Моделирование случайных воздействий

 

 

Содержание

Введение…………………………………………………………...………………3

Раздел 1. Метод статистического  моделирования………...……………………4

Раздел 2. Моделирование случайных  воздействий……..………………………7

2.1. Моделирование случайных  событий………………………..………………7

2.2. Моделирование дискретных  случайных величин…………….…………..10

2.3. Моделирование случайных  непрерывных величин…………………...….12

2.4. Моделирование случайных  величин……………………………..………..15

Выводы…………………………………………………………………..……….18

Список использованной литературы……………………………………….…..19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Невозможно представить  себе современную науку без широкого применения математического моделирования. Сущность этой методологии состоит  в замене исходного объекта его  «образом» - математической моделью  – в дальнейшем изучении модели с помощью  реализуемых на компьютерах  логических алгоритмов. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущество теории).

Математическое моделирование  опирается на известные качественные методы и соответственно аналитический  аппарат. Одним из методов математического  моделирования является статистический метод, суть которого сводится к синтезу  для исследуемого процесса некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов  системы с учетом случайных воздействий.

Для формализации случайных  факторов и воздействий на систему  используют случайные события, дискретные и непрерывные величины, векторы, процессы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел 1. Метод статистического  моделирования.

Под моделированием понимается процесс исследования реальной системы, включающий построение модели, изучение ее свойств и перенос полученных сведений на моделируемую систему.

Рассмотрим один из методов  моделирования – метод   статистического  моделирования, который позволяет  решать сложнейшие задания и обладает существенными преимуществами перед аналитическими методами и другими методами моделирования. Основным преимуществом этого метода является возможность решения задач повышенной сложности: исследуемая система может содержать одновременно элементы непрерывных и дискретных действий, быть подверженной влиянию многочисленных случайных воздействий, описываться весьма громоздкими соотношениями и т. п.

Статистические методы опираются  на теорию вероятности, математическую статистику и теорию случайных процессов. К ним относятся:

1) методы многофакторного  анализа (регрессионные модели, метод  группового учета аргумента, многомерная фильтрация, имитационные модели и другие);

2) методы однофакторного прогнозирования (экспотенциальное сглаживание, метод разностных уравнений, метод марковских цепей, метод скользящего среднего и другие).

Теория случайных процессов  имеет дело с исследованием структуры  семейств случайных величин , где – параметр, принадлежащий множеству . Случайные процессы, у которых особенно важны для прогнозирования. При этом интерпретируют как время. Выборочной функцией случайного процесса  является функция, которая ставит в соответствие каждому одно из возможных значений . Множество значений  может быть дискретным, а при этом может представлять исходы последовательных испытаний при различных воздействиях. Например, в случае, когда  представляет собой исход -го бросания монеты, возможные результаты образуют множество , а одним из возможных исходов процесса является последовательность

Важным примером случайного процесса, непрерывного по времени  ( ) является пуассоновский процесс. Его выборочная функция представляет собой число регистраций наступления некоторого события за период времени от 0 до . Очевидно, каждая возможная реализация есть неубывающая ступенчатая функция. Пример – число телефонных вызовов из данного района, число ошибок на странице машинописного текста и т. д. Свойства пуассоновских процессов:

1)независимость числа  наступления событий в некотором  интервале от числа наступлений  этого события в любом другом  интервале, не пересекающимся  с ним;

2) вероятность того, что  за период времени  произойдет хотя бы одно событие, есть ,  , при этом  при  означает, что ;

3) вероятность того, что за время   произойдет два или более событий, есть , что означает невозможность одновременного появления двух либо более событий.

При выполнении условий 1) – 3) вероятность  того, что за время    произошло ровно событий равна:

,

где - параметр процесса, причем.

Таким образом, среднее число  наступления события за время        равно .

Модель пуассоновских  процессов находит применение при  решении задач  о баллотировке (выборах). Многомерные  пуассоновские  процессы используются в астрономии.

Большое количество физических, экономических, биологических, технических  процессов описывается с помощью  модели марковских цепей. Дискретная марковская цепь представляет собой марковский случайный процесс, пространство состояний  которого конечно.

Марковский процесс –  это процесс, обладающий следующим  свойством: если известны значения случайной  величины , то значение ,  , не зависит от , . Иначе: вероятность любого события, связанного с будущим поведением процесса, при условии, что его настоящее состояние точно известно, не изменится, если учесть дополнительную информацию относительно прошлого этого процесса.

Процесс является марковским, если

 

при .

Классическим примером цепей  Маркова являются ветвящиеся процессы (развитие биологических систем), броуновское  движение (физические и социальные процессы), процессы рождения и гибели (прогнозирование численности популяции  организмов), модели иммиграции, системы массового обслуживания.

Использование моделей случайных  процессов предполагает знание законов  распределения случайных величин. Но поскольку в реальных системах знание этих законов не полно, применяются  методы прогнозирования, основанные на неравенстве Чебышева:

 или , ,

где  - математическое ожидание,

  – дисперсия случайной величины.

 

2.1. Моделирование случайных  событий.

Событие – одно из основных понятий в теории вероятности. Под  «событием» в теории вероятности  понимается всякий факт, который в  результате опыта может произойти  либо не произойти.

При моделировании систем методом статистической модели существенное внимание уделяется учету случайных  факторов и воздействий на систему. Для их формализации используют случайные события, дискретные и непрерывные величины, векторы, процессы. Простейшими случайными объектами являются случайные события. Рассмотрим особенности их моделирования.

Пусть есть некоторые случайные  числа , т.е. возможные значения случайной величины равномерно распределены в интервале . Задача: реализовать случайное событие , вероятность наступления которого . Пусть событие состоит в том, что выбранное значение  случайной величины   удовлетворяет неравенству:

         

Тогда вероятность события  будет равна

  .

Соответственно, противоположное  событие  состоит в том, что . Тогда .

Моделирование случайных  событий состоит в выборе значений и сравнении их с  . При этом, если условие выполняется, исходом испытания является событие .

Рассмотрим таким же способом группу событий. Пусть  - полная группа событий, наступающих с вероятностями  соответственно. Пусть событие состоит в том, что выбранное значение случайной величины удовлетворяет неравенству

 ,                            

 где .

Тогда .

Моделирование испытания  в данном случае состоит в последовательном сравнении случайных значений со значениями . Исходом испытания оказывается событие  , если выполняется условие   . Эта процедура называется определением исхода испытания по жребию в соответствии с вероятностями

Пример 2.1  Пусть имеются  -разрядные случайные числа с возможными значениями ,  . Подставляем в вместо число , определим как событие, состоящее в том, что .

Вероятность наступления  события равна , где - количество случайных чисел, меньших либо равных Отсюда следует, что использование числа вместо приводит к ошибке в определении вероятности события .

Для уменьшения влияния ошибок можно воспользоваться увеличением  разрядности случайных чисел (поскольку максимальное значение ошибки не превосходит ).

Рассмотрим случай, когда  результат испытания является сложным  событием, зависящим от двух (и более) простых событий. Пусть, например, независимые  события и имеют вероятности наступления и .

Событие называется независимым от события , если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет

Возможными исходами испытаний  в этом случае будут события  с вероятностями , , .

Для моделирования совместных испытаний можно использовать два  варианта процедуры:

1) последовательно проверить  выполнение условия ; 

2) определить один из  исходов по жребию с соответствующими вероятностями, т.е. аналогично .

Для первого варианта необходимы два числа и сравнение их для проверки условия . Для второго варианта достаточно одного числа , но сравнений потребуется больше. С точки зрения экономии количества операций и памяти ЭВМ более предпочтительным является первый вариант.

Рассмотрим так же случай, при котором события и являются зависимыми и наступают с вероятностями и . Пусть - условная вероятность наступления события , при условии, что событие произошло. Считаем, что условная вероятность задана. Рассмотрим один из вариантов построения модели. Из последнего случая чисел извлекаем очередное число и проверяем справедливость неравенства . Если неравенство выполняется, то наступило событие . Для испытаний, связанных с событием , используем вероятность . Из совокупности чисел берем очередное число и проверяем выполнение условия . В зависимости от выполнения этого неравенства, исходом испытания является или .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Моделирование дискретных  случайных величин.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее – какое именно.

Случайные величины, принимающие  только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются прерывными или дискретными  случайными величинами.

Для случая дискретной случайной  величины , принимающей значения с вероятностями составляющими дифференциальное распределение вероятностей

                      … … ,

     … … ,                    

При этом интегральная функция  распределения

    

                  F_h(y) = 0; y<y₁.                                                                              

Для получения дискретных случайных величин можно использовать метод обратной функции.

Так, если x, — равномерно распределенная на интервале (0, 1) случайная величина, то искомая случайная величина h получается с помощью преобразования

                    

,                                                                           

где — функция, обратная F_h.

Таким образом, алгоритм вычислений по сводится к выполнению следующих действий:

если то , иначе

 

 если , то , иначе                                 

………………………………………..

 , то

………………………………………..

Среднее число циклов сравнения .

Пример 2.2. Проверить стохастичность последовательности из случайных чисел , полученных при имитации биномиального распределения при заданных параметрах и  .

Простейшим способом проверки  является оценка выполнения следующих условий:

1)  ,

2)

Проверяем на соответствие биномиальному распределению с  параметрами  и такой последовательности случайных чисел:   .

Вычисляем ; .

 

 

Отсюда следует вывод, что данная последовательность чисел  хорошо в условиях данного примера представляет биномиальное распределение с заданными параметрами

 

2.3. Моделирование непрерывных  случайных величин.

Случайные величины различают  прерывного (дискретного) и непрерывного типа. Возможные значения непрерывных  величин не могут быть заранее  перечислены и непрерывно заполняют  некоторый промежуток.

Примеры непрерывных случайных  величин:

1) абсцисса (ордината) точки  попадания при выстреле;

2) время безотказной работы  радиолампы и т. п.

Составить таблицу, в которой  были бы перечислены все возможные  значения  случайной величины, невозможно.

Непрерывная случайная величина, очевидно, зависит от некоторой текущей  переменной и задана интегральной функцией распределения:

 

где — плотность вероятностей.

Для получения непрерывных  случайных величин с заданным законом распределения, как и  для дискретных величин, можно воспользоваться  методом обратной функции.

Взаимно однозначная монотонная функция  , полученная решением относительно h уравнения , преобразует равномерно распределенную на интервале (0, 1) величину x в h с требуемой плотностью (у). Чтобы получить число, которое принадлежит последовательности случайных чисел c плотностью, решим относительно уравнение

                                      

Рассмотрим пример получения  методом обратной функции непрерывных  случайных величин с заданным законом распределения на основе случайных чисел, имеющих равномерное  распределение в     интервале . Пусть необходимо получить случайные числа с показательным законом распределения

, .

Используем формулу  , получим

,

где – cлучайное число, имеющее равномерное распределение в интервале . Отсюда:

 

.

Учитывая, что  случайная  величина имеет также равномерное распределение в интервале можно записать .

Существуют приближенные способы преобразования случайных  чисел, которые можно классифицировать следующим образом:

а) универсальные способы, с помощью которых можно получать случайные числа с законом  распределения любого вида;

б) неуниверсальные способы, пригодные для получения случайных  чисел с конкретным законом распределения.

универсальный способ получения случайных чисел основан на кусочной аппроксимации функции плотности. Пусть требуется получить последовательность случайных чисел функцией плотности f_n(у), возможные значения которой лежат в интервале (а, b). Представим f_h(у) в виде кусочно-постоянной функции, т. е. разобьем интервал (а, b) на т интервалов, как это показано на рисунке:

будем считать f_n(y) на каждом интервале постоянной. Тогда случайную величину h можно представить

где а_k — абсцисса левой границы k-то интервала; h_k* — случайная величина, возможные значения которой располагаются равномерно внутри k - то интервала, т. е. на каждом участке a_k ¸ a_k+1 величина h_k* считается распределенной равномерно. Чтобы аппроксимировать f_n(y) наиболее удобным для практических целей способом, целесообразно разбить (а, b) на интервалы так, чтобы вероятность попадания случайной величины h в любой интервал  (а_k, а_k+1) была постоянной, т. е. не зависела от номера интервала k. Таким образом, для вычисления а_k воспользуемся следующим соотношением:

                        

Алгоритм машинной реализации этого способа получения случайных чисел сводится к последовательному выполнению следующих действий:

1) генерируется  случайное равномерно распределенное число х_i из интервала (0, 1);

2) с помощью этого числа  случайным образом выбирается  интервал (а_k, а_k+1);

3) генерируется число х_i+1 и масштабируется с целью приведения его к интервалу (а_k, а_k+1) т. е. домножается на коэффициент (а_k+1 — a_k)x_i+1;

4) вычисляется случайное число y_j=a_k+(а_k+1 — a_k)x_i+1 с требуемым законом распределения.

Достоинства этого приближенного  способа преобразования случайных  чисел: при реализации на ЭВМ требуется  небольшое количество операций для  получения каждого случайного числа, так как операция масштабирования (2.9) выполняется только один раз перед моделированием, и количество операций не зависит от точности аппроксимации, т. е. от количества интервалов т.

 

2.4. Моделирование случайных  векторов.

В практическом применении теории вероятностей очень часто  приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта  описывается не одной случайной  величиной, а двумя (или более) случайными величинами, образующими комплекс или систему. Например, точка попадания снаряда определена не одной случайной величиной, а двумя: абсциссой и ординатой – и может быть рассмотрена как комплекс двух случайных величин. В подобных случаях удобно систему таких величин рассмотреть как случайный вектор на плоскости

Моделирование случайных  векторов широко используют при решении задач на исследование характеристик процессов функционирования систем. Случайный вектор может быть задан проекциями на оси координат, причем эти проекции являются случайными величинами, которые описываются совместным законом распределения.

Рассмотрим простейший случай, когда случайный вектор расположен на плоскости  и задан совместным законом распределения его проекций и  на оси и .

Рассмотрим дискретный случайный  процесс, когда двухмерная случайная величина является дискретной и ее составляющая   принимает различные значения , а составляющая – значения . При этом каждой паре соответствует вероятность . Отсюда  каждому возможному значению случайной величины будет  соответствовать вероятность .

В соответствии с этим распределением вероятностей можно определить конкретное значение случайной величины и из всех значений выбрать последовательность

  ,             (2.10)

которая описывает условное распределение величины h при условии, что x=х_i. Аналогично определяем конкретное значение случайной величины h в соответствии с распределением вероятностей (2.10). Полученная пара будет первой реализацией моделируемого случайного вектора.  Таким же способом определяем возможные значения выбираем последовательность

                                   (2.11)

и находим  в соответствии с распределением (2.11). Это дает реализацию вектора и т. д.

При моделировании непрерывного случайного вектора с составляющими x, и h. В этом случае двухмерная случайная величина (x, h) описывается совместной функцией плотности f(х, у). Эта функция может быть использована для определения функции плотности случайной   величины x как

Рассмотрим пример. Пусть требуется сформировать реализации трехмерного случайного вектора , имеющего нормальное распределение с математическими ожиданиями = и корреляционной матрицей , элементы которой , и являются дисперсиями случайных величин соответственно, а элементы , , представляют собой корреляционные моменты соответственно.

Обозначим последовательность некорреляционных случайных чисел . Она имеет одномерное нормальное распределение с параметрами Выберем и преобразуем три числа так, чтобы они имели характеристики и /

Данные составляющие вектора  обозначим и представим в виде линейного преобразования:

,

где – некоторые (пока неизвестные коэффициенты). Вычислим эти коэффициенты. Для этого воспользуемся элементами корреляционной матрицы . Поскольку случайные величины   независимы между собой, то

  при .

Отсюда:

,

,

,

,

 

.

Решаем эту систему  уравнений относительно , получим:

               ;;  ; ; 

 

 

 

Далее, вычислив коэффициенты , легко преобразовать три последовательных случайных числа , в составляющие случайного вектора , используя соотношения, приведенные выше.

способ формирования реализаций двухмерных векторов можно обобщить и на случай многомерных случайных векторов. Однако при больших размерностях этих векторов объем вычислений существенно увеличивается, что создает препятствия к использованию этого способа в практике моделирования систем.

Выводы.

Элементы математического  моделирования используются  с  самого начала появления точных наук и не случайно, что некоторые методы вычисления носят имена таких  корифеев науки, как Ньютон и Эйлер, а слово «алгоритм» происходит от имени средневекового арабского  ученого Аль Хорезми.

В работе рассмотрены методы моделирования случайных воздействий, такие, как моделирование случайных  событий, моделирование дискретных и непрерывных случайных величин, моделирование случайных векторов. Показано на примерах моделирование указанными методами. Рассмотрены классические методы статистического моделирования: модель пуассоновских процессов, модель марковских цепей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы.

1. Анфилатов В. С., Емельянов А. А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении: учебное пособие. – М.: Финансы и статистика,2002. – 368 с.

2. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001

3. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. – М.: Главная редакция физико – математической литературы изд-ва «Наука»,1968. – 356 с.

4. Гультяев А. Визуальное моделирование в среде Windows. – М.,2001.–288 с.

5. Самарский А.А, Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. – 2 –е изд., испр. – М.: Физматлит, 2001. – 320 с.

6. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем. – М.: Высшая школа, 2009. – 343 с.

7.Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. – М.,2001. – 544 с.

8. Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учебное пособие. – М.: ЮНИТИ, 2000