Метод Нелдера-Мида. f(x) = (x1 + 1)2 + (x2 + 3)2 + (x3 –3)2→min; ε = 0,3; m = 1; n = 3; 𝑥 0 = ( 4 0 0 ) Коэффициенты: отражения α = 1; сжатия β = 0,5; растяжения γ = 2. (Решение → 39012)

Заказ №38667

Метод Нелдера-Мида. f(x) = (x1 + 1)2 + (x2 + 3)2 + (x3 –3)2→min; ε = 0,3; m = 1; n = 3; 𝑥 0 = ( 4 0 0 ) Коэффициенты: отражения α = 1; сжатия β = 0,5; растяжения γ = 2.

Решение.

1. Инициализация симплекса. 𝛿1 = √𝑛 + 1 + 𝑛 − 1 𝑛√2 · 𝑚 = √4 + 2 3√2 · 1 = 0,9428 𝛿2 = √𝑛 + 1 − 1 𝑛√2 · 𝑚 = √4 − 1 3√2 · 1 = 0,2357 𝑥 𝑗 𝑖 = { 𝑥 0 𝑖 + 𝛿1; 𝑖 ≠ 𝑗 𝑥 0 𝑖 + 𝛿2; 𝑖 = 𝑗 Симплекс (n + 1) точка: 𝑥 1 = ( 4 + 0,2357 0 + 0,9428 0 + 0,9428) = ( 4,2357 0,9428 0,9428); 𝑥 2 = ( 4 + 0,9428 0 + 0,2357 0 + 0,9428) = ( 4,9428 0,2357 0,9428) 𝑥 3 = ( 4 + 0,9428 0 + 0,9428 0 + 0,2357) = ( 4,9428 0,9428 0,2357) ; 𝑥 0 = ( 4 0 0 ) Значения функции: 𝑓(𝑥 0 ) = 43; 𝑓(𝑥 1 ) = 47,2091; 𝑓(𝑥 2 ) = 50,0303; 𝑓(𝑥 3 ) = 58,4939; 1-я итерация. 2. Сортировка. 𝑓𝑙 = 𝑓(𝑥 0 ) = 43; 𝑓(𝑥 1 ) = 47,2091; 𝑓𝑔 = 𝑓(𝑥 2 ) = 50,0303; 𝑓ℎ = 𝑓(𝑥 3 ) = 58,4939; 3. Отражение fh относительно центра тяжести хс точек {х 0 х 1 х 2 } 20 𝑥 с = 1 𝑛 ∑𝑥 𝑖 𝑖≠ℎ = 1 3 (( 4 0 0 ) + ( 4,2357 0,9428 0,9428) + ( 4,9428 0,2357 0,9428)) = ( 4,3934 0,3934 0,6285); значение f(x c ) вычислять не нужно; x h = x 3 . 𝑥 𝑟 = (1 + 𝛼)𝑥 с − 𝛼 · 𝑥 ℎ = 2 · ( 4,3934 0,3934 0,6285) − ( 4,9428 0,9428 0,2357) = ( 3,8441 −0,1559 1,0196 ); 𝑓𝑟 = 𝑓(𝑥 𝑟 ) = 35,4758 < 𝑓𝑙 ; необходимо растяжение симплекса. 4. Растяжение. 𝑥 𝑒 = (1 − 𝛾) · 𝑥 с + 𝛾 · 𝑥 𝑟 = −1 · ( 4,3934 0,3934 0,6285) + 2 · ( 3,8441 −0,1559 1,0196 ) = ( 3,2947 −0,7053 1,4106 ) ; 𝑓𝑒 = 𝑓(𝑥 𝑒 ) = 26,2363 < 𝑓𝑙 ; заменяем точку x h на x e и завершаем итерацию проверкой сходимости. 5. Проверка сходимости на новом симплексе 𝑥 1 = ( 4,2357 0,9428 0,9428); 𝑥 2 = ( 4,9428 0,2357 0,9428) ; 𝑥 3 = ( 3,2947 −0,7053 1,4106 ); 𝑥 0 = ( 4 0 0 ) 𝑓(𝑥 0 ) = 43; 𝑓(𝑥 1 ) = 47,2091; 𝑓(𝑥 2 ) = 50,0303; 𝑓(𝑥 3 ) = 26,2363. Среднее по симплексу: fср = Σf(x i )/(n + 1) = (43 + 47,2091 + 50,0303 + 26,2363)/4 = 41,6189 Среднеквадратичное отклонение 𝜎 = √ ∑ (𝑓(𝑥 𝑖) − 𝑓ср) 2 𝑛 𝑖=0 𝑛 + 1 = 9,2268 > 𝜀 необходима следующая итерация. 2-я итерация. 6. Сортировка. 𝑓𝑙 = 𝑓(𝑥 3 ) = 26,2363; 𝑓(𝑥 0 ) = 43; 𝑓𝑔 = 𝑓(𝑥 1 ) = 47,2091; 𝑓ℎ = 𝑓(𝑥 2 ) = 50,0303; 7. Отражение fh относительно центра тяжести хс точек {х 0 х 1 х 3 } 21 𝑥 с = 1 𝑛 ∑𝑥 𝑖 𝑖≠ℎ = 1 3 (( 4 0 0 ) + ( 4,2357 0,9428 0,9428) + ( 3,2947 −0,7053 1,4106 )) = ( 3,8441 0,0792 0,7845) ; значение f(x c ) вычислять не нужно; x h = x 2 . 𝑥 𝑟 = (1 + 𝛼)𝑥 с − 𝛼 · 𝑥 ℎ = 2 · ( 3,8441 0,0792 0,7845) − ( 4,9428 0,2357 0,9428) = ( 2,7453 −0,7053 0,6261 ); 𝑓𝑟 = 𝑓(𝑥 𝑟 ) = 28,1940; 𝑓𝑙 < 𝑓𝑟 < 𝑓𝑔; заменяем точку x h на x r и завершаем итерацию проверкой сходимости. 8. Проверка сходимости на новом симплексе 𝑥 0 = ( 4 0 0 ) ; 𝑥 1 = ( 4,2357 0,9428 0,9428) ; 𝑥 2 = ( 2,7453 −0,7053 0,6261 ); 𝑥 3 = ( 3,2947 −0,7053 1,4106 ); 𝑓(𝑥 0 ) = 43; 𝑓(𝑥 1 ) = 47,2091; 𝑓(𝑥 2 ) = 28,1940; 𝑓(𝑥 3 ) = 26,2363. Среднее по симплексу: fср = Σf(x i )/(n + 1) = (43 + 47,2091 + 28,1940 + 26,2363)/4 = 36,1599 Среднеквадратичное отклонение 𝜎 = √ ∑ (𝑓(𝑥 𝑖) − 𝑓ср) 2 𝑛 𝑖=0 𝑛 + 1 = 9,0940 > 𝜀 необходима следующая итерация. 3-я итерация. 9. Сортировка. 𝑓𝑙 = 𝑓(𝑥 3 ) = 26,2363; 𝑓(𝑥 2 ) = 28,1940; 𝑓𝑔 = 𝑓(𝑥 0 ) = 43; 𝑓ℎ = 𝑓(𝑥 1 ) = 47,2091; 10. Отражение fh относительно центра тяжести хс точек {х 0 х 2 х 3 } 𝑥 с = 1 𝑛 ∑𝑥 𝑖 𝑖≠ℎ = 1 3 (( 4 0 0 ) + ( 2,7453 −0,7053 0,6261 ) + ( 3,2947 −0,7053 1,4106 )) = ( 3,3467 −0,2615 0,6789 ); значение f(x c ) вычислять не нужно; x h = x 1 . 𝑥 𝑟 = (1 + 𝛼)𝑥 с − 𝛼 · 𝑥 ℎ = 2 · ( 3,3467 −0,2615 0,6789 ) − ( 4,2357 0,9428 0,9428) = ( 2,4559 −1,4658 0,4150 ); 𝑓𝑟 = 𝑓(𝑥 𝑟 ) = 20,9789 < 𝑓𝑙 ; 22 необходимо растяжение симплекса. 11. Растяжение. 𝑥 𝑒 = (1 − 𝛾) · 𝑥 с + 𝛾 · 𝑥 𝑟 = −1 · ( 3,3467 −0,2615 0,6789 ) + 2 · ( 2,4559 −1,4658 0,4150 ) = ( 1,5650 −2,6701 0,1511 ); 𝑓𝑒 = 𝑓(𝑥 𝑒 ) = 14,8043 < 𝑓𝑙 ; заменяем точку x h на x e и завершаем итерацию проверкой сходимости. 12. Проверка сходимости на новом симплексе 𝑥 0 = ( 4 0 0 ) ; 𝑥 1 = ( 1,5650 −2,6701 0,1511 ); 𝑥 2 = ( 2,7453 −0,7053 0,6261 ); 𝑥 3 = ( 3,2947 −0,7053 1,4106 ); 𝑓(𝑥 0 ) = 43; 𝑓(𝑥 1 ) = 14,8043; 𝑓(𝑥 2 ) = 28,1940; 𝑓(𝑥 3 ) = 26,2363. Среднее по симплексу: fср = Σf(x i )/(n + 1) = (43 + 14,8083 + 28,1940 + 26,2363)/4 = 28,0587 Среднеквадратичное отклонение 𝜎 = √ ∑ (𝑓(𝑥 𝑖) − 𝑓ср) 2 𝑛 𝑖=0 𝑛 + 1 = 10,0282 > 𝜀 необходима следующая итерация. 4-я итерация. 13. Сортировка. 𝑓𝑙 = 𝑓(𝑥 1 ) = 14,8043; 𝑓(𝑥 3 ) = 26,2363; 𝑓𝑔 = 𝑓(𝑥 2 ) = 28,1940; 𝑓ℎ = 𝑓(𝑥 0 ) = 43; 14. Отражение fh относительно центра тяжести хс точек {х 1 х 2 х 3 } 𝑥 с = 1 𝑛 ∑𝑥 𝑖 𝑖≠ℎ = 1 3 (( 1,5650 −2,6701 0,1511 ) + ( 2,7453 −0,7053 0,6261 ) + ( 3,2947 −0,7053 1,4106 )) = ( 2,5350 −1,1515 0,7293 ); значение f(x c ) вычислять не нужно; x h = x 0 . 𝑥 𝑟 = (1 + 𝛼)𝑥 с − 𝛼 · 𝑥 ℎ = 2 · ( 2,5350 −1,1515 0,7293 ) − ( 4 0 0 ) = ( 1,0700 −2,3030 1,4586 ); 𝑓𝑟 = 𝑓(𝑥 𝑟 ) = 7,1468 < 𝑓𝑙 ; 23 необходимо растяжение симплекса. 15. Растяжение. 𝑥 𝑒 = (1 − 𝛾) · 𝑥 с + 𝛾 · 𝑥 𝑟 = −1 · ( 2,5350 −1,1515 0,7293 ) + 2 · ( 1,0700 −2,3030 1,4586 ) = ( −0,3949 −3,4545 2,1879 ); 𝑓𝑒 = 𝑓(𝑥 𝑒 ) = 1,2323 < 𝑓𝑙 ; заменяем точку x h на x e и завершаем итерацию проверкой сходимости. 16. Проверка сходимости на новом симплексе 𝑥 0 = ( −0,3949 −3,4545 2,1879 ); 𝑥 1 = ( 1,5650 −2,6701 0,1511 ); 𝑥 2 = ( 2,7453 −0,7053 0,6261 ) ; 𝑥 3 = ( 3,2947 −0,7053 1,4106 ); 𝑓(𝑥 0 ) = 1,2323; 𝑓(𝑥 1 ) = 14,8043; 𝑓(𝑥 2 ) = 28,1940; 𝑓(𝑥 3 ) = 26,2363. Среднее по симплексу: fср = Σf(x i )/(n + 1) = (1,2323 + 14,8083 + 28,1940 + 26,2363)/4 = 17,6167 Среднеквадратичное отклонение 𝜎 = √ ∑ (𝑓(𝑥 𝑖) − 𝑓ср) 2 𝑛 𝑖=0 𝑛 + 1 = 10,7533 > 𝜀 необходима следующая итерация. 5-я итерация. 17. Сортировка. 𝑓𝑙 = 𝑓(𝑥 0 ) = 1,2323; 𝑓(𝑥 1 ) = 14,8043; 𝑓𝑔 = 𝑓(𝑥 3 ) = 26,2363; 𝑓ℎ = 𝑓(𝑥 2 ) = 28,1940; 18. Отражение fh относительно центра тяжести хс точек {х 0 х 1 х 3 } 𝑥 с = 1 𝑛 ∑𝑥 𝑖 𝑖≠ℎ = 1 3 (( −0,3949 −3,4545 2,1879 ) + ( 1,5650 −2,6701 0,1511 ) + ( 3,2947 −0,7053 1,4106 )) = ( 1,4833 −2,2766 1,2499 ); значение f(x c ) вычислять не нужно; x h = x 2 . 𝑥 𝑟 = (1 + 𝛼)𝑥 с − 𝛼 · 𝑥 ℎ = 2 · ( 1,4833 −2,2766 1,2499 ) − ( 2,7453 −0,7053 0,6261 ) = ( 0,2312 −4,4741 1,8736 ); 𝑓𝑟 = 𝑓(𝑥 𝑟 ) = 4,9576 ; 𝑓𝑙 < 𝑓𝑟 < 𝑓𝑔;

Метод Нелдера-Мида. f(x) = (x1 + 1)2 + (x2 + 3)2 + (x3 –3)2→min; ε = 0,3; m = 1; n = 3; 𝑥 0 = ( 4 0 0 ) Коэффициенты: отражения α = 1; сжатия β = 0,5; растяжения γ = 2.

Метод Нелдера-Мида. f(x) = (x1 + 1)2 + (x2 + 3)2 + (x3 –3)2→min; ε = 0,3; m = 1; n = 3; 𝑥 0 = ( 4 0 0 ) Коэффициенты: отражения α = 1; сжатия β = 0,5; растяжения γ = 2.

Метод Нелдера-Мида. f(x) = (x1 + 1)2 + (x2 + 3)2 + (x3 –3)2→min; ε = 0,3; m = 1; n = 3; 𝑥 0 = ( 4 0 0 ) Коэффициенты: отражения α = 1; сжатия β = 0,5; растяжения γ = 2.

Метод Нелдера-Мида. f(x) = (x1 + 1)2 + (x2 + 3)2 + (x3 –3)2→min; ε = 0,3; m = 1; n = 3; 𝑥 0 = ( 4 0 0 ) Коэффициенты: отражения α = 1; сжатия β = 0,5; растяжения γ = 2.

Метод Нелдера-Мида. f(x) = (x1 + 1)2 + (x2 + 3)2 + (x3 –3)2→min; ε = 0,3; m = 1; n = 3; 𝑥 0 = ( 4 0 0 ) Коэффициенты: отражения α = 1; сжатия β = 0,5; растяжения γ = 2.

Метод Нелдера-Мида. f(x) = (x1 + 1)2 + (x2 + 3)2 + (x3 –3)2→min; ε = 0,3; m = 1; n = 3; 𝑥 0 = ( 4 0 0 ) Коэффициенты: отражения α = 1; сжатия β = 0,5; растяжения γ = 2.

Метод Нелдера-Мида. f(x) = (x1 + 1)2 + (x2 + 3)2 + (x3 –3)2→min; ε = 0,3; m = 1; n = 3; 𝑥 0 = ( 4 0 0 ) Коэффициенты: отражения α = 1; сжатия β = 0,5; растяжения γ = 2.

Метод Нелдера-Мида. f(x) = (x1 + 1)2 + (x2 + 3)2 + (x3 –3)2→min; ε = 0,3; m = 1; n = 3; 𝑥 0 = ( 4 0 0 ) Коэффициенты: отражения α = 1; сжатия β = 0,5; растяжения γ = 2.

Метод Нелдера-Мида. f(x) = (x1 + 1)2 + (x2 + 3)2 + (x3 –3)2→min; ε = 0,3; m = 1; n = 3; 𝑥 0 = ( 4 0 0 ) Коэффициенты: отражения α = 1; сжатия β = 0,5; растяжения γ = 2.

Метод Нелдера-Мида. f(x) = (x1 + 1)2 + (x2 + 3)2 + (x3 –3)2→min; ε = 0,3; m = 1; n = 3; 𝑥 0 = ( 4 0 0 ) Коэффициенты: отражения α = 1; сжатия β = 0,5; растяжения γ = 2.

Метод Нелдера-Мида. f(x) = (x1 + 1)2 + (x2 + 3)2 + (x3 –3)2→min; ε = 0,3; m = 1; n = 3; 𝑥 0 = ( 4 0 0 ) Коэффициенты: отражения α = 1; сжатия β = 0,5; растяжения γ = 2.

Метод Нелдера-Мида. f(x) = (x1 + 1)2 + (x2 + 3)2 + (x3 –3)2→min; ε = 0,3; m = 1; n = 3; 𝑥 0 = ( 4 0 0 ) Коэффициенты: отражения α = 1; сжатия β = 0,5; растяжения γ = 2.