Видатний математик Пьєр де Ферма

Міністерство аграрної політики України

Верхівський   коледж

Вінницького державного аграрного університету

Реферат

з предмету: математика

        на тему:

«Видатний математик Пьєр де Ферма»

                                               Виконав ст. І к. гр. ЗП-11

                                     Стеценко Сергій

                    Перевірила : Мостовик М.М.

Верхівка 2009 рік.

План

1.Біографія.

2. Наукові праці.

Пьер де Ферма

Аналитик, будь честен!

Иначе ночью Эквидомид-мститель

Сожмет твое горло смертельной тоской...

Луи Феррон, “Опыт мюидальной геометрии”

Пьер, син Доминика Ферма, буржуа й другого  консулату міста Бомона, хрещений 20 серпня 1601 р.  Хресний батько - Пьер Ферма, купець і брат названого Доминика, хресна мати - Жанна Казнюв й я” . Підпис відсутня, але попередній запис підписаний: “Дюма, вікарій” . Цей документ шукали півтора століття й виявили лише в 1846 р. завдяки зусиллям адвоката Топиака. До цього вважалося, що Ферма народився й умер у Тулузі, де 34 (!) року справно служив чиновником касаційної палати Тулузского парламенту. Маленьке містечко Бомон на левом бережу Гаронни поблизу Монтабане-на-Тарне (у Франції більше 30 Бомонов) і всі його п'ять тисяч жителів донині не в силах усвідомити значимість знахідки допитливого адвоката. Тут народилася великий Ферма, останній математик-алхімік, що вирішував дозвільні задачі прийдешніх сторіч, найтихіший суддівський гачок, лукавий сфінкс, що замучив людство своїми загадками, обережний і ґречний чинуша, підтасовувач, інтриган, домосід, заздрісник, геніальний компілятор, один із чотирьох титанів математики нового часу.

Цей сучасник Д'артаньяна майже не виїжджав з Тулузи, де осів після одруження з кузиною своєї матері Луїзі де Лон, дочки радника того-самого парламенту.  Завдяки тестеві він дослужився до звання радника й придбав жадану приставку “де” . Син третього стану, практичний нащадок багатих шкіряників, нашпигований латинню й францисканским благочестям, він не ставив перед собою грандіозних задач у реальному житті. Він мав п'ятьох чад, у наслідку ставших суддівськими чиновниками й священиками. Дві дочки Ферма прийняли чернецтво.

У своє бурхливе століття він прожив ґрунтовно й тихо.

Він не писав філософських трактатів, як Декарт, не був наперсником французьких королів, як Виет, не воював, не подорожував, не створював і не відвідував математичні кружки, не мав учнів і майже не друкувався при житті.  Чиновникам провінційних судів пропонувалося жити відлюдно, уникаючи будь-яких проявів публічності.  Імовірно Ферма, уважаючи себе солідною людиною, соромився своєї пристрасті до дозвільних формальних ігор. На схилі віку наш герой пише: “Тому що, говорячи відверто, я вважаю геометрію найвищою вправою для розуму, але одночасно настільки марним, що я роблю мало розходження між людиною, що займається тільки геометрією, і митецьким ремісником. Я називаю геометрію самою прекрасною професією у світі, але все-таки тільки професією, і я часто говорю, що вона гарна для проби сил, але не для того, щоб вкладати в неї всі сили...” . Він змінив собі лише перед смертю, опублікувавши в Тулузі далеко не самі блискучі зі своїх знахідок у невеликому трактаті “Про порівняння кривих ліній прямими” . Не виявивши ніяких свідомих претензій на місце в історії, Ферма зненацька вмирає у віці 64 років під час поїздки в службових справах.

Його прижиттєва популярність заснована на  

рясній переписці, у якій він дошкуляв друзів і недругів незвичайними задачами. Його посмертна слава розрослася завдяки скромним позначкам на полях “Арифметики” Диофанта. Звичайно людству необхідно кілька десятків років, щоб розібратися зі спадщиною чергового невгамовного генія. Навіть такий загадковий “обранець богів” як Эварист Галуа випередив свій час максимум на 60 років. На остаточне осмислення загадок Ферма знадобилося без малого чотири століття. Ах, Ваша честь, найдобріший пан Пьер, чому від Вас так пахне сіркою?

Інтерес до математики позначився у Ферма якось

зненацька й у досить дійшлій вік. В 1629 р. у його руки попадає латинський переклад роботи Паппа, що містить коротке зведення результатів Аполлония про властивості конічних перетинів. Ферма, поліглот, знавець права й античної філології, раптом задається метою повністю відновити хід міркувань знаменитого вченого. З таким же успіхом сучасний адвокат може спробувати самостійно відтворити всі докази в монографії по алгебраїчній топології.  Однак, немислиме підприємство увінчується успіхом.  Більше того, вникаючи в геометричні побудови древніх, він робить дивне відкриття: для знаходження максимумів і мінімумів площ фігур не потрібні хитромудрі креслення. Завжди можна скласти й вирішити якесь просте алгебраїчне рівняння, коріння якого визначають экстремум. Він придумав алгоритм, що стане основою диференціального вирахування. В обривках листів, у незавершених рукописах крізь громіздкі вербальні позначення на латині чітко проступає щось болісне знайоме:

. Він швидко просунувся далі. Він знайшов достатні умови існування максимумів, навчився визначати крапки перегину, провів дотичні до всім відомим кривим другого й третього порядку. Ще кілька років, і він знаходить новий чисто алгебраїчний метод знаходження квадратур для парабол і гіпербол довільного порядку (тобто інтегралів від функцій виду yp = Cxq й ypxq = З ) , обчислює площі, об'єми, моменти інерції тіл обертання. Це був дійсний прорив. Почуваючи це, Ферма починає шукати спілкування з математичними авторитетами того часу. Він упевнений у собі й жадає визнання.

В 1636 р. він пише перший лист Його преподобію

Марену Мерсенну:” Святий батько! Я Вам надзвичайно вдячний за честь, що Ви мені зробили, подавши надію на те, що ми зможемо розмовляти письмово;... Я буду дуже рад довідатися від Вас про всі нові трактати й книги по Математиці, які з'явилася за останні п'ять-шість років.... Я знайшов також багато аналітичних методів для різних проблем, як числових, так і геометричних, для рішення яких аналіз Виета недостатній. Всім цим я поділюся з Вами, коли Ви захочете, і притім без усякої зарозумілості, від якого я більше вільний і більше далекий, чим будь-яка інша людина на світі.” Хто такий батько Мерсенн? Це францисканский чернець, учений скромних дарувань і чудовий організатор, у плині 30 років математичний кружок, що очолював паризький, що став справжнім центром французької науки. У наслідку кружок Мерсенна указом Людовика XIV буде перетворений у Паризьку академію наук. Мерсенн невпинно вів величезну переписку, і його келія в монастирі ордена минимов на Королівській площі була свого роду “поштамтом для всіх учених Європи, починаючи від Галилея й кінчаючи Гоббсом” . Переписка заміняла тоді наукові журнали, які з'явилися значно пізніше. Збіговиська в Мерсенна відбувалися щотижня. Ядро кружка становили самі блискучі натуралісти того часів: Робервиль, Паскаль-отец, Дезарг, Мидорж, Арди й звичайно ж знаменитий і повсюдно визнаний Декарт. Рене дю Перон Декарт (Картезий) , дворянська мантія, два родових маєтки, основоположник картезіанства, “батько” аналітичної геометрії, один із засновників нової математики, а так само друг і товариш Мерсенна по єзуїтському коледжі.  Ця чудова людина стане кошмаром для Ферма.

Мерсенн порахував результати Ферма досить

цікавими, щоб увести провінціала у свій елітний клуб. Ферма відразу зав'язує переписку з багатьма членами кружка й буквально засинає листами самого Мерсенна. Крім того він відсилає на суд учених чоловіків закінчені рукописи: “Введення до плоских і тілесних місць” , а рік по тому - “Спосіб відшукання максимумів і мінімумів” й “Відповіді на питання Б. Кавальери” . Те, що викладала Ферма була абсолютна новина, однак сенсація не відбулася. Сучасники не здригнулися. Вони мало, що зрозуміли, але зате знайшли однозначні вказівку на те, що ідея алгоритму максимізації Ферма запозичив із трактату Иоханнеса Кеплера із забавною назвою “Нова стереометрія винних бочок” . Дійсно, у міркування Кеплера зустрічаються фрази типу “Об'єм фігури найбільший, якщо по обох сторони від місця найбільшого значення убування спочатку невідчутно” . Але ідея малості приросту функції поблизу экстремума зовсім не носилася в повітрі. Кращі аналітичні розуми того часу були не готові до маніпуляцій з малими величинами. Справа в тому, що в той час алгебра вважалася різновидом арифметики, тобто математикою другого сорту, примітивним підручним засобом, розробленим для потреб низинної практики (“добре вважають тільки торговці” ) . Традиція пропонувала дотримуватися сугубо геометричних методів доказів, що сходять до античної математики. Ферма перший зрозумів, що нескінченно малі величини можна складати й скорочувати, але досить важко зображувати у вигляді відрізків.

Знадобилося майже сторіччя, щоб Жан

д'аламбер у знаменитій “Енциклопедії” визнала: “Ферма був винахідником нових вирахувань. Саме в нього ми зустрічаємо перший додаток диференціалів для знаходження дотичних” . Наприкінці XVIII століття ще більш виразно висловиться Жозеф Луи граф де Лагранж: “Але геометри - сучасники Ферма - не зрозуміли цього нового роду вирахування. Вони доглянули лише окремі випадки. І цей винахід, що з'явилося незадовго перед “Геометрією” Декарта, залишалося марним у плині сорока років” . Лагранж має на увазі 1674 р., коли вийшли у світло “Лекції” Исаака Барроу, що докладно висвітлювали метод Ферма.

Крім усього іншого швидко виявилося, що

Ферма більше схильний формулювати нові проблеми, ніж, чим смиренно вирішувати задачі, запропоновані метрами. В епоху дуелей обмін задачами між ученими чоловіками був загальноприйнятий, як форма з'ясування проблем, пов'язаних із субординацією. Однак Ферма явно не знає міри. Кожен його лист - це виклик, що містить десятки складних невирішених задач, причому на самі несподівані теми. От зразок його стилю (адресоване Френиклю де Бесси) : “Item, який найменший квадрат, що при зменшенні на 109 і додатку одиниці дасть квадрат? Якщо Ви не надішлете мені загального рішення, то надішліть частку для цих двох чисел, які я вибрав невеликими, щоб Вас не дуже утруднити. Після того як Я одержу від Вас відповідь, я запропоную Вам деякі інші речі. Ясно без особливих застережень, що в моїй пропозиції потрібно знайти цілі числа, оскільки у випадку дробових чисел самий незначний арифметик зміг би прийти до мети.” Ферма часто повторювався, формулюючи ті самі питання по кілька разів, і відверто блефовал, затверджуючи, що має у своєму розпорядженні незвичайно витончене рішення запропонованої задачі.  Не обходилося й без прямих помилок. Деякі з них були замічені сучасниками, а яке які підступні твердження вводили в оману читачів у плині сторіч.

Кружок Мерсенна прореагировал адекватно. Лише

Робервиль, єдиний член кружка, що мав проблеми з походженням, зберігає дружній тон листів.  Добрий пастир батько Мерсенн намагався напоумити “тулузского нахаби” . Але Ферма не має наміру виправдуватися:” Преподобний батько! Ви мені пишете, що постановка моїх неможливих проблем розсердила й остудила панів Сен-Мартена й Френикля й що це послужило причиною припинення їхніх листів. Однак я хочу заперечити їм, що те, що здається спочатку неможливим, насправді не є таким і що є багато проблем, про які, як сказав Архімед...” і т.д..

Однак Ферма лукавить. Саме Френиклю він

послав задачу про знаходження прямокутного трикутника із целочисленными сторонами, площа якого дорівнює квадрату цілого числа. Послав, хоча знав, що задача свідомо не має рішення.

Саму ворожу позицію стосовно

Ферма зайняв Декарт. У його листі Мерсенну від 1938 р.  читаємо: “тому що я довідався, що це тот сама людина який перед тим намагався спростувати мою “Діоптрику” , і тому що Ви повідомили мені, що він послав це після того, як прочитав мою “Геометрію” й у подиві, що я не знайшов ту ж річ, тобто (як маю підставу його витлумачити) послав це з метою вступити в суперництво й показати, що в цьому він знає більше, ніж я, і тому що ще з ваших листів я довідався, що за ним значиться репутація досить знаючого геометра, то я вважаю себе зобов'язаним йому відповісти.” Своя відповідь Декарт у наслідку врочисто позначить як “малий процес Математики проти м. Ферма” .

Легко зрозуміти, що привело в лють іменитого

ученого. По-перше, у міркуваннях Ферма постійно фігурують координатні осі й подання чисел відрізками - прийом, що Декарт всебічно розвиває у своїй тільки що виданій “Геометрії” . Ферма приходить до ідеї заміни креслення обчисленнями зовсім самостійно, у чомусь він навіть більше послідовний, чим Декарт. По-друге, Ферма блискуче демонструє ефективність свого методу знаходження мінімумів на прикладі задачі про найкоротший шлях світлового променя, уточнюючи й доповнюючи Декарта з його “Діоптрикою” .

Заслуги Декарта як мислителя й новатора величезні,але відкриємо сучасну “Математичну енциклопедію” і переглянемо список термінів пов'язаних з його ім'ям:

“Декартовы координати” (Лейбниц, 1692) , “Декартов аркуш” , “Декарта овали” . Жодне з його міркувань не ввійшло в історію як “Теорема Декарта” . Декарт у першу чергу ідеолог: він засновник філософської школи, він формує поняття, удосконалює систему літерних позначень, але в його творчій спадщині мало нових конкретних прийомів. На противагу йому Пьер Ферма мало пише, але по будь-якому приводі може придумати масу дотепних математичних трюків (див. там же “Теорема Ферма” ,” Принцип Ферма” ,” Метод нескінченного спуска Ферма” ) . Імовірно, вони цілком справедливо заздрили один одному. Зіткнення було неминуче. При єзуїтському посередництві Мерсенна розпалюється війна, що тривала два роки. Втім, Мерсенн і тут виявився прав перед історією: люта сутичка двох титанів, їх напружена, м'яко говорячи, полеміка сприяла осмисленню ключових понять математичного аналізу. Першим втрачає інтерес до дискусії Ферма. Повидимому, він прямо порозумівся з Декартом і більше ніколи не зачіпав суперника. В одній зі своїх останніх робіт “Синтез для рефракції” , рукопис якої він послав де ла Шамбру, Ферма через слово поминає “ученейшего Декарта” і всіляко підкреслює його пріоритет у питаннях оптики. Тим часом саме цей рукопис містив опис знаменитого “принципу Ферма” , що забезпечує вичерпне пояснення законів відбиття й переломлення світла. Реверанси убік Декарта в роботі такого рівня були зовсім зайві.

Що ж відбулося? Чому Ферма, відклавши в

сторону самолюбство, пішов на примирення? Читаючи листа Ферма того років (1638 - 1640 р.) , можна припустити найпростішому: у цей період його наукові інтереси різко змінилися. Він закидає модну циклоїду, перестає цікавитися дотичними й площами, і на довгі 20 років забуває про свій метод знаходження максимуму. Маючи величезні заслуги в математику безперервного, Ферма цілком поринає в математику дискретного, залишивши обридлі геометричні креслення своїм опонентам.  Його новою пристрастю стають числа. Власне кажучи, вся “Теорія чисел” , як самостійна математична дисципліна, своєю появою на світло цілком зобов'язана життю й творчості Ферма.

У працях древніх, з їхнім культом креслення, ми знаходимо дивно мало досліджень по теорії чисел. Евклид відзначає деякі правила подільності й доводить нескінченність множини простих чисел. Можна також пригадати cribrum Eratosthenis (решето Эратосфена) - метод виділення простих чисел з натурального ряду. От, мабуть, і все. Особняком коштують твору Диофанта (III століття до н.е.) , що розглядав задачі про подання чисел і вирішував неозначені рівняння в цілих числах.  Із тринадцяти книг його “Арифметики” до наших днів дійшло лише шість. У Європі переклади творів Диофанта на латинський і французьку мови з'явилися лише на початку XVII в. Баше де Мезириак в 1621 р. видав переклад “Арифметики” із власними докладними коментарями й доповненнями. Саме це видання, попавшись у руки Ферма, зіграє видатну роль в історії математики.

Ферма внимательнейшим образом штудирует

“Арифметику” і поміщає на полях книги 46 зауважень до тексту. Крім цих позначок, положення з теорії чисел (в основному без доказів) розсіяні в листах Ферма.  Цього цілком вистачило для виникнення нового напрямку в математику. Після смерті Ферма його син Самюэль видав в 1670 р. приналежному батькові екземпляр “Арифметики” за назвою “Шість книг арифметики александрийца Диофанта з коментарями Л. Г. Баше й зауваженнями П. де Ферма, тулузского сенатора” . У книгу були включені також деякий листи Декарта й повний текст твору Жака де Бильи “Нове відкриття в мистецтві аналізу” , написане на основі листів Ферма.  Видання мало неймовірний успіх. Перед здивованими фахівцями відкрився небачений яскравий мир.  Несподіванка, а головне доступність, демократичність теоретико-числових результатів Ферма породили масу наслідувань. У той час мало хто розумів як обчислюється площа параболи, але кожен школяр міг усвідомити формулювання Великої теореми Ферма. Почалося дійсне полювання за невідомими й загубленими листами вченого. До кінця XVII в. було видано й перевидане кожне знайдене його слово. Але бурхлива історія розвитку ідей Ферма тільки починалася.

У наслідку Ферма пояснить своє захоплення

числами в листі англійським математикам Дигби й Броункеру. Цей лист має спеціальний підзаголовок:

“Другий виклик Ферма математикам” . Ферма пише: “Навряд чи хто-небудь може запропонувати або навіть зрозуміти чисто арифметичні задачі. Тому що хіба Арифметика не тлумачилася скоріше геометрично, чим арифметично. Це підтверджує більшість праць древніх і нових авторів; підтверджують це й праці самого Диофанта. Він трохи більше інших віддалився від геометрії, коли почав викладати Аналітикові в раціональних числах; однак і ця частина не зовсім позбавлена геометрії, що цілком довели книги Виета “Зететика” , де метод Диофанта переноситься на безперервні величини, а виходить, і на геометрію....  Лише я, немов идущий спереду факелоносец, пропоную вам для доказу або побудови наступну теорему або задачу. Якщо ви її вирішите, то зрозумієте, що задачі такого роду ні тонкістю, ні труднощами, ні способом доказу не уступають славнозвісним проблемам геометрії” .

Що ж шукав і що відкрив Пьер Ферма, займаючись

числами? Ризикнемо припустити, що найбільше Ферма цікавили способи побудови простих чисел. Він мріяв знайти явну формулу, що дозволяє швидко обчислювати як завгодно більші прості числа. На полях “Арифметики” він висловив припущення, що таким “генератором” простих чисел буде формула , n = 0,1,2,...

Дійсно, при n = 0,1,2,3,4 одержуємо прості

числа 3,5,17,257,65537. Ферма думав, що при всіх інших n числа F(n) - прості, і неодноразово пропонував своїм кореспондентам довести цей результат.

Знадобилося сто років, щоб Леонард Эйлер в 1733

г. спростував твердження Ферма. Це відбулося з подачі Християна Гольдбаха, що в 1729 р. писав находившемуся в Петербурзі Эйлеру: “ чиВідомо тобі зауваження Ферма про те, що всі числа виду саме 3,5,17 і т.д.. суть прості, причому сам він, по його визнанню, не зміг цього довести й, наскільки я знаю, після нього ніхто не довів” . Эйлер пари років подумав і показав, що вже при n = 5 число F(5) ділиться на 641:

.

Для одержання цього результату Эйлеру довелося

випробувати 160 дільників. Складовими виявилися й багато інших чисел Ферма (при n =6,7,8,9,10,11,12,15,16,18,23,36, 38,73) . Найбільше з відомих у даний момент складених чисел Ферма F(452) складається з 10135 цифр і ділиться на 27Ч 2455+1 (показане за допомогою ЕОМ) .  Справедливості заради варто підкреслити, що Ферма, уважаючи числа F(n) простими, ніколи не затверджував, що має у своєму розпорядженні доказ цього факту. З іншої сторони до теперішнього часу відомо стільки ж простих чисел Ферма, скільки зі знали в часи Ферма, а саме: 3,5, 17,257,65537.

Отже, Ферма помилявся. Його формула робила в

основному складові, а не прості числа. Однак, ідея “генерування” простих чисел була сприйнята з ентузіазмом. Усе той же аж ніяк не легковажний Эйлер запропонував багаточлен x2-x+41, що при всіх цілих x від 0 до 40 дає тільки прості числа. Эйлер не полінувався проробити ці обчислення, хоча прекрасно знав, що багаточлен із цілими коефіцієнтами не може при всіх натуральних значеннях аргументу приймати тільки прості значення. Сьогодні, незважаючи на зусилля сотень професіоналів і тисяч дилетантів, ми як і раніше не вміємо обчислювати як завгодно більші прості числа, хоча знаємо масу нюансів про їхній розподіл. Один із самих яскравих результатів цієї області належить академікові Пафнутію Львовичу Чебышеву (1850) : число простих чисел не переважаючих n приблизно дорівнює при n ® Ґ.

Ферма помилився, але Ферма був би не Ферма, якби

дозволив хоч одній своїй теоремі безславно канути в лету. “Прокляті числа як перевертні” вилазили в самих далекі від теорії чисел дослідженнях. В 1796 р. 19-літній студент Геттингенского університету Карл Фрідріх Гаусс зробив сенсацію, довівши теорему:

правильний багатокутник може бути побудований за допомогою циркуля й лінійки тоді й тільки тоді, коли число його сторін дорівнює 2ap1p2... pb, де всі прості числа pi є числами Ферма, тобто мають вигляд. Те була помста Ферма пихатим геометрам. Теорема Гаусса підвела риску під багатовіковими суперечками щодо можливості побудови правильних багатокутників і заощадила масу часу аматорам математики. Із цієї теореми треба, що можна побудувати правильні 3-, 5-, 17-, 257-, 65537- і інші багатокутники й не можна побудувати, наприклад, правильні 7-, 11-, 13- косинці. Для невіруючих Гаусс не полінувався побудувати правильний 17-косинець.

Займаючись таємницями простих чисел Ферма

сформулював багато положень про представимости чисел квадратичними формами. Наприклад, він виявив наступні дивно прості й глибокі закономірності:

1. Формою x2+y2 представимы всі прості числа, які лежать у прогресії 4n+1, причому кожне з них представимо цією формою єдиним образом. Жодне просте число із прогресії 4n+3 не представимо суммою двох квадратів.

2. Формою x2+2y2 представимы всі прості числа, що лежать у прогресіях 8n+1 й 8n+3. Жодне просте число із прогресій 8n+5 й 8n+7 не представимо у вигляді x2+2y2.

3. Формою x2-2y2 представимы всі прості числа, що лежать у прогресіях 8n+1 й 8n+7. Жодне просте число із прогресій 8n+5 й 8n+3 не представимо у вигляді x2-2y2.

4. Формами x2+3y2 й x2+xy+y2 представимы всі прості числа, що лежать у прогресії 3n+1. Жодне просте число із прогресії 3n+2 не представимо зазначеними формами.

Ферма залишив украй мало пояснень, що дають

можливість установити, як йому вдалося одержати ці в вищого ступеня загальні результати. Лише перед смертю в листі до де Каркави Ферма частково обґрунтував положення (1) за допомогою свого методу нескінченного спуска. Можна лише пошкодувати сучасників Ферма, які регулярно одержували варіації на тему тверджень (1) - (4) як задачі. Перші повні докази цих тверджень удалося одержати лише Эйлеру. Попутно він сформулював дуже важливу теорему про подільність - так називаної квадратичний закон взаємності, доказ якого дав Гаусс. Через захоплення квадратичними формами пройшли Лагранж, Лежандр, Чебышев, а в наше століття - Вейль, Артин і багато інших блискучих математиків. Як завжди ідеї Ферма виявилися надзвичайно плідні в змісті побудови далеко, що йдуть узагальнень, і формування нових понять. Добра половина термінів сучасної абстрактної алгебри виникла зі спроб довести твердження Ферма.

Один з найважливіших результатів Ферма одержав

спеціальна назва “Мала теорема Ферма” . Це фундаментальний факт теорії подільності на прості числа: для будь-якого простого p і будь-якого aі 1, що не ділиться на p, різниця ap -1-1 ділиться на p. Наприклад, нехай a=5, p=2,3,7,11. Тоді 52-1-1=2Ч 2,53-1-1=3Ч 8,57-1-1=7Ч 2232,511-1-1=11Ч 8878. Ферма висловив цю теорему в листі Френиклю де Бесси в 1640 р. зі звичайним для нього зауваженням: “... я б Вам надіслав доказ, якби не побоювався бути занадто довгим” .

Перший доказ “Малої теореми Ферма” дав Лейбниц. Потім Эйлер, починаючи з 1736 р., публікує відразу три різних докази, які показують, що Ферма цілком міг уміти доводити свою теорему.  Нащадки часто шукали елементарні докази тверджень Ферма, намагаючись зрозуміти наскільки лукавив великий тулузец. Проблеми Ферма хвилювали Эйлера протягом всього життя. В 1760 р. він одержав істотне узагальнення його “Малої теореми” : нехай j (m)

• число натуральних чисел, що не перевершують m і взаємно простих з m. Тоді для будь-якого m і будь-якого aі 1, взаємно простого з m, різниця aj (m) -1 ділиться на m. Цю терему Эйлер скромно опублікував як четвертий доказ “Малої теореми Ферма” Нарешті, ми переходимо до викладу самої знаменитої теореми в історії математики. Ця теорема одержала популярність як “Велика теорема Ферма” (вона ж “Більша” , вона ж “Остання” ) . На сучасному це мові звучить так: не існує відмінних від нуля цілих чисел x, y й z, для яких має місце рівність при n>2.

Зрозуміло, ніякого рівняння у Ферма не було.

Він взагалі не знав знака рівності, а використав латинське eq. Приводимо твердження Ферма в оригінальному виді: “Куб, однак, на два куби або квадроквадрат на два квадроквадрата й взагалі ніяку нескінченно понад квадрат ступінь у дві ті ж назви неможливо розділити” . І не поставивши крапку, Ферма приписав:” я відкрив воістину дивний доказ цієї пропозиції. Але воно не вміщається на вузьких полях. “Цією фразою Ферма прокоментував задачу з Диофанта: “Заданий квадрат розкласти на два квадрати” . Дане зауваження є другим по рахунку зі зроблених їм на полях “Арифметики” . Перше стосувалося життєвих тим.

Неозначені рівняння (тобто рівняннями з

двома невідомими) виду цікавили стародавніх греків у зв'язку з теоремою Пифагора. Вони шукали (і знаходили) трійки цілих чисел, що утворять сторони прямокутного трикутника. Це означає, що при n =1,2 рівняння в рамці має незліченна множина рішень. Здогад Ферма полягала в тім, що при всіх інших n таких трійок не існує.

Навряд чи Ферма був першим, хто прийшов до

подібному до висновку. Наприклад, біля тисячі років тому узбецький математик Хамид ал-хадженди (що означає Хамид з Ленінабада) затверджував, що рівняння x3+y3=z3 не має рішень у цілих числах. Сьогодні ясно, що Хамид не мав ніяких шансів довести це твердження.

У відношенні Ферма достеменно відомо, що він

довів “Велику теорему” при n=4 на полях усе тієї ж “Арифметики” . І цей єдиний теоретико-числовий доказ Ферма дошедшее до наших днів. Протягом 20 років Ферма завзято намагається привернути увагу математиків до “Великої теореми” , пропонуючи частки випадки як задачі. Випадок n=3 він формулює в п'ятьох листах, причому в останньому листі (від серпня 1659 р.) пише, що довів теорему для n=3 методом спуска. Тим часом “Велику теорему” для загального випадку n>2 Ферма сформулював тільки один раз у згаданому зауваженні на полях “Арифметики” . Він не формулює її жодного разу в жодному з листів. Він пропонує тільки окремі випадки (n=3,4) , у відношенні яких упевнено говорить, що має у своєму розпорядженні доказ. Навіть у листі до де Каркави від 1659 р., у якому Ферма перераховує свої основні досягнення, про “Велику теорему” у загальному виді немає ні слова. Це може означати тільки одне: Ферма виявив пробіли у своєму “воістину дивному доказі”, які так і не зміг усунути.

Зрозуміло, це не остудило нащадків. Починаючи з

кінця XVII в. почалася небачена по своїй напруженості гонка за доказом “Великої теореми Ферма” . Оманна простота формулювання теореми прирекла тисячі шанувальників математики на марні пошуки доказу або спростування теореми. Більше ста років нікому із учених не вдавалося просунутися вперед навіть при розгляді окремих випадків конкретних значень показника n.

Перший серйозний результат був отриманий звичайно

же Эйлером (1768) . Він показав, що випадок n=4 унікальний.  Це єдиний приватний варіант “Великої теореми” , коли доказ має цілком елементарний характер.  Уже при n=3 виникають значні ускладнення.  Настільки істотні, що з'являється привід у черговий раз сумніватися в чесності Ферма. Эйлер довів теорему для випадку n=3, розглядаючи комплексні числа виду, де a, b - цілі числа. В XVII в. подібна єресь не могла прийти в голову навіть Ферма.

Строго говорячи, доказ Эйлера було

дефектним, оскільки він необґрунтовано переніс ряд властивостей звичайних чисел на числа виду . Зокрема він припускав одиничність розкладання таких чисел на прості множники. Для усунення пробілів у доказі Эйлера знадобилися принципово нові алгебраїчні абстракції: числові кільця й поля. Реалізацію цієї програми почав Гаусс, якому належить перше абсолютно строгий доказ “Великої теореми Ферма” для n=3.

Доказ для випадку n=5 запропонували майже

одночасно в атмосфері гострого суперництва два французи: Лежен-Дирихле й Лежандр (1825) . Обоє доказу були дуже складними. В 1839 р. теорема Ферма була доведена для наступного простого показника n=7. Це вдалося завдяки титанічним зусиллям Ламі.  Він же в 1847 р. оголосив, що довів теорему для всіх простих показників n>3. Однак пильний Лиувиль відразу ж виявив у міркуваннях Ламі помилку подібну з тієї, котру допустив Эйлер. Ламі був змушений визнати свою поразку.

Поки у Франції відбувалися ці події, в

Німеччини молодий математик Куммер завзято займається теоремою Ферма. Повторивши всі помилки Ламі, він прийшов до поняття “ідеальних чисел” , для яких розкладання на прості множники єдино. Узагальнення цього поняття привело до створення запаморочливих абстрактних конструкцій, які сьогодні вивчаються в спеціальному розділі алгебрі за назвою “Теорія ідеалів” . Куммер, що присвятив теоремі кілька десятків років, до кінця життя вмів доводити “Велику теорему Ферма” для всіх простих показників n <100. В 1857 р. йому була вручена премія Французької академії наук у розмірі 3 тис. франків. Роботи Куммера остаточно поховали надії на можливість доказу теореми Ферма елементарними засобами.  Стало ясно, що Ферма ніколи не мав і не міг мати доказу теореми в загальному виді.

Після Куммера серйозних зрушень у доказі

теореми Ферма не відбувалося аж до 1929 р., коли Вандивер, використовуючи метод Куммера, одержав у явному виді якісь умови, що дозволяють перевіряти істинність теореми для будь-якого простого показника. Із цього моменту доказ теореми для конкретного n звелося до чисто обчислювальних проблем, з якими легко справляються сучасні ЕОМ. У результаті до кінця сімдесятих років нашого сторіччя “Велика теорема Ферма” була доведена для всіх n <100000. Це дуже велике число, але це ще не всі n, а значить “Велика теорема Ферма” не доведена й не спростована.

“Верна або не вірна?” - так називався чудесний

науково-популярний ігровий фільм, що промайнув на екранах телевізорів на початку сімдесятих. Сучасний яйцеголовый математик, розклавши на пульті ЕОМ стародавні фоліанти, чаклує над киплячою ретортою. Він вирішив звернутися до останнього засобу. Вимовлено магічну формулу, лунає вибух, і в хмарі диму з'являється інтелігентного виду диявол (його блискуче грає молодий Кайдановский) . Помахуючи хвостом, нечистий чемно запитує, що завгодно клієнтові в обмін на безсмертну душу. “Я хочу знати, вірна або не вірна теорема Ферма” - утомилося ответствует математик. “Простите, хто кому не вірна?” - перепитує ошелешений диявол. “Велика або Остання теорема Ферма. Це математичне твердження. Воно або справедливо, або помилково. Я повинен це довідатися за всяку ціну” . Диявол обережно цікавиться щодо більше традиційних побажань - земні блага, вічна молодість і все таке.  Але математик уперто вимагає відповіді на прокляте питання.  Диявол, приречено зітхаючи, погоджується вникнути в суть проблеми. Математик пускається в пояснення: “Рівняння Ферма може бути вирішене в цілих числах, якщо показник дорівнює двом. Наприклад, три у квадраті плюс чотири у квадраті дорівнює п'яти у квадраті. Але якщо показник дорівнює трьом...” “Почекайте, - перебиває його диявол. - Як Ви сказали? Три у квадраті плюс чотири у квадраті...” , і диявол малює кінчиком хвоста: + Математик зі здивуванням дивиться на посланника пекла. Диявол безнадійно відстав і не знає елементарної алгебри! Прийде починати із самого початку. Через кілька хвилин диявол (а заодно й глядач) усвідомлює формулювання теореми й переймається її історією, що інтригує. Він повний оптимізму, йому не терпиться приступитися до рішення загадки: “Я всього лише повинен знайти три числа? Три звичайних числа, які задовольняють рівнянню на Ферма для деякого показника, наприклад, для трьох” . “Так, цього досить, щоб відкинути теорему” - відповідає математик, але диявол уже зник. Через кілька хвилин він знову сидить у кріслі: