Метод цепных подстановок

               Метод цепных подстановок

Метод цепных подстановок  является наиболее универсальным из методов элиминирования. Он используется для расчета влияния факторов во всех типах детерминированных факторных моделей: аддитивные, мультипликативных, кратных и смешанных (комбинированных). Этот способ позволяет определить влияние отдельных факторов на изменение величины результативного показателя путем постепенной замены базисной величины каждого факторного показателя в объеме результативного показателя на фактическую в отчетном периоде. С этой целью определяют ряд условных величин результативного показателя, которые учитывают изменение одного, затем двух, трех и т д. факторов, допуская, что остальные не меняются. Сравнение величины результативного показателя до и после изменения уровня того или другого фактора позволяет элиминироваться от влияния всех факторов, кроме одного, и определить воздействие последнего на прирост результативного показателя.

Степень влияния того или  иного показателя выявляется последовательным вычитанием: из второго расчета вычитается первый, из третьего – второй и т. д. В первом расчете все величины плановые, в последнем – фактические. В случае трехфакторной мультипликативной модели алгоритм расчета следующий:

Y₀ = а₀⋅Ь₀⋅С₀;

Y_усл.1 = а₁⋅Ь₀⋅С₀; У_а = Y_усл.1 – У₀;

Y_усл.2 = а₁⋅Ь₁⋅С₀; Y_Ь = Y_усл.2 – Y_усл.1;

Y_ф = а₁⋅Ь₁⋅С₁; Y_с = Y_ф – Y_усл.2 и т. д.

Алгебраическая сумма  влияния факторов обязательно должна быть равна общему приросту результативного  показателя:

Y_а + Y_ь + Y_с = Y_ф – Y₀.

Отсутствие такого равенства  свидетельствует о допущенных ошибках  в расчетах.

Отсюда вытекает правило, заключающееся в том, что число  расчетов на единицу больше, чем  число показателей расчетной  формулы.

При использовании метода цепных подстановок очень важно  обеспечить строгую последовательность подстановки, т. к. ее произвольное изменение может привести к неправильным результатам. В практике анализа в первую очередь выявляется влияние количественных показателей, а потом – качественных. Так, если требуется определить степень влияния численности работников и производительности труда на размер выпуска промышленной продукции, то прежде устанавливают влияние количественного показателя численности работников, а потом качественного производительности труда. Если выясняется влияние факторов количества и цен на объем реализованной промышленной продукции, то вначале исчисляется влияние количества, а потом влияние оптовых цен. Прежде чем приступить к расчетам, необходимо, во-первых, выявить четкую взаимосвязь между изучаемыми показателями, во-вторых, разграничить количественные и качественные показатели, в-третьих, правильно определить последовательность подстановки в тех случаях, когда имеется несколько количественных и качественных показателей (основных и производных, первичных и вторичных). Таким образом, применение способа цепной подстановки требует знания взаимосвязи факторов, их соподчиненности, умения правильно их классифицировать и систематизировать.

Произвольное  изменение последовательности подстановки меняет количественную весомость  того или иного  показателя. Чем значительнее отклонение фактических  показателей от плановых, тем больше и различий в оценке факторов, исчисленных при  разной последовательности подстановки.

Метод цепной подстановки  обладает существенным недостатком, суть которого сводится к возникновению  неразложимого остатка, который присоединяется к числовому значению влияния последнего фактора. Этим объясняется  разница в расчетах при изменении  последовательности подстановки. Отмеченный недостаток устраняется  при использовании  в аналитических  расчетах более сложного интегрального метода.

После построения факторной  модели необходимо определить способ оценки влияния факторов. Большинство  способов измерения влияния факторов в детерминированных моделях  основано на элиминировании. Элиминировать  – значит устранить, исключить воздействие  всех факторов на величину результативного  показателя, кроме одного, исходя из того, что все факторы изменяются независимо друг от друга, т. е. сначала изменяется один фактор, а все остальные остаются без изменения, потом изменяются два при неизменности остальных и т. д.

Способ цепных подстановок  заключается в определении ряда промежуточных значений обобщающего  показателя путем последовательной замены базисных значений факторов на отчетные.

В общем виде применение способа цепных постановок можно  описать следующим образом:

Y₀ = а₀⋅Ь₀⋅С₀; Y_усл.1 = а₁⋅Ь₀⋅С₀; У_а = Y_усл.1– У₀;

Y_усл.2 = а₁⋅Ь₁⋅С₀; Y_Ь = Y_усл.2 – Y_усл.1; Y_ф = а₁⋅Ь₁⋅С₁

где а₀,Ь₀,С₀ – базисные значения факторов, оказывающих влияние на обобщающий показатель Y; а₁,Ь₁,С₁ – фактические значения факторов; Y_усл.1, Y_усл.2 – промежуточные значения результирующего показателя, связанные с изменением факторов а, b соответственно.

Общее изменение складывается из суммы изменений результирующего  показателя за счет изменения каждого  фактора при фиксированных значениях  остальных факторов:

Y_а + Y_ь + Y_с = Y_ф – Y₀.

Способ абсолютных разниц является модификацией способа цепной подстановки. Изменение результативного показателя за счет каждого фактора способом абсолютных разниц определяется как произведение отклонения изучаемого фактора на базисное или отчетное значение другого фактора в зависимости от выбранной последовательности подстановки:

Y_а = ∆_а⋅Ь₀⋅С₀; Y_ь = а₁⋅ ∆_Ь⋅ С₀; Y_с = а₁ ⋅Ь₁⋅∆с;

Y_а + Y_ь + Y_с = Y_ф – Y₀.

Способ относительных  разниц применяется для измерения влияния факторов на прирост результативного показателя в мультипликативных и смешанных моделях вида

Y = (а – Ь) – с.

Заключается в нахождении относительного отклонения каждого  факторного показателя и определении  направления и размера влияния  факторов в % путем последовательного  вычитания (из первого – всегда 100 %).

Способ сокращенных подстановок  – показатели для расчета представляют собой промежуточные произведения с последовательным накоплением  влияющих факторов 3, 3Ь, 3 Ьс. Производятся подстановки, а затем путем последовательного вычитания находятся размеры влияния факторов.

Интегральный метод позволяет  достигнуть полного разложения результативного  показателя по факторам и носит универсальный  характер, т. е. применим к мультипликативным, кратным и смешанным моделям. Изменение результативного показателя измеряется на бесконечно малых отрезках времени, т. е. производится суммирование приращения результата, определяемого как частные произведения, умноженные на приращения факторов на бесконечно малых промежутках.

В специальной литературе имеются сформированные рабочие  формулы для применения интегрального  метода:

Симплекс-метод является основным в линейном программировании. Решение задачи начинается с рассмотрений одной из вершин многогранника условий. Если исследуемая вершина не соответствует максимуму (минимуму), то переходят к соседней, увеличивая значение функции цели при решении задачи на максимум и уменьшая при решении задачи на минимум. Таким образом, переход от одной вершины к другой улучшает значение функции цели. Так как число вершин многогранника ограничено, то за конечное число шагов гарантируется нахождение оптимального значения или установление того факта, что задача неразрешима.

Этот метод является универсальным, применимым к любой задаче линейного  программирования в канонической форме. Система ограничений здесь - система линейных уравнений, в которой количество неизвестных больше количества уравнений. Если ранг системы равен r, то мы можем выбрать r неизвестных, которые выразим через остальные неизвестные. Для определенности предположим, что выбраны первые, идущие подряд, неизвестные X₁, X₂, ..., X_r. Тогда наша система уравнений может быть записана как

К такому виду можно привести любую совместную систему, например, методом Гаусса. Правда, не всегда можно выражать через остальные первые r неизвестных (мы это сделали для определенности записи). Однако такие r неизвестных обязательно найдутся. Эти неизвестные (переменные) называются базисными, остальные свободными.

Придавая определенные значения свободным переменным и вычисляя значения базисных (выраженных через свободные), мы будем получать различные решения нашей системы ограничений. Таким образом, можно получить любое ее решение. Нас будут интересовать особые решения, получаемые в случае, когда свободные переменные равны нулю. Такие решения называются базисными, их столько же, сколько различных базисных видов у данной системы ограничений. Базисное решение называется допустимым базисным решением или опорным решением, если в нем значения переменных неотрицательны. Если в качестве базисных взяты переменные X₁, X₂, ..., X_r, то решение {b₁, b₂,..., b_r, 0, ..., 0} будет опорным при условии, что b₁, b₂,..., b_r ≥ 0.

Симплекс-метод основан  на теореме, которая называется фундаментальной  теоремой симплекс-метода. Среди оптимальных  планов задачи линейного программирования в канонической форме обязательно  есть опорное решение ее системы  ограничений. Если оптимальный план задачи единственен, то он совпадает  с некоторым опорным решением. Различных опорных решений системы  ограничений конечное число. Поэтому  решение задачи в канонической форме  можно было бы искать перебором опорных  решений и выбором среди них  того, для которого значение F самое большое. Но, во-первых, все опорные решения неизвестны и их нужно находить, a, во-вторых, в реальных задачах этих решений очень много и прямой перебор вряд ли возможен. Симплекс-метод представляет собой некоторую процедуру направленного перебора опорных решений. Исходя из некоторого, найденного заранее опорного решения по определенному алгоритму симплекс-метода мы подсчитываем новое опорное решение, на котором значение целевой функции F не меньше, чем на старом. После ряда шагов мы приходим к опорному решению, которое является оптимальным планом.

Итак, симплексный метод  вносит определенный порядок как  при нахождении первого (исходного) базисного решения, так и при  переходе к другим базисным решениям. Его идея состоит в следующем.

Имея систему ограничений, приведенную к общему виду, то есть к системе m линейных уравнений с n переменными (m < n), находят любое базисное решение этой системы, заботясь только о том, чтобы найти его как можно проще.

Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то, осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению.

Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении  линейная форма, если и не достигнет  оптимума, то приблизится к нему. С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не находят решение, которое является оптимальным.

Если первое найденное  базисное решение окажется недопустимым, то с помощью симплексного метода осуществляется переход к другим базисным решениям, которые приближают нас к области допустимых решений, пока на каком-то шаге решения либо базисное решение окажется допустимым и к нему применяют алгоритм симплексного метода, либо мы убеждаемся в противоречивости системы ограничений.

Таким образом, применение симплексного метода распадается на два этапа: нахождение допустимого базисного решения  системы ограничений или установление факта ее несовместности; нахождение оптимального решения.  
При этом каждый этап может включать несколько шагов, соответствующих тому или иному базисному решению. Но так как число базисных решений всегда ограниченно, то ограниченно и число шагов симплексного метода.

Приведенная схема симплексного метода явно выражает его алгоритмический  характер (характер четкого предписания  о выполнении последовательных операций), что позволяет успешно программировать и реализовать этот метод на ЭВМ. Задачи же с небольшим числом переменных и ограничений могут быть решены симплексным методом вручную.

Не останавливаясь подробнее  на сути алгоритма, опишем его вычислительную сторону. Вычисления по симплекс-методу организуются в виде симплекс-таблиц, которые являются сокращенной записью задачи линейного программирования в канонической форме. Перед составлением симплекс-таблицы задача должна быть преобразована, система ограничений приведена к допустимому базисному виду, c помощью которого из целевой функции должны быть исключены базисные переменные. Вопрос об этих предварительных преобразованиях мы рассмотрим ниже. Сейчас же будем считать, что они уже выполнены и задача имеет вид:

Здесь для определенности записи считается, что в качестве базисных переменных можно взять  переменные X₁, X₂, ..., X_r и что при этом b₁, b₂,..., b_r ≥ 0 (соответствующее базисное решение является опорным).

Для составления симплекс-таблицы  во всех равенствах в условии задачи члены, содержащие переменные, переносятся  в левую часть, свободные оставляются  справа, т.е. задача записывается в виде системы равенств:

Далее эта система оформляется  в виде симплекс-таблиц:

Примечание. Названия базисных переменных здесь взяты лишь для определенности записи и в реальной таблице могут оказаться другими.

Порядок работы с  симплекс таблицей

Первая симплекс-таблица  подвергается преобразованию, суть которого заключается в переходе к новому опорному решению.

Алгоритм  перехода к следующей таблице  такой:

• просматривается последняя строка (индексная) таблицы и среди коэффициентов этой строки (исключая столбец свободных членов ) выбирается наименьшее отрицательное число при отыскании max, либо наибольшее положительное при задачи на min. Если такового нет, то исходное базисное решение является оптимальным и данная таблица является последней;
• просматривается столбец таблицы, отвечающий выбранному отрицательному (положительному) коэффициенту в последней строке- ключевой столбец, и в этом столбце выбираются положительные коэффициенты. Если таковых нет, то целевая функция неограниченна на области допустимых значений переменных и задача решений не имеет;
• среди выбранных коэффициентов столбца выбирается тот, для которого абсолютная величина отношения соответствующего свободного члена (находящегося в столбце свободных членов) к этому элементу минимальна. Этот коэффициент называется разрешающим, а строка в которой он находится ключевой;
• в дальнейшем базисная переменная, отвечающая строке разрешающего элемента, должна быть переведена в разряд свободных, а свободная переменная, отвечающая столбцу разрешающего элемента, вводится в число базисных. Строится новая таблица, содержащая новые названия базисных переменных:
• разделим каждый элемент ключевой строки (исключая столбец свободных членов) на разрешающий элемент и полученные значения запишем в строку с измененной базисной переменной новой симплекс таблицы.
• строка разрешающего элемента делится на этот элемент и полученная строка записывается в новую таблицу на то же место.
• в новой таблице все элементы ключевого столбца = 0, кроме разрезающего, он всегда равен 1.
• столбец, у которого в ключевой строке имеется 0,в новой таблице будет таким же.
• строка, у которой в ключевом столбце имеется 0,в новой таблице будет такой же.
• в остальные клетки новой таблицы записывается результат преобразования элементов старой таблицы:

1. Определение. Динамический ряд — ряд однородных величин, характеризующих изменения явления во времени
2. Область применения.
• для характеристики изменений состояния здоровья населения в целом или отдельных его групп, а также деятельности учреждений здравоохранения и изменения их во времени;
• для установления тенденций и закономерностей изменений явлений, углубленного анализа динамического процесса (скоростей, временных характеристик текущего и стратегического планирования;
• для прогнозирования уровней явлений общественного здоровья и здравоохранения
3. Числа (уровни) динамического ряда. Динамические ряды могут быть представлены только однородными величинами: абсолютными, относительными или средними величинами
4. Типы динамических рядов
• Моментный ряд — характеризует изменение значений явления на определенную дату (момент).
• Интервальный ряд — характеризует изменения значений явления за определенный период (интервал времени). Применяется в случае необходимости анализа процесса в различные дробные периоды
5. Приемы для установления тенденций или закономерностей.
• Преобразование ряда — применяется для большей наглядности изменений изучаемых явлений (см. "Относительные величины", показатель наглядности). Одно число ряда принимается за 1, чаще всего за 100 или 1000, и, по отношению к данному числу ряда, рассчитываются остальные.
• Выравнивание ряда — применяется при скачкообразных изменениях (колебаниях) уровней ряда. Цель выравнивания — устранить влияние случайных факторов и выявить тенденцию изменений значений явлений (или признаков), а в дальнейшем установить закономерности этих изменений
6. Способы выравнивания динамического ряда. Способами выравнивания динамического ряда являются: укрупнение периодов, расчет групповой средней, расчет скользящей средней, метод наименьших квадратов
• Укрупнение периодов — применяется, когда явление в интервальном ряду выражено в абсолютных величинах, уровни которых суммируются по более крупным периодам. Применение возможно при кратном числе периодов.
• Вычисление групповой средней — применяется, когда уровни интервального ряда выражены в абсолютных, средних или относительных величинах, которые суммируются, а затем делятся на число слагаемых. Способ применяется при кратном числе периодов.
• Расчет скользящей средней — применяется, когда уровни явлений любого ряда выражены в абсолютных, средних или относительных величинах. Данный метод применяется при наличии некратного числа временных периодов (7, 11, 13, 17, 19) достаточно длинного динамического ряда. Путем вычисления групповой средней значений 3 периодов, а в последующем переходя на определенный уровень и два соседних с ним, осуществляется "скольжение" по периодам. Каждый уровень заменяется на среднюю величину (из данного уровня и двух соседних с ним). Данный метод применяется, когда не требуется особой точности, когда имеется достаточно длинный ряд и можно пренебречь потерей двух значений ряда; в случаях, когда изучается развитие явления под влиянием одного или двух факторов.
• Метод наименьших квадратов применяется для более точной количественной оценки динамики изучаемого явления. Этим способом получаются такие выровненные значения уровней ряда, квадраты отклонений которых от истинных (эмпирических) показателей дают наименьшую сумму.

Наиболее простой и  часто встречающейся в практике является линейная зависимость, описываемая  уравнением:

У_х = а + вХ,     либо     У_{теоретич.} = У_{среднее} + вХ,

 
где У_х — теоретические (расчетные) уровни ряда за каждый период;  
а — среднеарифметический показатель уровня ряда, рассчитывается по формуле:  
а = ΣУ_факт. / n;  
в — параметр прямой, коэффициент, показывающий различие между теоретическими уровнями ряда за смежные периоды, определяется путем расчета по формуле: в = Σ(ХУ_факт)/ ΣХ²  
где n — число уровней динамического ряда;  
X — временные точки, натуральные числа, проставляемые от середины (центра) ряда в оба конца.

При наличии нечетного ряда уровень, занимающий срединное положение, принимается за 0. Например, при 9 уровнях ряда: -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4.

При четном числе уровней ряда две величины, занимающие срединное положение, обозначаются через -1 и +1, а все остальные — через 2 интервала. Например, при 6 уровнях ряда: -5, -3, -1, +1, +3, +5.

Расчеты проводят в следующей  последовательности:

1. Представляют фактические уровни динамического ряда (У_ф) (см. табл.).
2. Суммируют фактические уровни ряда и получают сумму У_факт.
3. Находят условные (теоретические) временные точки ряда X, чтобы их сумма (ΣХ) была равна 0.
4. Возводят теоретические временные точки в квадрат и суммируют их, получая ЕX².
5. Рассчитывают произведение Х на У и суммируют, получая ΣХУ.
6. Рассчитывают параметры прямой:  
   а = ΣУ_факт / n       в = Σ(Х У_факт) / ΣX²
7. Подставляя последовательно в уравнение У_х = а + аУ значения X, находят выровненные уровни У_х.

Для углубленного изучения процессов во времени рассчитывают показатели динамического ряда.

1. Для характеристики скорости изменения процесса применяются такие показатели, как абсолютный прирост (убыль), темп прироста (убыли).
• Абсолютный прирост (убыль) характеризует скорость изменения процесса (абсолютную величину прироста (убыли) в единицу времени). Абсолютный прирост рассчитывается как разность между данным уровнем и предыдущим; обозначается знаком "+", характеризуя прирост, или знаком "—", характеризуя убыль.
• Темп прироста (убыли) характеризует величину прироста (убыли) в относительных показателях в % и определяется как процентное отношение абсолютного прироста (убыли) к предыдущему уровню ряда; обозначается знаком "+" (прирост) или знаком "—" (убыль).
2. Для характеристики изменения процесса одного периода по отношению к предыдущему периоду применяется такой показатель, как темп роста (снижения); рассчитывается как процентное отношение последующего (уровня) к предыдущему.
3. При сравнении динамических рядов с разными исходными уровнями (например, средними, интенсивными, абсолютными) используется показатель — значение 1% прироста (убыли); рассчитывается как отношение абсолютного прироста к темпу прироста за каждый период.
4. Для обобщенной количественной оценки тенденций динамического ряда используется показатель, именуемый средним темпом прироста (снижения), выраженный в %. При его расчете для большинства рядов можно использовать следующую формулу:

где К = 1 при нечетном числе уровней ряда; К = 2 при четном числе уровней ряда;  
а и в — показатели линейной зависимости, используемые при выравнивании ряда методом наименьших квадратов.

Условие задачи: В Н-ском районе изучена заболеваемость населения ветряной оспой за 10 лет (см. табл.).

Таблица. Заболеваемость населения  Н-ского района ветряной оспой за 10 лет (на 10 000 населения)

Задание: на основании данного динамического ряда требуется:

1. Обосновать необходимость выравнивания ряда.
2. Выровнять ряд по способу наименьших квадратов.
3. Рассчитать показатели динамического ряда (абсолютный прирост, темп прироста, средний темп прироста, значение 1% прироста).
4. Изобразить ряд графически.
5. Сделать выводы о динамике явления по выровненным уровням.
6. Охарактеризовать скорость изменения заболеваемости.

Решение

Заболеваемость  населения Н-ского района  
ветряной оспой за 10 лет (на 10 000 населения)

а = ΣУ_ф. / n = 57,3 / 10 = 5,73  
УХ ₉₇ = 5,73 + 0,179 х (-9) = 4,119  
в = Σ(Х У_факт) / σ X² = 59,2 / 330 = 0,179  
УХ ₉₇ = 5,73 + 0,179 х (-9) = 4,119  
УХ ₉₈ = 5,73 + 0,179 х (-7) = 4,477  
УХ ₉₉ = 5,73 + 0,179 х (-5) = 4,835

Абсолютный прирост выровненного ряда — 4,477-4,119 = 0,358  
Темп прироста для 1997 г. = (0,358 / 4,119) х 100 = 8,69%  
Темп прироста для 1998 г. = (0,358 / 4,477) х 100 = 7,99%  
Темп прироста для 1999 г. = (0,358 / 4,835) х 100 = 7,4%  
Средний темп прироста = (0,179 х 2 / 5,73) х 100 = 6,24%  
Абсолютный прирост = 4,477 — 4,119 = + 0,358  
Значение 1% прироста = + 0,358 / 6,24 = 0,057%.

Выводы. Заболеваемость населения Н-ского района ветряной оспой за 10 лет неравномерна. Скорость изменений показателей заболеваемости различна, наибольший темп прироста отмечается в 1998 г. При выравнивании показателей динамического ряда отмечается тенденция к увеличению уровней заболеваемости, в среднем на 6,24% ежегодно.

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения  систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного  исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности. 

Алгоритм решения СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений) методом Гаусса подразделяется на два этапа.

• На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
• На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.
• Лине́йная а́лгебра — важная в приложениях часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и её приложениях повсеместно. Линейная алгебра широко используется в абстрактной алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных науках.

• История

• Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Построение теории систем таких уравнений потребовало  таких инструментов, как теория матриц и определителей, и естественно привело к появлению теории векторных пространств.
• Линейные уравнения, как уравнения прямых и плоскостей, стали естественным предметом изучения после изобретения Декартом и Ферма метода координат (около 1636). Гамильтон в своей работе 1833 представлял комплексные числа в виде, как мы бы сейчас сказали, двумерного вещественного векторного пространства, ему принадлежит открытие кватернионов, а также авторство термина «вектор». Теория матриц была разработана в трудах Кэли (1850-е). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867). Грассман в работах 1844 и 1862 года изучает то, что мы теперь назвали бы алгебрами, и его формальное изложение по существу является первой аксиоматической теорией алгебраических систем. В явном виде аксиомы линейного пространства сформулированы в работе Пеано (1888).