Применение математических методов в биологии

Содержание 

1. Динамические  модели..................................................................................3
2. Применение математических методов.......................................................5
3. Роль теории вероятностей и математической статистики........................6
1. Биологическая изменчивость и вероятность.......................................6
4. Многообразие математических методов....................................................7
5. Список использованной литературы.........................................................10
6. Приложение.................................................................................................11
1. Примеры решения биологических задач............................................11

ДИНАМИЧЕСКИЕ  МОДЕЛИ. 

            Все живые существа рождаются, растут, а затем стареют, претерпевают непрерывные изменения и превращения и, в конце концов, умирают; иными словами, все они всегда вовлечены в какие-то динамические процессы развития во времени. В мире неживой природы также непрерывно протекают различные динамические процессы, и некоторые философы, как, например, Гераклит Эфесский в Древней Греции, положили понятие непрерывного изменения и движения в основу своего мировоззрения.

          Живые существа с их саморегуляцией, способностью к приспособлению, целенаправленной активностью и сложными схемами поведения труднее втиснуть в рамки общих математических законов. При математическом описании статических структур были детально рассмотрены пчелиные соты, листорасположение у растений и форма раковины у моллюсков. Даже здесь мы не могли не коснуться процесса роста и развития, в результате которого появилась рассматриваемая структура, и естественно, что этот процесс до некоторой степени определяет выбор соответствующего математического метода. Однако нам необходимо исследовать более конкретно те ситуации, в которых динамическое изменение и развитие обнаруживаются в явной форме с самого начала. По-видимому, наиболее простыми процессами такого рода являются развитие индивидуума и рост популяции. Впервые эти вопросы широко рассмотрел Кетле в 1835 г. в своей знаменитой книге "Essai de Physique Sociale".

            Очевидно, что вес и еще один-два простых показателя лишь довольно грубо описывают развитие отдельного индивидуума. Тем не менее, общепризнанно (и совершенно правильно), что такие показатели, если уделяется должное внимание и другим факторам, весьма полезны в качестве ориентира.

            Кривые значений веса и роста и их приращений могут быть точно описаны математически. Иногда в литературе сообщается о том, что для подбора многочленов высокого порядка, возможно точнее описывающих полученную экспериментальную кривую, были выполнены громоздкие вычисления. По общепризнанному мнению, вряд ли стоит это делать. Кривая, построенная от руки и проходящая через все точки кривой, дает практически всю требуемую информацию. В частности, графики приращений веса или роста совпадают не только с повседневными наблюдениями, показывающими, что в некоторых интервалах времени вес почти не меняется, а в других быстро растет, особенно в период полового созревания, но и хорошо согласуются с результатами более детальных физиологических и биохимических исследований. Таким образом, измерение роста или веса дает некоторую количественную информацию о жизнедеятельности растущего организма и элементарно характеризует динамику процесса развития.

             Обратимся теперь к росту популяции в целом. Под популяцией мы обычно понимаем совокупность определенного числа индивидуумов (возможно, различающихся по возрасту и полу), а не совокупность результатов измерений какого-либо физического признака. Очевидно, что число организмов в популяции представляет собой лишь один аспект в бесконечном многообразии биологического материала. Тем не менее, эта величина служит важным ключом к пониманию поведения всей группы в целом и предоставляет широкие возможности для математического исследования. Во многих биологических работах исследуются такие проблемы, как развитие и эволюция видов, конкуренция между видами, влияние факторов окружающей среды, распространение эпидемий и т. д. Ни одно из этих исследований не может быть сколько-нибудь точным, если оно не начинается с построения некоторой достаточно приемлемой математической модели рассматриваемой популяции.

             Одна из простейших моделей роста популяции принадлежит Т. Мальтусу, который в конце XVIII в. заметил, что популяции имеют тенденцию увеличиваться с геометрической прогрессией. Мальтуса беспокоило то, что, по его мнению, средства существования могут возрастать только в арифметической прогрессии и что рано или поздно их станет недостаточно. В природе численность большинства живых существ действительно способна увеличиваться в геометрической прогрессии, однако рост популяций в достаточной мере сдерживают такие факторы, как борьба за существование, болезни, естественная гибель и уничтожение хищниками. Обычно если популяция начинает развиваться в среде с достаточным количеством пищи и при относительно небольшом количестве хищников, то сначала ее численность растет очень быстро. С течением времени запасы пищи истощаются, перенаселенность приводит к условиям, менее благоприятным для выживания, плодовитость снижается и смертность увеличивается. При определенных условиях достигается равновесное состояние, и численность популяции становится более или менее постоянной. Очевидно, что очень важно знать точное соотношение между численностью популяции в различные моменты времени и скоростями размножения и гибели.

             Математическую форму этой типичной S-образной кривой роста популяции впервые получил Ферхюльст, современник Кетле. Он использовал следующий подход. Во-первых, удобно рассматривать численность популяции p как непрерывную переменную, что вполне допустимо, если n довольно велико. Во-вторых, рассматривается непрерывное время t, а не дискретные поколения. Допустим, что средняя скорость роста популяции при благоприятных условиях составляет t на одного индивидуума, так что за время dt численность популяции увеличивается на mndt. Это означает, что dn = mndt. Поэтому изменение численности популяции описывается дифференциальным уравнением

dn/dt=mn,                  (1.1)

решение которого имеет вид  

p=аеmt,                      (1.2) 

где а - число индивидуумов в начальный момент времени t = 0. Экспоненциальный рост непрерывной популяции в непрерывном времени, описываемый формулой (1.2), эквивалентен геометрической прогрессии для дискретной численности популяции в предположении дискретной смены поколений.

              Приведенные выше уравнения (1.1) и (1.2) напоминают уравнения движения, получаемые при математическом описании динамических систем. Даже в том случае, если размер популяции испытывает заметные колебания, можно все же применять эти уравнения, полагая, что они относятся к средним значениям. Однако необходимо иметь в виду следующее важное обстоятельство. Для некоторых простых явлений, как, например, размножение, гибель и миграция, можно спокойно пренебречь присущей им заметной изменчивостью и выводить уравнения движения для средних значений, как если бы эти средние значения были фактически наблюдаемыми величинами, не подверженными воздействию статистических колебаний. В то же время при исследовании, например, конкуренции между видами, развития эпидемий и вообще любых процессов, в которых участвуют взаимодействующие группы, средние значения, получающиеся из уравнений, выведенных при допущении об отсутствии статистических колебаний, обычно отличаются от истинных средних значений.             

              Практическое значение математических моделей, рассмотренных в данном разделе, состоит в том, что они дают предварительное количественное представление об изучаемых процессах. Используемые в них параметры (например, скорость размножения) имеют определенный биологический смысл, и это позволяет проверить соответствие модели тому реальному процессу, который, как предполагается, она описывает. На основании полученных данных можно вычислить соответствующие значения параметров и использовать их как основу для дальнейшего исследования. 
 

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ. 

          Математические описания, связанные с биологическими формами, охватывают широкий круг вопросов и могут быть проведены достаточно точно. Мы познакомились с динамическими моделями развития и коснулись проблем, связанных со случайными колебаниями численности популяций. Изложение этих вопросов требовало достаточной степени абстракции, однако именно использование упрощающих допущений позволило нам получить некоторое представление о законах, регулирующих рост популяций. Было отмечено, что при рассмотрении такого рода проблем неизбежно приходится сталкиваться с фактором статистической изменчивости.

          При переходе на более высокие уровни абстракции мы сталкиваемся не только с более сложными вопросами, но и с возрастающей степенью изменчивости, по большей части непредсказуемой. Например, полная картина конкуренции между несколькими видами, обитающими в определенной среде, включает огромное множество факторов. В области научных экологических описаний, выполненных главным образом в словесной форме, достигнуты значительные успехи, однако разработка математических моделей находится здесь еще на самом элементарном уровне.

          В тех случаях, когда задача содержит большое число существенных взаимозависимых факторов, каждый из которых в значительной мере подвержен естественной изменчивости, только с помощью правильно выбранного статистического метода можно точно описать, объяснить и углубленно исследовать всю совокупность взаимосвязанных результатов измерений. Если число факторов или важных результатов настолько велико, что человеческий разум не в состоянии их обработать даже при введении некоторых статистических упрощений, то обработка данных может быть произведена на электронной вычислительной машине.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РОЛЬ  ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. БИОЛОГИЧЕСКАЯ ИЗМЕНЧИВОСТЬ И ВЕРОЯТНОСТЬ. 

         Известно, что отдельные представители любого данного вида могут значительно отличаться друг от друга по весу или размерам тела, и обычно идея описания популяции средними показателями не встречает серьезных возражений. Вес и рост - настолько знакомые для большинства из нас показатели, что усредненные кривые роста или таблицы среднего веса для людей определенного возраста, пола и роста принимают за стандарты, позволяющие судить о степени отклонения от нормы в каждом конкретном случае.

Упорядоченность и регулярность легко обнаруживаются лишь в средних значениях, взятых по большому числу индивидуумов. Поэтому при использовании общей кривой среднего веса в качестве стандарта для суждения о развитии отдельного индивидуума необходимо проявлять большую осторожность. И если не предпринимать серьезных попыток разработать надлежащие математические методы, то это только уменьшит возможность точного описания биологических процессов.

           Как хорошо известно, одним из самых плодотворных способов описания характера изменчивости является применение соответствующего закона распределения, который определяет вероятность того, что результат измерения какого-либо параметра индивидуума, выбранного случайным образом, будет иметь любое заданное значение или лежать в определенном интервале значений. Такие непрерывные параметры, как рост, вес и т. п., нередко удовлетворительно описываются кривой нормального, или гауссова, распределения (несмотря на то, что теоретически эта кривая лежит в интервале от - Г до +Г)  

Y = (s

где m - математическое ожидание, а s - среднее квадратическое отклонение. Если такая кривая применяется для описания распределения людей по росту, то вероятность того, что рост данного человека находится в интервале от x₁ до x₂, равна  

          Нормальное распределение является одним из простейших с точки зрения математики. Кроме того, существует ряд теоретических оснований, позволяющих предполагать, что многие распределения, встречающиеся на практике, должны быть близки к нормальному, и это предположение действительно часто подтверждается. Этих соображений вполне достаточно для того, чтобы нормальное распределение заняло важное положение в теории вероятностей и математической статистике.

           Применение распределений вероятностей - отнюдь не новый способ описания биологической изменчивости. Френсис Гальтон широко применял кривую нормального распределения при статистическом исследовании наследственности, и она сыграла фундаментальную роль в глубокой работе Карла Пирсона по вопросам биометрии, написанной в конце прошлого века. С тех пор различные типы распределений начали применять в самых разнообразных областях биологии - в молекулярной биологии, таксономии, экологии, генетике, психологии и т. д.  
 

МНОГООБРАЗИЕ  МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ. 

           Часто обнаруживается, что исследования, ведущиеся на стыке нескольких научных дисциплин, оказывают особенно плодотворное воздействие на широкий круг проблем. Именно такой областью является генетика, которая связана не только с наследственностью, но и с физиологией, биохимией, экологией, эмбриологией, психологией, патологией, судебной медициной и т. д., не говоря уже о множестве математических методов, которые были разработаны и используются в генетических исследованиях. Таким предметом является и сама прикладная математика. Попытки решить частные задачи, возникающие в каких-то конкретных обстоятельствах, могут привести к разработке общих математических идей, которые не только позволяют решить первоначальные задачи, но и оказываются применимыми в совершенно иных областях.

           Так называемые уравнения математической физики и связанные с ними специальные функции находят применение в самых различных биологических и социологических задачах: гипергеометрические функции и многочлены Якоби встречаются в теории распространения эпидемических заболеваний; функции Бесселя позволяют исследовать процессы массового обслуживания в медицинских учреждениях; гамма - функции используются для определения наиболее вероятного диагноза.

          Значение математики для науки заключается в том, что она дает исключительно точный язык и систему понятий, позволяющие исследовать самые разнообразные вопросы. Мы начинаем с простого счета и измерения, а затем постепенно вводим все более сложные идеи, соответствующие требованиям стоящих перед нами задач.

           Математический подход не только облегчает точное количественное описание определенной задачи путем построения той или иной подходящей модели, но и дает (или может дать) средство к решению этой задачи. Математические уравнения могут быть неразрешимы аналитическим путем, однако ценные с научной точки зрения результаты можно получить и с помощью соответствующих аппроксимаций, численных расчетов для большого числа частных случаев, моделирования и т. д.

          Если же задача сформулирована неудовлетворительно или принятая модель недостаточно реалистична, то при любом количестве абсолютно точных математических выкладок будет получен ошибочный результат. Основной проблемой прикладной математики является выбор первоначальной математической модели, и ни в одной области знания это не чувствуется так остро, как в биологии и медицине.

          Рассмотрим изолированную группу равномерно общающихся друг с другом восприимчивых индивидуумов. В эту группу попадает единственный зараженный индивидуум, в результате чего заболевание начинает распространяться. В простейшем случае допускается, что случаи выздоровления не имеют места (или наступают через очень длительный промежуток времени и ими можно пренебречь, поскольку рассматриваются начальные стадии болезни). Не представляет труда построить простую стохастическую модель, до некоторой степени аналогичную простой модели процесса размножения. Внутреннюю динамику процесса описывает система дифференциально-разностных уравнений, подобная системе. Точные аналитические решения этой системы возможны, но они очень сложны. 

          Поскольку речь идет о существующих методах решения, одним из них является последовательное решение дифференциальных уравнений, начиная с простейшего. К сожалению, при этом для отыскания решения в общем виде требуются очень громоздкие и длительные математические выкладки. Более разумный путь - использование преобразований Лапласа искомых вероятностей, так как оперировать с ними весьма удобно; правда, при обратном переходе к вероятностям возникают определенные трудности, но имеются некоторые математические приемы, позволяющие облегчить эту работу.

         Другой возможный подход - применение какой-либо производящей функции (такого многочлена от переменной x, что коэффициент при x_r равен p_r(t), т. е. вероятности того, что в момент t будет наблюдаться r случаев заболевания). Это позволяет привести систему дифференциально-разностных уравнений к одному дифференциальному уравнению в частных производных параболического типа второго порядка, которое может быть точно решено, хотя и с некоторыми трудностями. С помощью этого единственного уравнения можно, вероятно, определить многие свойства исследуемого процесса, однако это еще дело будущего.

           Из всего сказанного видно, сколь велико число различных способов получения математического решения любой данной задачи. Что именно можно сделать в каком-либо конкретном случае, зависит от математических знаний и навыков исследователя и от наличия вычислительной техники. Такое многообразие методов служит гарантией того, что в будущем настойчивые усилия будут вознаграждены хотя бы частичным успехом.

           В последние годы много говорят о применении теории информации. Ни один биолог не сомневается в исключительной важности этого предмета. При решении вопросов, связанных с передачей информации в обычном смысле слова, значительное преимущество проведения точного анализа с помощью моделей, в которых используется математическое понятие количества информации, очевидно. Споры ведутся о том, в какой степени понятия теории информации можно применять в совершенно иных областях исследования. Так, при изучении кодирующей роли ДНК в синтезе белка может быть принят криптографический подход. Такие задачи связаны главным образом с хранением и передачей информации (надлежащим образом определенной и измеренной).

           С точки зрения потери информации можно также изучать такие проблемы, как заболевания дегенеративного характера, лучевое повреждение, старение и смерть. Как известно, организмы могут жить и размножаться, несмотря на некоторые дефекты в той генетической информации, которую они в себе несут. В результате увеличения числа таких ошибок под влиянием облучения организмы, которые ранее были близки к летальному пределу, но все же обладали некоторой жизнеспособностью, могут вообще оказаться нежизнеспособными. Это положение можно сформулировать в понятиях теории информации, предположив, что под влиянием облучения повышается частота мутаций, или, что равнозначно, уровень шума в канале связи. Вследствие этого пропускная способность канала уменьшается в такой степени, что у некоторых организмов передача достаточно точных сообщений оказывается невозможной.

           Информационный подход в сочетании с принципом отрицательной обратной связи позволил разработать большое число интересных моделей биологических систем управления. Такие модели особенно полезны в приложении к физиологии, где они позволяют выяснить многие вопросы, касающиеся механизма гомеостаза. На этом фундаменте построена новая наука - кибернетика, охватывающая любые процессы управления в самых разнообразных системах - технических, биологических и социальных.

           Основанная на чисто топологических соображениях теорема Розена гласит, что в любом организме, каким бы простым или сложным он ни был, имеются некоторые компоненты, регенерация которых невозможна.

           Например, при наличии ядра цитоплазма отдельной клетки может регенерировать, однако разрушенные ядра не способны к регенерации. Розен доказал также другую теорему: если некоторый компонент организма, не способный к регенерации, получает входные воздействия непосредственно из внешней среды, то утрата этого компонента приведет к гибели всего организма. Применение топологического подхода при изучении головного мозга дало возможность получить лишь общую абстрактную модель различных функций мозга, позволяющую по-новому взглянуть на важные реляционные аспекты поведения.

            Подлинное значение этих более абстрактных математических исследований еще не получило достойной оценки. Простые модели легко описать, объяснить и проверить. Но чем больше степень абстракции, тем труднее понять, в какой степени связаны между собой модель и реальное явление и не выхолощена ли эта модель настолько, что перенос любых выводов, полученных с ее помощью, на реальную действительность будет малооправданным. Если через некоторое время окажется, что математические модели реляционного типа дают полезные результаты (а это весьма возможно), то, значит, затраченные усилия не пропали даром. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  использованной литературы: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение. 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ БИОЛОГИЧЕСКИХ  ЗАДАЧ. 

Пример 1. В среду с определёнными условиями существования вносят популяцию из 100 бактерий. Численность популяции возрастает по закону: 

                                                     , где t выражено в часах.

 Найти максимальный  размер этой популяции до момента  её угасания. 

Решение. Найдём производную от функции z(t): 

                             ; 

, но – 1 не удовлетворяет условию задачи, значит необходимо рассмотреть поведение производной функции в окрестности точки 1. 

Видно, что  1 – точка максимума. 

А это и говорит  о том, что в момент времени t = 1 (час) популяция достигнет своего наибольшего значения (будет иметь максимальный размер). 

Тогда,  (бактерий). 

Ответ: 150 бактерий. 

Пример 2. Смена в некоторой экологической системе подчиняется принципам периодичности и цикличности (луг – болото, болото  – луг). Нам известен закон, по которому она происходит:

                                          , где t – время. Требуется найти размах между циклами смены (т.е. найти разницу между положениями "болото" и "луг" на графике функции h(t)).  

Решение. Для определённости будем считать, что наибольшему значению функции h(t) соответствует положение "луг", а наименьшему  –  "болото". 

Преобразуем функцию h(t):

              .

 Для того  чтобы найти наибольшее и наименьшее  значения данной функции, необходимо  отыскать её область значений. 

В силу того, что             .

 То, следовательно,                   . 

 где 8  –   наибольшее значение функции  ("луг"), а 6  –  наименьшее ("болото"). 

Тогда размах равен 8 – 6 = 2. 

Ответ: 2. 
 

Пример 3. Какая популяция живых организмов развивается со скоростью возрастания численности элементов популяции, пропорциональной числу особей, входящих в неё. Найти закон развития популяции, если в начале наблюдения число элементов равно N₀ = 10, а через 10 минут N = 100. 

Решение. Пусть x  –   количество элементов популяции, имеющихся в данный момент. Тогда согласно условию задачи получим уравнение: 

                                  , где k – коэффициент пропорциональности (k > 0, т.к. численность особей увеличивается).  

Следовательно,           

                                 .

Почленно интегрируем  полученное равенство:

                   , где lnC  – произвольная константа интегрирования. 

В нашем случае x = N, C = N₀, t = 10 (мин) = (ч). 

Найдём 

                         .

Окончательно  имеем: N = N₀ * 10⁶t  – закон развития популяции (время выражено в часах). Данная популяция –   бактерии. 

Ответ: бактерии; N = N₀ * 10⁶t.