Імітаційні моделі

ВСТУП

Мета  дисципліни — сформувати фундаментальні теоретичні знання щодо суті машинної імітації економіко-виробничих систем, систем обробки економічної інформації і автоматизованого проектування інформаційних систем. На цьому підгрунті студенти мають оволодіти практичними навичками використання імітаційних моделей для підвищення ефективності управління економічними процесами і розв’язання задач автоматизованого проектування інформаційних систем.

Під час вивчення дисципліни перед студентом ставляться такі завдання:

• навчитись утворювати концептуальні імітаційні моделі складних економічних систем на основі їх дослідження;
• оволодіти навичками розробки логічних схем імітаційних моделей;
• вивчити методи машинної імітації випадкових подій і випадкових величин;
• навчитися розробляти програмне забезпечення імітаційних моделей за допомогою мов програмування і моделювання;
• ознайомитись з досвідом використання машинної імітації в процесі прийняття рішень.

Призначення практичних занять — закріпити, розширити й поглибити знання, здобуті студентами на лекціях та під час самостійного вивчення ними першоджерел. На практичних заняттях студенти набувають навички встановлення головного змісту моделювання, використання засобів аналізу предметної області й опису концептуальної моделі, побудови логічної схеми імітаційної моделі, вибору методів машинної імітації випадкових подій і величин.

Мета  лабораторних робіт — оволодіти методикою і технологією розробки програмного забезпечення машинного моделювання, проведення імітаційного моделювання на ЕОМ та використання одержаних результатів в процесі прийняття рішень.

1. ТИПОВА ПРОГРАМА

Тема 1. Вступ до курсу «Імітаційне моделювання». Історична довідка про виникнення та розвиток імітаційного моделювання (машинної імітації). Моделювання та його використання в науці і техніці. Математичне (аналітичне) моделювання. Макетне моделювання. Фізичне моделювання: критерії подібності, аналіз розмірностей. Аналогове моделювання: механічні та електричні системи аналогій; аналогії полів; аналогові обчислювальні машини. Машинна імітація. Основні напрями використання машинної імітації: прогнозування розвитку національних економік; створення важливих народногосподарських проектів, забезпечення обороноздатності країни; охорона навколишнього середовища, навчання та підготовка кадрів. Застосування машинної імітації в інформаційних системах: модуль в автоматизованих робочих місцях; розробка автоматизованих інформаційно-пошукових систем; моделювання структур управління в умовах застосування інформаційних систем, розв’язання оптимізаційних функціональних задач; моделювання автоматизованих систем обробки даних; створення штучного інтелекту; автоматизація проектування інформаційних систем. Схема застосування машинної імітації в інтелектуальних системах. Розповсюдження методів машинної імітації в науковій роботі, в практиці й управлінській роботі на підприємствах (за результатами досліджень тисячі найбільших фірм США). Огляд і характеристика першоджерел. Мета і завдання курсу.

Тема 2. Сутність імітаційного моделювання. Поняття імітаційного моделювання та машинної імітації. Переваги методу машинної імітації. Головні вади методу. Умови доцільності використання машинної імітації. Цілі машинної імітації: вивчення діючої системи; аналіз гіпотетичної системи; проектування більш досконалої системи. Встановлення адекватності імітаційної моделі еволюційних процесів; однорідне градуювання модельного (системного) часу — принцип часового приросту; неоднорідне градуювання модельного часу — принцип особливих станів. Програма реалізації імітаційної моделі. Мови машинного моделювання: мови моделювання неперервних процесів; мови моделювання неперервно-дискретних процесів, мови моделювання дискретних процесів. Відмінності мов імітаційного моделювання. Переваги та вади використання мов імітаційного моделювання в практичній роботі. Приклад створення імітаційної моделі обчислювальної системи. Приклад створення GPSS/PC програми імітаційної моделі завантаження ЕОМ.

Тема 3. Основні етапи побудови імітаційної моделі. Види робіт під час реалізації імітаційної моделі: побудова імітаційної моделі; розробка методики моделювання — планування експериментів і статистична обробка результатів моделювання; розробка програмного забезпечення; проведення імітації на ЕОМ; аналіз та узагальнення результатів. Визначення задачі та її аналіз. Повне формулювання задачі: визначальне формулювання задачі; методологія розв’язуванняу задачі. Вимоги до інформації. Збір інформації. Оцінка інформації. Висування гіпотез та прийняття припущень. Встановлення основного змісту моделі. Фактори, які враховуються в основному змісті моделі: реальна обстановка, задача, засоби розв’язування задачі. Визначення параметрів, змінних та критеріїв ефективності. Порядок опису змінних. Опис концептуальної моделі та перевірка її вірогідності. Порядок перевірки вірогідності концептуальної моделі. Побудова логічної структурної схеми (блок-схеми) імітаційної моделі. Порядок перевірки логічної достовірності блок-схеми імітаційної моделі.

Тема 4. Імітаційна модель керування запасами. Суть оптимального керування запасами. Керуючі параметри. Некеровані параметри. Характеристика некерованих параметрів. Стратегії (політики) керування запасами: періодичні та з критичними рівнями. Статична детермінована модель керування запасами. Формула оптимального розміру партії замовлення (формула Вільсона). Керування багатопродуктовими запасами: основні передумови; економічно-математична модель; метод множників Лагранжа; алгоритм розв’язування задачі. Концептуальна імітаційна модель керування запасами (основні передумови). Блок-схема імітаційної моделі. Деякі результати програмної реалізації імітаційної моделі та їх узагальнення.

Тема 5. Поняття про метод Монте-Карло. Розвиток і застосування методу Монте-Карло. Деякі приклади застосування методу для розв’язування детермінованих задач. Точність оцінки ймовірності за допомогою відносної частоти, отриманої методом Монте-Карло. Рівномірна випадкова послідовність чисел РВП [0,1]. Унікальна властивість послідовності. Принципова схема генерування РВП [0,1]. Квазірівномірні числа.

Тема 6. Генерування РВП [0, 1]. Поняття про генератори (датчики) випадкових чисел. Табличний спосіб одержання РВП [0, 1]. Фізичні генератори, засновані на явищах радіоактивного випромінювання та «власних» шумів електронних ламп. Програмні способи одержання РВП [0, 1]: метод серединних квадратів; мультиплікативний конгруентний метод; метод Хатчінсона; змішані конгруентні методи; аддитивний конгруентний метод. Перевірка якості псевдовипадкових чисел. Загальностатистичні методи перевірки якості РВП [0, 1]. Спеціальні методи перевірки РВП [0, 1]: перевірка за моментами розподілу; перевірка на рівномірність за допомогою гістограми; перевірка посередніми ознаками; перевірка на періодичність; перевірка на випадковість; перевірка генератора «в роботі».

Тема 7. Генерування випадкових подій і дискретно розподілених випадкових величин. Імітація випадкових подій. Схема випробувань за «жеребком» (СВЖ). Перший спосіб використання СВЖ. Другий спосіб використання СВЖ. Стандартний метод імітації дискретно розподілених випадкових величин. Спеціальні методи імітації деяких дискретних розподілів: рівномірний дискретний розподіл; геометричний розподіл; розподіл Пуассона.

Тема 8. Генерування неперервних випадкових величин. Суть проблеми імітації неперервних розподілів. Стандартний метод імітації: основна теорема, алгоритм стандартного методу та границі його застосування, приклади використання стандартного методу. Метод добору (відбраковки): основна теорема; алгоритм методу добору й особливості його застосування. Наближене формування розподілу: концептуальна схема; алгоритм наближеного формування розподілу. Генерування нормально розподілених випадкових чисел; табличний спосіб; використання центральної граничної теореми; корекція розрахунків; метод Бокса – Маллера; Метод Марсельї – Брея.

Тема 9. Планування імітаційних експериментів: основні визначення. Основні поняття планування експериментів: відгук, фактори, функція відгуку. Зображення функції відгуку лініями однакового рівня. Апроксимуючий поліном. Рівняння регресії. Основні вимоги регресійного аналізу. Дворівнева система вимірювання факторів. Повні факторні плани: визначення, матриця планування, геометрична інтерпретація повнофакторного плану (ПФП). Властивості ПФП: симетричність, нормування, ортогональність, рототабельність. Таблиця ПФП з ефектами взаємодії. Дробові факторні плани (ДФП): необхідні умови використання; матриця ДФП, властивості ДФП; піврепліки в ДФП.

Тема 10. Одержання апроксимуючих поліномів. Лінійна апроксимація. Визначення коефіцієнтів лінійної регресії. Апроксимуючий поліном другого ступення і зведення його до лінійного виду. Композиційні плани. Матриця композиційного плану. Геометрична інтерпретація композиційного плану. Ортогональний центральний композиційний план. Таблиця для визначення величини «зіркового» плану. Ротатабельний композиційний план. Уніформність. Вибір «зіркового» плану в ротатабельних композиційних планах.

Тема 11. Статистична перевірка результатів імітаційних експериментів. Перевірка однорідності дисперсії: поняття однорідності дисперсії; схема перевірки гіпотези про одноріднісь дисперсій за критерієм Кохрена. Дії експериментатора при відхиленні гіпотези про однорідність дисперсії. Визначення більш точної оцінки дисперсії. Перевірка значущості коефіцієнтів регресії. Нуль-гіпотеза. Критерій Стьюдента. Схема перевірки. Причини статистичної незначущості коефіцієнтів регресії. Перевірка адекватності моделі. Статистична оцінка дисперсії адекватності. Критерії Фішера. Схема перевірки гіпотези адекватності моделі. Дії експериментатора при неадекватності моделі.

Тема 12. Планування експериментів при дослідженні та оптимізації систем. Планування експериментів при дослідженні систем. Схема оцінки впливу факторів за допомогою коефіцієнтів регресії. Головний ефект. Змішування оцінок. Генеруюче співвідношення. Визначальний контраст. Перший спосіб пошуку екстремуму функції відгуку. Другий спосіб пошуку екстремуму функції відгуку (метод Бокса – Уільсона). Рух у напрямі крутого сходження.

2. БЛОК НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНОГО  
ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ДО КОЖНОЇ ТЕМИ ДИСЦИПЛІНИ

Тема 1. ВСТУП ДО КУРСУ «ІМІТАЦІЙНЕ  МОДЕЛЮВАННЯ»

1.1. Методичні поради  до вивчення теми

Зміст теми. Одним з головних напрямів розвитку економіки України, а також вітчизняної науки і техніки є впровадження засобів інформатики і автоматизації в різні галузі суспільного виробництва, зокрема в проектування та управління виробництвом і технологічними процесами на базі використання сучасної високопродуктивної обчислювальної техніки і нової інформаційної технології. Широкий розвиток комп’ютеризації як самого виробництва, так і управління ним неможливий без застосування ефективних наукових методів аналізу й оптимізації складних економіко-організаційних систем. Адже завдяки саме цим методам вдається в повному обсязі реалізувати колосальні потенційні можливості прогресивних технологій і передової техніки. Серед наукових методів, які застосовуються в економіці, науці і техніці, особливе місце займають методи моделювання. Існують різні види моделювання: фізичне, макетне, математичне (аналітичне), імітаційне (машинне), аналогове, ситуаційне (ділові ігри). У даній темі імітаційне моделювання розглядається як особлива форма проведення машинних експериментів з економічними об’єктами. Подається характеристика напрямів використання імітаційного моделювання. Зазначається місце машинної імітації у розв’язанні проблем комп’ютеризації інформаційних процесів підприємств та установ.

Пояснення до теми. Під час вивчення цієї теми слід мати на увазі, що імітаційне моделювання є одним з високоефективних методів системного аналізу. Проте це не єдиний науковий інструмент розв’язання складних задач. Слід підкреслити роль і значення інших видів моделювання, зокрема фізичного моделювання, макетного моделювання, проведення досліджень за допомогою математичних моделей (аналітичне моделювання), аналогове моделювання, на основі якого було створено аналогові обчислювальні машини, налагоджено ситуаційне моделювання (ділові ігри), які в багатьох випадках включають як окремий елемент імітаційні моделі.

Незважаючи на таке розмаїття моделей, які існують в науці, економіці та техніці, усім моделям притаманна деяка спільна риса. Її суть полягає в наявності певної структури, котра може бути статичною чи динамічною, матеріальною чи уявною, що справді є подібною (або розглядається як така) структурі іншої системи. Таким чином, модель є природним чи штучним об’єктом, який перебуває в певній відповідності з досліджуваним об’єктом чи з деякими його характеристиками. У загальному розумінні моделювання можна визначити як метод опосередкованого пізнання, при якому досліджуваний об’єкт (оригінал) перебуває в деякій відповідності з іншим об’єктом (моделлю). При цьому об’єкт-модель здатний в тому чи іншому відношенні замінювати оригінал на деяких стадіях гносеологічного процесу.

Фізичне моделювання — це заміна вивчення досліджуваного явища в натурі вивченням аналогічного явища на моделі зменшеного чи збільшеного масштабу в спеціальних лабораторних умовах. Фізична модель дає змогу провести досліди з метою вивчення фізичної сутності явищ і отримання практичних уявлень про характер здіснення процесу. Цей вид експериментальних досліджень базується на подібності явищ, що супроводжують роботу натурної і модельної установок.

Два фізичних явища вважаються подібними, якщо сукупності величин, що характеризують сутність цих явищ, можуть бути перетворені за допомогою змінювання одиниць їх вимірювання. Тому при наявності подібності величини, що мають однакову фізичну розмірність, повинні мати однакові коефіцієнти подібного перетворення. Безрозмірні величини при цьому залишаються без змін, тобто є інваріантами подібного перетворення.

Будь-який комплекс, складений  з величин, що визначають це явище, можна  розглядати як деяку фізичну величину. Якщо цей комплекс є безрозмірним, то для класу подібних явищ він має одне й те саме числове значення, тому в теорії подібності й розмірності його прийнято називати критерієм подібності. Властивість критеріїв подібності залишатися незмінними при переході від одного фізичного явища до іншого використовується для встановлення умов подібності фізичних явищ. Такі умови визначаються так званою третьою теоремою теорії подібності.

Необхідні й  достатні умови подібності явищ полягають  у рівності числових значень визначальних критеріїв подібності, тобто критеріїв, утворених з величин, що входять до умови однозначності.

Сукупність  фізичних величин (включаючи відповідні розмірні фізичні константи), які  забезпечують однозначну визначеність досліджуваного явища, називаються системою визначальних параметрів. Кількість незалежних критеріїв подібності, утворених із системи визначальних параметрів, установлюється «p-теоремою», яка стверджує, що число безрозмірних комплексів (критеріїв подібності) дорівнює числу всіх величин, суттєвих для процесу, за мінусом числа первинних величин:

де  — відповідно число критеріїв подібності; усіх параметрів (у тому числі й безрозмірних), суттєвих для процесу; число первинних величин, за допомогою яких описуються розмірності визначальних параметрів.

Розглядаючи питання про фізичне моделювання, слід з’ясувати його відмінність від натурного моделювання. При натурному моделюванні в об’єкт, який необхідно дослідити, не вносять спеціальних змін, а саме натурне моделювання може здійснюватися або шляхом проведення експерименту під час виробничих процесів, або узагальненням виробничого досвіду чи натурних (експериментальних) даних. Фізичне моделювання передбачає створення спеціальних пристроїв, що мали б спільну з оригіналом фізичну природу. При цьому коректне використання результатів фізичного моделювання досягається за рахунок ізоморфності критеріїв подібності. Критерії подібності будь-якого явища можуть перетворюватися в критерії іншої форми за рахунок операцій множення чи ділення критеріїв, піднесення їх до ступеня або множення на будь-який постійний коефіцієнт.

Є два основних способи  утворення критеріїв подібності. Перший спосіб полягає в приведенні рівнянь фізичного процесу, що вивчається, до безрозмірного виду (метод інтегральних аналогів). Він базується на відомій властивості фізичних рівнянь: усі члени рівняння, що описує певний фізичний процес, мають однакові розмірності відносно основних одиниць вимірювання. Для визначення основних критеріїв подібності потрібно всі члени рівняння (нехай їх буде n) розділити на деякий із них, відкинути символи диференціювання й інтегрування, а також неоднорідні функції (трансцендентні, складні тощо). До отриманих у результаті цієї операції n – 1 основних критеріїв необхідно додати s додаткових критеріїв — аргументів, що входять у члени рівняння неоднорідних функцій. Таким чином, загальне число критеріїв подібності, знайдених способом інтегральних аналогів, складає n – 1 + s.

Як приклад розглянемо значення критерія подібності для випадку вимушених механічних коливань з демпфуванням. Нехай вантаж масою коливається на пружині з жорсткістю у в’язкому середовищі, а при переміщенні його на відстань з’являється сила опору, пропорційна швидкості переміщення вантажу і коефіцієнта . На вантаж діє збурююча сила . Диференційне рівняння цього процесу має вигляд

Розділивши всі члени  рівняння на перший член (на величину ), отримаємо відомий критерій Ньютона , а також два інші критерії . Оскільки в рівнянні є неоднорідна функція — синус, то потрібно ввести додатковий критерій (критерій гомохронності) , який має сенс лише за умови, що збурююча сила змінюється за синусоїдним законом.

Другий спосіб безпосередньо  базується на використанні «p-теореми». За відсутності рівнянь, які описують процес, що моделюється, основні труднощі застосування апарату теорії подібності й розмірності полягають в утворенні системи визначальних параметрів. Якщо система таких параметрів утворена, то при дослідженні натурних явищ на фізичних моделях не виникає ніяких теоретичних труднощів. Фізичне моделювання зводиться до розв’язання двох фактично окремих задач.

1. Розрахувати параметри фізичної моделі так, щоб фізичний процес, що матиме місце в моделі, був подібний відповідному процесу натурного зразка (реально існуючого чи гіпотетичного) — оригіналу.
2. За допомогою дослідження фізичної моделі розрахувати необхідні характеристики натурної установки.

Нехай система визначальних параметрів для оригіналу (натури) включає  величин , числові значення і формули розмірності яких відомі. Треба обчислити відповідні параметри фізичної моделі .

Як відомо, математичний опис будь-якої фізичної величини  
можна представити як добуток деякого числового значення її на  
розмірність . Тому . Оскільки , то перша задача фізичного моделювання зводиться до встановлення числових значень . Згідно з визначенням подібності фізичних явищ

де  — поки що невідомий масштабний коефіцієнт (константа подібності).

Рівняння  для визначення невідомих масштабних коефіцієнтів можна отримати шляхом прирівнювання однойменних критеріїв подібності, утворених із системи визначальних параметрів, і підстановкою співвідношення (1.2). Оскільки число критеріїв згідно з формулою (1.1) дорівнює , то і рівнянь для обчислення невідомих масштабних коефіцієнтів можна отримати стільки ж. Решта коефіцієнтів обираються довільно з урахуванням зручності побудови і експериментального дослідження фізичної моделі. Число , яке дорівнює числу первинних одиниць вимірювання K, іноді називають числом ступенів вільності моделювання. Якщо в систему визначальних параметрів входять безрозмірні величини, то вони самі є критеріями подібності й тому для моделі й натури їх числові значення збігаються.

Друга задача фізичного моделювання розв’язується методом аналізу розмірності вимірюваної на моделі характеристики процесу . Формула розмірності залежить від обраної системи одиниць вимірювання. Наприклад, для механічних вимірювань у міжнародній системі одиниць СІ (SI — System international) розмірність величини символічно може бути записана у вигляді

де квадратні  дужки, у яких розміщений символ величини , означає, що мова йде про розмірність одиниці даної величини, а символи означають узагальнені позначення одиниць довжини, маси та часу. Показники ступеня вважаються відомими.

З урахуванням (1.3) величина може бути записана у вигляді

.  (1.4)

Якщо числове значення цієї характеристики для фізичної моделі дорівнює , а для натури — , то неважко вивести формулу, яка встановлює зв’язок між цими величинами

,  (1.5)

де  — масштабні коефіцієнти для довжини, маси та часу.

Таким чином, якщо на фізичній моделі знайдено числове значення характеристики , то воно може бути перераховано на натурне явище за формулою

.  (1.6)

Слід зауважити, що методи теорії подібності й розмірностей застосовуються не лише при фізичному моделюванні, а і безпосередньо в техніко-економічних розрахунках.

З метою ілюстрування підходу розробки методики фізичного моделювання на основі використання «p-теореми» розглянемо дослідження, проведені одним із співавторів посібника (проф. В. Ф. Ситником) під час підготовки кандидатської дисертації. Була поставлена задача: дослідити параметри навантажувальної машини для навантаження гірських скельних порід, яка створювалася на принципово нових засадах. Робочий процес машини, що полягає у взаємодії робочого органу (ковша, гребка) з насипною породою (камінням), описати математично практично неможливо. Тому треба було створити імітаційну модель робочого органу, дослідити його в лабораторних умовах і на основі отриманих експериментальних даних розрахувати параметри і характеристики натурної машини.

Система визначальних параметрів включає 9 величин.

1. Лінійні розміри робочого органу, кусків скельного матеріалу, штабеля насипної породи — .
2. Швидкість руху робочого органу при взаємодії з породою — .
3. Об’ємна вага насипного матеріалу — .
4. Величина напірного зусилля (сила тяжіння маси гребка) — .
5. Прискорення сили тяжіння — .
6. Тривалість робочого циклу машини — .
7. Кутові величини (безрозмірні параметри) — , .
8. Коефіцієнт внутрішнього тертя насипного матеріалу (безрозмірний параметр) — .
9. Коефіцієнт тертя насипного матеріалу з металом робочого органу (безрозмірний параметр) — .

Згідно з формулою (1.1) із 9 визначальних параметрів можна утворити 6 незалежних критеріїв подібності. Безрозмірні величини самі є критеріями подібності, тому , тобто величини для фізичної моделі й натури мають бути одними й тими самими. Четвертим критерієм можна обрати число Фруда, яке використовувалося іншими дослідниками під час вивчення процесу випуску руди. Маємо . За допомогою загальних залежностей типу та можна утворити такі два критерії подібності (ділимо рівняння на один із членів та відкидаємо символи диференціювання) — і .

Отримана система критеріїв  подібності є замкнутою, оскільки вона включає всі визначальні параметри. З іншого боку, критерії подібності незалежні, тобто жоден з них не може бути отриманий з решти коефіцієнтів. Це дає змогу однозначно розв’язати задачі обчислення масштабних коефіцієнтів (констант подібності), маючи відомі параметри машини (реальної чи тієї, що проектується) , знайти визначальні параметри фізичної моделі . Згідно з формулою (1.2) ця задача зводиться до обчислення 9 масштабних коефіцієнтів . Перших три коефіцієнти дорівнюють одиниці ( ), оскільки вони відповідають безрозмірним визначальним параметрам. Для визначення решти 6 констант подібності є три критерії подібності, тобто мають місце три ступені вільності, що дає змогу, виходячи з міркувань зручності проведення фізичних експериментів, прийняти довільно три масштабних коефіцієнти: лінійний масштаб (наприклад, зменшити фізичну модель у десять разів порівняно з натурою, тобто = 0,1), .

Три інші константи подібності визначаємо за умови інваріантності критеріїв подібності, підставляючи в ці комплекси рівняння типу (1.2). Наприклад, з рівності маємо . Аналогічно отримаємо .

Користуючись формулою (1.6), можна обчислити прогнозовані характеристики натури за результатами дослідження фізичної моделі. У таблиці 1.1 подано розрахункові формули для деяких характеристик навантажувальної машини (наприклад, екскаватора).

Таблиця 1.1

Розглянемо на цьому  прикладі ідею застосування теорії подібності й аналізу розмірностей у техніко-економічних розрахунках. Один з можливих напрямів застосування полягає в тому, що характеристики деякого (існуючого) зразка машини (прототипу) беруться за базові величини, а характеристики геометрично і технологічно подібних машин розраховуються за формулами типу (1.6), тобто прототип машини виступає як фізична модель, характеристики якої установлені шляхом промислової експлуатації базової машини. У таблиці 1.2 для ілюстрації ідеї методу розрахунків за прототипом наведено приклади розрахунку (прогнозування) робочих характеристик 7 кар’єрних екскаваторів фірми «Маріон» (США), котрі випускаються з місткістю ковша 2,5; 3,0; 4,0; 6,0; 7,0; 8,0; 10,0 кубічних ярдів (1 кубічний ярд дорівнює приблизно 0,765 м²).

Машину типу 111М виберемо за прототип, а інші машини вважатимемо варіантами базової машини, характеристики яких необхідно знайти. Основний масштабний коефіцієнт прив’яжемо до місткості ковша (для прототипу він дорівнює 1). Решта коефіцієнтів, а також порівняльні результати розрахунків наведено в таблиці 1.2. У таблиці наведено такі позначення: — марка екскаватора, — місткість ковша, — масштабний коефіцієнт, , — розрахункове (прогнозне) і фактичне значення характеристики В, — відносна різниця між розрахунковим і фактичними значеннями характеристики у %, — робоча вага екскаватора (т), — потужність двигуна підняття породи (квт), — радіус черпання (м).

Таблиця 1.2