Перетворення фігур

 
Скачати реферат  Перетворення фігур 

 
Малоязовская башкирська гімназія                                   
 
 

Геометрія                                     
 
 

Реферат                                   

на тему:                            

"Перетворення  фігур"                                                 
 
 

Виконав: учень 10 Б класу                                                              

Халіуллін О.М.                                                  

Перевірила: Ісрафілова Р.Х.                                
 
 

Малояз 2003 
 
 

План:  

I. Перетворення.

II. Види  перетворень     

1. Гомотетія      

2. Подоба      

3. Рух

III. Види  руху      

1. Симетрія  відносно точки      

2. Симетрія  відносно прямої      

3. Симетрія  відносно площини      

4. Поворот       

5. Паралельний  перенос у просторі 
 
 

I. Перетворення - зміщення кожної точки даної  фігури яких-небудь

чином, та отримання нової фігури. 

II. Види  перетворення в просторі: подібність, гомотетія, рух.       
 

Подоба       
 

Перетворення  фігури F називається перетворенням  подібності, якщо при

цьому перетворенні відстані між точками змінюються в один і той же

кількість разів, тобто для будь-яких точок X і Y фігури F і точок X ', Y' фігури F ', в

які він  переходять, X'Y '= k * XY.       

Властивості подібності: 1. Подоба переводить прямі  в прямі, напівпрямі -

в напівпрямі, відрізки - у відрізки.      

2. Подоба  зберігає кути між напівпрямі    

3. Подоба  переводить площини в площині.

Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в іншу

перетворенням подібності.       

Гомотетія       

Гомотетія - найпростіше перетворення щодо центру O з

коефіцієнтом  гомотетии k. Це перетворення, яке переводить

довільну  точку X 'променя OX, таку, що OX' = k * OX.      

Властивість гомотетии: 1. Перетворенням гомотетии  переводить будь-яку

площину, не проходить через центр гомотетии, в паралельну площину

(Або в  себе при k = 1).      

Доказ. Дійсно, нехай O - центр гомотетии і (- будь-яка

площину, не проходить через точку O. Візьмемо будь-яку пряму AB в площині

(. Перетворення  гомотетии переводить точку A в точку A 'на промені OA, а

точку B в  точку B 'на промені OB, причому OA' / OA = k, OB '/ OB = k, де k -

коефіцієнт  гомотетии. Звідси випливає подобу трикутників AOB і A'OB '. З

подібності  трикутників слід рівність відповідних  кутів OAB і OA'B ',

а значить, паралельність прямих AB і A'B '. Візьмемо тепер іншу пряму AC

в площині (. Вона при гомотетии перейде  а паралельну пряму A'C '. При

розглянутої гомотетии площину (перейде у  площину (', що проходить

через прямі A'B ', A'C'. Так як A'B '| | AB і A'C' | | AC, то згідно теореми про двох

пересічних  прямих одній площині відповідно паралельними з

пересічними прямими іншій площині, площині (і ('паралельні,

що й  потрібно було довести.       

Рух      

Рухом - перетворення однієї фігури в іншу якщо воно зберігає

відстань  між точками, тобто переводить будь-які  дві точки X і Y однієї фігури

в точки X, Y іншої фігури так, що XY = XY       

Властивості руху: 1. Точки, що лежать на прямій, при  русі

переходить  до точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного

розташування. Це означає, що якщо A, B, C, що лежать на прямій, переходять у

точки A1, B1, C1. Те ці точки також лежать на прямій, якщо точка B лежить

між точками A і C, то точка B1 лежить між точками A1 і C1.       

Доказ. Нехай  точка B прямий AC лежить між точками A і C.

Доведемо, що точки A1, B1, C1 лежать на одній прямій.       

Якщо точка A1, B1, C1 не лежать на прямій, то вони є  вершинами

трикутника. Тому A1C1 <A1B1 + B1C1. За визначенням руху звідси

випливає, що AC <AB + BC. Однак по властивості  вимірювання відрізків AC = AB + BC.      

Ми прийшли  до протиріччя. Значить, точка B1 лежить на прямій A1C1.

Перше твердження теореми доведено.      

Покажемо  тепер, що точка B1 лежить між A1 і C1. Припустимо, що точка

A1 лежить  між точками B1 і C1. Тоді A1B1 + A1C1 = B1C1, і, отже,

AB + AC = BC. Але  це суперечить нерівності AB + BC = AC. Таким чином, точка A1

не може лежати між точками B1 і C1.      

Аналогічно  доводимо, що точка C1 не може лежати між  точками A1

і B1.      

Так як з  трьох точок A1, B1, C1 одна лежить між  двома іншими, то

цією точкою може бути тільки B1. Теорема доведена повністю.      

2. При  русі прямі переходять у прямі,  напівпрямі - у напівпрямі,

відрізки - у відрізки      

3. При  русі зберігаються кути між  напівпрямі.      

Доказ. Нехай AB і AC - дві напівпрямі, що виходять з  точки A,

не лежать на оной прямій. При русі ці напівпрямі переходять в

деякі напівпрямі A1B1 і A1C1. Так як рух зберігає відстань, то

трикутники ABC і A1B1C1 рівні по третьому ознакою  рівності

трикутників. З рівності трикутників слід рівність кутів BAC і

B1A1C1, що  й потрібно було довести.      

4. Рух  переводить площину в площину.       

Доведемо  цю властивість. Нехай (- довільна площину. Зазначимо на

ній будь-які  три точки A, B, C, що не лежать на одній  прямій. Проведемо через них

площину ('.      

Доведемо, що при даному русі площину (переходить у

площину ('.      

Нехай X - довільна точка площини (. Проведемо  через неї яку-

небудь  пряму a в площині (, що перетинає  трикутник ABXC в двох точках

Y і Z. Пряма  а перейде при русі в деяку  пряму a '. Точки Y і Z

прямий a перейдуть в точки Y 'і Z', що належать трикутнику A'B'C ', а

значить, площини ('.      

Отже пряма a 'лежить в площині ('. Точка X при  русі переходить

в точку X 'прямий a', а значить, і площини (', що і було потрібно

довести.             

У просторі, так само як і на площині, дві фігури називаються

рівними, якщо вони поєднуються рухом. 

III. Види  руху: симетрія відносно точки,  симетрія щодо

прямий, симетрія відносно площини, поворот, рух, паралельний

перенос.        

Симетрія  відносно точки      

Нехай О - фіксована точка і X - довільна точка  площини.

Відкладемо  на продовженні відрізка OX за точку O відрізок OX ', рівний OX. Точка

X 'називається  симетричною точці X відносно  точки O. Точка,

симетрична  точці O, є сама точка O. Очевидно, що точка, симетрична

точці X ', є точка X.       

Перетворення  фігури F у фігуру F ', при якому  кожна її точка X

переходить  у точку X ', симетричну відносно даної  точці O, називається

перетворенням симетрії відносно точки O. При цьому  фігури F і F '

називаються симетричними відносно точки O.

Якщо перетворення симетрії відносно точки O переводить фігуру F у

себе, то вона називається центрально-симетричною, а точка O називається

центром симетрії.      

Наприклад, паралелограм є центрально-симетричною  фігурою.

Його центром  симетрії є точка перетину діагоналей.        

Теорема: Перетворення симетрії відносно точки  є

рухом.      

Доказ. Нехай X і Y - дві довільні точки фігури F.

Перетворення  симетрії відносно точки O переводить їх у точки X 'і Y'.

Розглянемо  трикутники XOY і X'OY '. Ці трикутники рівні  за першою

ознакою рівності трикутника. У них кути при вершині O рівні як

вертикальні, а OX = OX ', OY = OY' з визначення симетрії відносно точки

O. З рівності  трикутників слід рівність сторін: XY = X'Y '. А значить,

що симетрія відносно точки O є рух. Теорема доведена.        
 

Симетрія  відносно прямої      

Нехай g - фіксована пряма. Візьмемо довільну точку X і

опустимо  перпендикуляр AX н пряму g. На продовженні  перпендикуляра за точку

A відкладемо  відрізок AX ', рівний відрізку AX. Точка  X 'називається симетричною

точці X відносно прямої g. Якщо точка X лежить на прямій g, то

симетрична  їй точка є сама точка X. Очевидно, що точка, симетрична

точці X ', є точка X.      

Перетворення  фігури F у фігуру F ', при якому  кожна її точка X

переходить  у точку X ', симетричну відносно даної  прямої g, називається

перетворенням симетрії відносно прямої g. При цьому  фігури F і F '

називаються симетричними відносно прямої g.      

Якщо перетворення симетрії відносно прямої g переводить фігуру

F в себе, то ця фігура називається симетричною  відносно прямої g, а

пряма g називається  віссю симетрії фігури.       

Наприклад, прямі, що проходять через точку  перетину діагоналей

прямокутника  паралельно його сторонам, є осями  симетрії

прямокутника. Прямі на яких лежать діагоналі ромба, є його осями

симетрії.        

Теорема: Перетворення симетрії відносно прямої є

рухом.      

Доказ. Приймемо дану пряму за вісь у декартової системи

координат. Нехай довільна точка A (x; y) фігури F переходить в точку A '

(X '; y') фігури F '. З визначення симетрії відносно  прямої слід,

що біля точок A і A 'рівні ординати, а абсциси  відрізняються тільки знаком: x'

=-X.      

Візьмемо  дві довільні точки A (x; y) і B (x; y). Вони перейдуть у

точки A '(-x; y) і B' (-x; y).      

Маємо:            

AB2 = (x2-x1) 2 + (y2-y1) 2            

A'B'2 = (-x2 + x1) 2 + (y2-y1) 2      

Звідси  видно, що AB = A'B '. А значить, що перетворення симетрії

відносно  прямої є рух. Теорема доведена.       
 
 

Симетрія  відносно площини      

Нехай a - довільна фіксована площину. З точки X фігури

опускаємо перпендикуляр XA на площину a і на його продовження за точку

Aоткладиваем  відрізок AX ', рівний XA. Точка X 'називається  симетричною точці

X відносно  площини a, а перетворення, яке  переводить X в

симетричну  їй точку X ', називається перетворенням  симетрії відносно

площині a.      

Якщо точка X лежить у площині a, то вважається, що точка X переходить

в себе. Якщо перетворення симетрії відносно площини a переводить

фігуру  в себе, то фігура називається симетричною  відносно площини a,

а площину a називається площиною симетрії цієї фігури.       

Поворот      

Поворот площини близько даної точки  називається такий рух, при

якому кожний промінь, що виходить із точки, повертається на один і той же

кут в  одному і тому ж напрямку. 

Це означає, що якщо при поворот близько точки O точка переходить у точку X ',

то промені OX і OX 'утворюють один і той же кут, яка б не була точка X.

Цей кут  називається кутом повороту. Перетворення фігур при повороті

площині також називається поворотом.      

Паралельний перенос у просторі        

Паралельним перенесенням в просторі називається  таке

перетворення, при якому довільна точка (x; y; z) фігури переходить в

точку (x + a; y + b; z + c), де числа a, b, c одні й ті ж  для всіх точок (x; y;

z). Паралельний  переносів просторі задається  формулами                       

x '= x + a, y' = y + b, z '= z + c,

виражають координати x ', y', z 'точки, в яку переходить точка (x; y;

z) при  паралельному перенесенні. Так  само, як і на площині, доводяться

такі властивості  паралельного переносу:      

1. Паралельні  перенесення є рух.      

2. При  паралельному перенесенні точки  зміщуються вздовж паралельних  (або

співпадаючим) прямим на одне і те ж відстань.      

3. При  паралельному перенесенні кожна  пряма переходить у паралельну

їй пряму (або в себе).       

4. Які  б не були точки A і A ', існує  єдиний

паралельний перенос, при якому точка A переходить в точку A '.      

Новим для  паралельного переносу в просторі є  наступне

властивість:        

5. При  паралельному перенесенні в просторі  кожна площина

переходить  або в себе, або в паралельну її площину.       
 

Дійсно, нехай (- довільна площину, проведемо в  цій

площині дві пересічні прямі a і b. При паралельному перенесенні прямі

a і b переходять  або в себе, або в паралельні  прямі a 'і b'. Площина

(Переходить  у деяку площину (', що проходить  через прямі a' і b '. Якщо

площину ('не збігається з (, то згідно теореми  про двох пересічних прямих

одній площині  відповідно паралельними з пересічними  прямими

іншій площині, вона паралельна a, що й потрібно було довести.