₁₆+32,5х₁₇ = 325

11. Сгребание трав в валки, третий период, га

118,3х₁₈+93,28х₁₉ = 325

12. Ворошение валков, третий период, га

120,25х₂₀+106,6х₂₁ = 325

13. Подбор  валков с прессованием, третий  период, га

393,25х₂₂ = 325

14. Погрузка  прессованного сена, третий период, ц

227,5х₂₄ = 12 675

15. Транспортировка  тюков, 5 км, третий период, ц

143х₂₅ = 12 675

16. Сгребание трав в валки, четвертый период, га

94,64х₂₅+74,62х₂₆ = 260

17. Ворошение валков, четвертый период, га

96,2х₂₇+85,28х₂₈ = 260

18. Подбор  валков с прессованием, четвертый  период, га

156х₂₉ = 260

19. Погрузка  прессованного сена, четвертый период, ц

182х₃₀ = 10 140

20. Транспортировка  тюков, 5 км, четвертый период, ц

114,4х₃₁ = 10 140 
 

2. По определению  необходимого числа сельскохозяйственной техники для выполнения всех работ  по периодам, шт. (всего 30 ограничений: по первому периоду – 5, по второму – 9, по третьему – 9, по четвертому – 7 ограничений в соответствии с числом марок используемой в них техники).

21.Потребность в МТЗ-80 в первом периоде, шт.

х₁+х₃+х₅ < 11

22.Потребность в КДП-4,0 в первом периоде, шт.

х₁ < 15

23.Потребность в Т-25А в первом периоде, шт.

х₂+х₄+х₆+х₃₂ < 13

24.Потребность в КС-2,1 в первом периоде, шт.

х₂ < 8

25.Потребность в ГВК-6,0 в первом периоде, шт.

х₃+х₄+х₅+х₆ < 9

26.Потребность в МТЗ-80 во втором периоде, шт.

х₇+х₉+х₁₁+х₁₃+х₁₄ < 11

27.Потребность в КДП-4,0 во втором периоде, шт.