Методы анализа нечеткой информации

Министерство образования  и науки Российской Федерации 

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования 

«Волгоградский государственный  технический университет»

Факультет подготовки инженерных кадров

Контрольная работа

по курсу «Методы анализа нечеткой информации»

Волгоград, 2013 

Содержание

1. Описание основных положений нечеткой логики
2. Нечеткая кластеризация
3. Современное практическое применение механизма анализа нечеткой информации

1. Описание основных положений нечеткой логики

Нечёткая логика (англ. fuzzy logic) — раздел математики, являющийся обобщением классической логики и теории множеств, базирующее на понятии нечёткого множества, впервые введённого Лотфи Заде в 1965 году как объекта с функцией принадлежности элемента к множеству, принимающей любые значения в интервале [0, 1], а не только 0 или 1. На основе этого понятия вводятся различные логические операции над нечёткими множествами и формулируется понятие лингвистической переменной, в качестве значений которой выступают нечёткие множества [1].

Нечеткая и  лингвистическая переменные

При описании объектов и  явлений с помощью нечетких множеств используется понятие нечеткой и  лингвистической переменных.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой <a, X, A>, где

• a - имя переменной,
• X - универсальное множество (область определения a),
• A - нечеткое множество на X, описывающее ограничение (то есть m A(x)) на значение нечеткой переменной a.

Лингвистической переменной называется набор <b ,T,X,G,M>, где

• b - имя лингвистической переменной;
• Т - множество его значений (терм-множество), представляющие имена нечетких переменных, областью определения, которых является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;
• G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество TИG(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;
• М - семантическая процедура, позволяющая преобразовать новое значение лингвистической переменной, образованной процедурой G, в нечеткую переменную, то есть сформировать соответствующее нечеткое множество.

Во избежание большого количества символов:

• символ b используют как для названия самой переменной, так и для всех его значений;
• для обозначения нечеткого множества и его названия пользуются одним символом, например, терм "молодой", является значением лингвистической переменной b = "возраст", и одновременно нечетким множеством М ("молодой").

Присваивание нескольких значений символам предполагает, что  контекст допускает неопределенности.

Пример

Пусть эксперт определяет толщину изделия, с помощью понятия "маленькая  толщина", "средняя толщина" и "большая толщина", при этом минимальная толщина равняется 10 мм, а максимальная - 80 мм.

Формализация  этого описания может быть проведена  с помощью лингвистической переменной <b, T, X, G, M>, где

• b - толщина изделия;
• T - {"маленькая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"};
• X - [10, 80];
• G - процедура образования новых термов с помощью связок "и", "или" и модификаторов типа "очень", "не", "слегка" и др. Например, "маленькая или средняя толщина", "очень маленькая толщина" и др.;
• М - процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств А1="маленькая толщина", А2 = "средняя толщина", А3="большая толщина", а также нечетких множеств для термов из G(T) соответственно правилам трансляции нечетких связок и модификаторов "и", "или", "не", "очень", "слегка", операции над нечеткими множествами вида: А З C, АИ C,  , CON А = А² , DIL А = А^0,5 і ін.

Вместе с  рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной "толщина" (Т={"маленькая толщина", "средняя  толщина", "большая толщина"}) существуют значения, зависящие от области определения Х. В данном случае значения лингвистической переменной "толщина изделия" могут быть определены как "около 20 мм", "около 50 мм", "около 70 мм", то есть в  виде нечетких чисел [2].

Функции принадлежности нечетких множеств:

"маленькая  толщина" = А1 , "средняя толщина"= А2, " большая толщина"= А3.

Функция принадлежности:

нечеткое множество "маленькая или средняя толщина" = А1ИА1.

Нечеткий логический вывод

Основой для  проведения операции нечеткого логического  вывода является база правил, содержащая нечеткие высказывания в форме ‘Если-то’  и функции принадлежности для  соответствующих лингвистических  термов. При этом должны соблюдаться  следующие условия:

1. Существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной.
2. Для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила).

В противном  случае имеет место неполная база нечетких правил.

Пусть в базе правил имеется m правил вида: 
R₁: ЕСЛИ x₁ это A₁₁ … И … x_n это A_1n, ТО y это B₁ 
… 
R_i: ЕСЛИ x₁ это A_i1 … И … x_n это A_in, ТО y это B_i 
… 
R_m: ЕСЛИ x₁ это A_i1 … И … x_n это A_mn, ТО y это B_m, 
где x_k , k=1..n – входные переменные; y – выходная переменная; A_ik – заданные нечеткие множества с функциями принадлежности.

Результатом нечеткого  вывода является четкое значение переменной y^* на основе заданных четких значений x_k , k=1..n.

В общем случае механизм логического вывода включает четыре этапа: введение нечеткости (фазификация), нечеткий вывод, композиция и приведение к четкости, или дефазификация (см. рисунок 1).

 
Рисунок 1. Система нечеткого логического вывода.

Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом  видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны модели нечеткого вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото.Рассмотрим подробнее нечеткий вывод на примере  механизма Мамдани (Mamdani). Это наиболее распространенный способ логического  вывода в нечетких системах. В нем  используется минимаксная композиция нечетких множеств. Данный механизм включает в себя следующую последовательность действий.

1. Процедура фазификации: определяются степени истинности, т.е. значения функций принадлежности для левых частей каждого правила (предпосылок). Для базы правил с m правилами обозначим степени истинности как A_ik(x_k), i=1..m, k=1..n.
2. Нечеткий вывод. Сначала определяются уровни ‘отсечения’ для левой части каждого из правил:

Далее находятся ‘усеченные’  функции принадлежности:

3. Композиция, или объединение полученных усеченных функций, для чего используется максимальная композиция нечетких множеств:

,

где MF(y) – функция принадлежности итогового нечеткого множества.

4. Дефазификация, или приведение к четкости. Существует несколько методов дефазификации. Например, метод среднего центра, или центроидный метод:

 [3].

2. Нечеткая кластеризация

FCM-алгоритм кластеризации

Кластеризация - это объединение объектов в группы (кластеры) на основе схожести признаков для объектов одной группы и отличий между группами. Большинство алгоритмов кластеризации не опираются на традиционные для статистических методов допущения; они могут использоваться в условиях почти полного отсутствия информации о законах распределения данных. Кластеризацию проводят для объектов с количественными (числовыми), качественными или смешанными признаками. В этой работе рассматривается кластеризация только для объектов с количественными признаками. Исходной информацией для кластеризации является матрица наблюдений:

,

каждая строчка  которой представляет собой значения n признаков одного из M объектов кластеризации.

Задача  кластеризации состоит в разбиении  объектов из   на несколько подмножеств (кластеров), в которых объекты более схожи между собой, чем с объектами из других кластеров. В метрическом пространстве "схожесть" обычно определяют через расстояние. Расстояние может рассчитываться как между исходными объектами (строчками матрицы  ), так и от этих объектов к прототипу кластеров. Обычно координаты прототипов заранее неизвестны - они находятся одновременно с разбиением данных на кластеры.

Существует  множество методов кластеризации, которые можно классифицировать на четкие и нечеткие. Четкие методы кластеризации разбивают исходное множество объектов   на несколько непересекающихся подмножеств. При этом любой объект из   принадлежит только одному кластеру. Нечеткие методы кластеризации позволяют одному и тому же объекту принадлежать одновременно нескольким (или даже всем) кластерам, но с различной степенью. Нечеткая кластеризация во многих ситуациях более "естественна", чем четкая, например, для объектов, расположенных на границе кластеров.

Методы  кластеризации также классифицируются по тому, определено ли количество кластеров  заранее или нет. В последнем  случае количество кластеров определяется в ходе выполнения алгоритма на основе распределения исходных данных. В  начале рассмотрим алгоритм c-средних, разбивающий данные на наперед заданное число кластеров, а затем алгоритм горной кластеризации, который не требует  задания количества кластеров [4][6].

Метод k-средних. C-means

Алгоритм разделительной кластеризации, основанный на разбиении множества элементов векторного пространства на заранее определенное число кластеров k. Алгоритм представляет собой итерационную процедуру, в которой выполняются следующие шаги.

• Выбирается число кластеров k.
• Из исходного множества данных случайным образом выбираются k записей, которые будут служить начальными центрами кластеров.
• Для каждой записи исходной выборки определяется ближайший к ней центр кластера. При этом записи, «притянутые» определенным центром, образуют начальные кластеры.
• Вычисляются центроиды – центры тяжести кластеров. Каждый центроид – это вектор, элементы которого представляют собой средние значения признаков, вычисленные по всем записям кластера. Затем центр кластера смещается в его центроид.

Затем 3-й и 4-й шаги итеративно повторяются. Очевидно, что на каждой итерации происходит изменение границ кластеров и смещение их центров. В результате минимизируется расстояние между элементами внутри кластеров. Остановка алгоритма производится тогда, когда границы кластеров  и расположения центроидов не перестанут изменяться от итерации к итерации, т.е. на каждой итерации в каждом кластере будет оставаться один и тот же набор записей. На практике алгоритм обычно находит набор стабильных кластеров за несколько десятков итераций.

Преимуществом алгоритма  являются быстрота и простота реализации. К его недостаткам можно отнести  неопределенность выбора начальных  центров кластеров, а также то, что число кластеров должно быть задано изначально, что может потребовать  некоторой априорной информации об исходных данных [5].

3. Современное практическое применение механизма анализа нечеткой информации

В последние годы все большее  число российских предприятий (как  частных, так и государственных), в целях повышения эффективности  управления экономическими процессами, пытаются организовать свою деятельность на основе современных научных исследований. Повсеместно внедряются бизнес-планирование, финансовый и инвестиционный анализ, современные программные продукты, основанные на последних научных  разработках. Одновременно возрастает спрос на рыночные исследования (как  на микроэкономическом, так и макроэкономическом уровне), на финансовую и общеэкономическую  информацию.

Сегодня одним из наиболее перспективных направлений научных  исследований в области анализа, прогнозирования и моделирования  экономических явлений и процессов  является нечеткая логика (fuzzy logic). Нечетко-множественные  модели, зачастую представленные в  виде программного обеспечения для  персональных компьютеров, позволяют  как менеджерам различного уровня, так и собственникам предприятий  принимать экономически грамотные  решения.

На сегодняшний день в  России потребителями научных разработок, в основу которых заложен нечетко-множественный  аппарат, является достаточно узкий  круг государственных и чуть более  широкий круг коммерческих предприятий, а ученые, создающие и поставляющие на рынок данные продукты, исчисляются  одним-двумя десятками человек.

С помощью соответствующего математического аппарата стало  возможным выразить нечеткие оценки математически и впоследствии обработать с помощью ЭВМ. Таким образом, удалось максимально приблизить механизм компьютерной обработки и анализа данных к человеческому мышлению.

Параллельно с разработкой  теоретических основ новой науки, Лотфи А. Заде прорабатывал различные  возможности ее практического применения. В 1973 году эти усилия увенчались успехом - ему удалось показать, что нечеткая логика может быть положена в основу нового поколения интеллектуальных систем управления. Именно поэтому  эту дату логично считать началом  второго этапа в развитии данной науки.

Результаты не заставили  себя долго ждать. Практически сразу  после выхода в свет фундаментального доклада Л. Заде небольшая предприимчивая фирма из Дании применила изложенные в нем принципы для усовершенствования системы управления доменной печью. Лишь только после этого ученые обратили свое пристальное внимание на молодую  науку, т. к. именно такая логика способна решать различные задачи в условиях неопределенности. Через четыре года после внедрения данной системы  управления сложным производственным процессом прибыли фирмы исчислялись  десятками тысяч долларов.

В работах М. Земанковой и  А. Кандела были заложены основы теории нечетких систем управления базами данных, способных оперировать неточными  данными, обрабатывать нечетко заданные запросы, а также использовать качественные параметры наряду с количественными. Была разработана нечеткая алгебра - необычная наука, позволяющая использовать при вычислениях как точные, так  и приблизительные значения переменных. И наконец, самое широкое распространение  получили изобретенные Б. Коско так  называемые нечеткие когнитивные модели (Fuzzy Cognitive Maps), на которых базируется большинство современных систем динамического моделирования в  области финансов, политики и бизнеса.

К 90-му году появилось около 40 патентов, относящихся к нечеткой логике (из них 30 японских). Сорок восемь японских компаний образовали совместную лабораторию LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering), японское правительство финансировало  пятилетнюю программу по нечеткой логике, включающую 19 различных проектов - от систем оценки глобального загрязнения  атмосферы и предсказания землетрясений  до автоматизированных систем управления заводскими цехами и складами. Результатом  выполнения этой программы явилось  появление целого ряда новых массовых микрочипов, основанных на нечеткой логике. Сегодня их можно найти в стиральных машинах и видеокамерах, цехах  заводов, моторных отсеках автомобилей, в системах управления складскими роботами и боевыми вертолетами.

 «Пионером» в применении нечеткой логики в бытовых изделиях выступила фирма Matsuhita. В феврале 1991 года она анонсировала первую `интеллектуальную` стиральную машину, в системе управления которой сочетались нечеткая логика и нейронная сеть. Автоматически определяя нечеткие входные факторы (объем и качество белья, уровень загрязненности, тип порошка и т.д.), стиральная машина безошибочно выбирала оптимальный режим стирки из 3800 возможных вариантов. А спустя пару лет использование приемов нечеткой логики в производстве японской бытовой техники стало повсеместным.

Начиная с конца 70-х годов, методы теории нечетких множеств начинают применяться и в экономике. В 80-х  начали появляться программные решения  и информационные технологии, решающие экономические задачи с применением  нечетко-множественных и родственных  им описаний. Так, под руководством Ц. Зопоунидиса в Техническом  университете на острове Крит была разработана экспертная система  для детального финансового анализа  корпораций. Чуть раньше в Германии, в конце 80-х годов, группой под  руководством Х. Циммермана была разработана  система стратегического планирования, в которой реализуется позиционирование бизнеса корпорации на основе нечетких описаний конкурентоспособности и  привлекательности бизнеса.

В качестве примера такого программного обеспечения можно  назвать дорогостоящие комплексные  системы, в которых применяется  нечеткая логика и которые используют банкиры и финансисты для решения  сложнейших задач прогнозирования  финансовых индикаторов. Начало этому  процессу положила японская финансовая корпорация Yamaichi Securuties. Задавшись целью  автоматизировать игру на рынке ценных бумаг, эта компания привлекла к  работе около 30 специалистов по искусственному интеллекту. В первую версию системы, завершенную к началу 1990 г., вошли 600 нечетких правил - воплощение опыта  десяти ведущих брокеров корпорации. Прежде чем решиться на использование  новой системы в реальных условиях, ее протестировали на двухлетней выборке  финансовых данных (1987-1989 гг.). Система  с блеском выдержала испытание. Особое изумление экзаменаторов  вызвало то, что за неделю до наступления  биржевого краха (знаменитого `Черного  Понедельника` на токийской бирже  в 1988 году) система распродала весь пакет акций, что свело ущерб  практически к нулю. Надо ли говорить, что после этого вопрос о целесообразности применения нечеткой логики в финансовой сфере уже не поднимался.

Некоторое количество работ  посвящено макроэкономическому  анализу фондового рынка на основе нечетких представлений. Также нечеткие представления были положены в основу нейронных сетей для прогнозирования  фондовых индексов.

К настоящему времени предпринят ряд попыток с целью прогноза фондовых индексов и индексов макроэкономической динамики. Особого внимания заслуживает  макроэкономическое исследование, посвященное  измерению уровня теневой экономики  в Новой Зеландии, выполненное  Р. Драесеке и Дэвидом Глисом в 1999 г. Используя статистические данные с 1963 г. по 1994 г., ученые попытались оценить  динамику величины теневой экономики  в Новой Зеландии за указанный  интервал времени. В качестве показателей, определяющих уровень теневой экономики, авторы использовали всего два показателя. Первый из них - эффективная налоговая  ставка (the effective tax rate), которая равна  доле собираемых государством налогов  от ВВП, второй - индекс, который отражает степень государственного управления в масштабах экономики (an index that reflects an economy-wide level of regulation). Несмотря на немногочисленность выбранных показателей, оценка уровня теневой экономики методом, основанным на нечеткой логике, показала высокую  степень корреляции с результатами, полученными на основе стандартного регрессионного анализа. Это в очередной  раз доказывает, что нечетко-множественные  модели очень просты в построении и дают достоверные результаты даже в условиях высокой неопределенности.

Начиная с 1995 г., на российском рынке стали появляться программные  продукты для персональных компьютеров, рассчитанные на их массовое использование. Именно с этого момента большинство  повседневных задач, в которых возникает  необходимость приближенного задания условий и, соответственно, получения столь же приближенных результатов, стало возможным быстро и с приемлемой точностью решать, не прибегая к помощи программистов. Математический аппарат, предоставляющий такие возможности, детально описанный в специальной литературе и в полной мере реализованный в программных пакетах, спрятан `за кадром`, что делает процесс освоения этих инструментов более доступным и интуитивно понятным для любого пользователя.

Большим достижением для  России в области нечетко-множественного анализа и моделирования можно  считать то, что программные продукты, содержащие элементы нечеткой логики, созданные отечественными учеными, уже начали продаваться. Так, Пенсионный фонд РФ приобрел решение по оптимизации  фондового портфеля от Siemens Business Services Russia. Научную основу этого решения  составили разработки доктора экономических  наук А.О. Недосекина, являющегося главным  консультантом и бизнес-аналитиком департамента программных проектов вышеуказанной организации.

Следующим важным для России шагом в развитии данной науки  можно считать регистрацию в  конце прошлого года российского  представительства лаборатории  международных нечетко-множественных  исследований в области экономики IFEL Rus (International Fuzzy Economics Lab) со штаб-квартирой  в Москве и регистрацию лабораторией своего собственного печатного издания  научно-практической направленности - журнала `Банки и Риски`.

Капиталистические отношения  существуют в стране относительно недолго. Поэтому использование традиционных способов моделирования с целью  анализа и прогнозирования экономических  явлений и процессов дает недостоверные  результаты в силу низкой стационарности соответствующих процессов.

Прежде чем нечеткий подход к моделированию сложных систем получил признание во всем мире, прошло не одно десятилетие с момента  зарождения теории нечетких множеств. И на этом пути развития нечетких систем принято выделять три периода.

Первый период (конец 60-х–начало 70 гг.) характеризуется развитием  теоретического аппарата нечетких множеств (Л. Заде, Э. Мамдани, Беллман). Во втором периоде (70–80-е годы) появляются первые практические результаты в области  нечеткого управления сложными техническими системами (парогенератор с нечетким управлением). Одновременно стало уделяться  внимание вопросам построения экспертных систем, построенных на нечеткой логике, разработке нечетких контроллеров. Нечеткие экспертные системы для поддержки  принятия решений находят широкое  применение в медицине и экономике. Наконец, в третьем периоде, который  длится с конца 80-х годов и продолжается в настоящее время, появляются пакеты программ для построения нечетких экспертных систем, а области применения нечеткой логики заметно расширяются. Она применяется в автомобильной, аэрокосмической и транспортной промышленности, в области изделий бытовой техники, в сфере финансов, анализа и принятия управленческих решений и многих других.

Триумфальное шествие  нечеткой логики по миру началось после  доказательства в конце 80-х Бартоломеем  Коско знаменитой теоремы FAT (Fuzzy Approximation Theorem). В бизнесе и финансах нечеткая логика получила признание после  того, как в 1988 году экспертная система  на основе нечетких правил для прогнозирования  финансовых индикаторов единственная предсказала биржевой крах. И количество успешных фаззи-применений в настоящее  время исчисляется тысячами [7].

Список используемой литературы

1. Нечеткая логика - [Электронный ресурс] – режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/%CD%E5%F7%B8%F2%EA%E0%FF_%EB%EE%E3%E8%EA%E0 - загл. с экрана.
2. Нечеткая логика - [Электронный ресурс] – режим доступа: http://www.victoria.lviv.ua/html/oio/html/theme11_1_rus.htm#11_5 - загл. с экрана.
3. Нечеткая логика — математические основы - [Электронный ресурс] – режим доступа: http://d.17-71.com/2006/10/26/fuzzybigins/ - загл. с экрана.
4. С.Д.Штовба "Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику" - [Электронный ресурс] – режим доступа: http://matlab.exponenta.ru/fuzzylogic/book1/12.php
5. Метод k-средних. C-means - [Электронный ресурс] – режим доступа: http://www.basegroup.ru/glossary/definitions/k_means/ - загл. с экрана.
6. FCM-алгоритм кластеризации - [Электронный ресурс] – режим доступа: http://life-prog.ru/view_zam.php?id=89&cat=5&page=4 - загл. с экрана.
7. Методы анализа нечеткой информации - [Электронный ресурс] – режим доступа: http://www.skachatreferat.ru/referaty/Методы-анализа-нечеткой-информации/293904.html - загл. с экрана.