По территориям региона приводятся данные за 199X г. (см. таблицу 1) р1 = 5; р2 = 8. Таблица №1 Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., x Среднедневная заработная плата, руб., y 1 83 141 2 88 148 (Решение → 39966)

Заказ №44282

По территориям региона приводятся данные за 199X г. (см. таблицу 1) р1 = 5; р2 = 8. Таблица №1 Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., x Среднедневная заработная плата, руб., y 1 83 141 2 88 148 3 87 140 4 79 154 5 106 162 6 111 195 7 67 139 8 98 166 9 81 152 10 87 162 11 86 154 12 115 173 Требуется: 1. Построить линейное уравнение парной регрессии y от x. 2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации. 3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью F -критерия Фишера и t -критерия Стьюдента. 4. Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x , составляющем 107% от среднего уровня. 5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал. 19 6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую. 7. Проверить вычисления в MS Excel.

Решение

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 2. Таблица 2 № х у x² у² x*y ŷ (𝑦 − 𝑦̂𝑥 ) 2 А 1 83 141 6889 19881 11703 150,13 83,31 6,47 2 88 148 7744 21904 13024 154,72 45,14 4,54 3 87 140 7569 19600 12180 153,80 190,45 9,86 4 79 154 6241 23716 12166 146,46 56,93 4,90 5 106 162 11236 26244 17172 171,24 85,46 5,71 6 111 195 12321 38025 21645 175,84 367,28 9,83 7 67 139 4489 19321 9313 135,44 12,69 2,56 8 98 166 9604 27556 16268 163,90 4,41 1,27 9 81 152 6561 23104 12312 148,29 13,75 2,44 10 87 162 7569 26244 14094 153,80 67,24 5,06 11 86 154 7396 23716 13244 152,88 1,25 0,73 12 115 173 13225 29929 19895 179,51 42,35 3,76 Итого 1088 1886 100844 299240 173016 1886,00 970,26 57,12 Ср.знач . 90,67 157,17 8403,67 24936,67 14418 157,17 - 4,76 σ 13,54 15,34 - - - - - - σ 2 15,34 235,31 - - - - - - 20 Неизвестные коэффициенты находим по формулам: 𝑏 = ̅𝑥̅̅∙̅̅𝑦̅ − 𝑥̅∙ 𝑦̅ 𝑥 ̅̅2̅ − 𝑥̅ 2 = 14418 − 90,67 ∗ 157,17 8403,67 − 90,672 = 0,918 𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏 ∙ 𝑥̅= 157,17 − 0,918 ∙ 90,67 = 73,923 Получено уравнение регрессии: 𝑦̂𝑥 = 73,923 + 0,918 ∙ 𝑥 С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,198 руб. 2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции: 𝑟𝑥𝑦 = 𝑏 ∙ 𝜎𝑥 𝜎𝑦 = 0,918 ∙ 13,54 15,34 = 0,81; 𝑟𝑥𝑦 2 = 0,656 Это означает, что 65,6% вариации заработной платы (y) объясняется вариацией фактора x – среднедушевого прожиточного минимума. Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации: 𝐴̅= 1 𝑛 ∑𝐴𝑖 = 57,12 12 = 4,76%. Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как Ā не превышает 8-10%. 3. Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F -критерия Фишера. Фактическое значение F -критерия: 𝐹факт = 𝑟𝑥𝑦 2 (𝑛 − 2) 1 − 𝑟𝑥𝑦 2 = 0,656 · (12 − 2) 1 − 0,656 = 19,1 Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k1 = 1 и k2= 12-2= 10 составляет Fтабл= 4,96. Так как Fфакт> Fтабл, то уравнение регрессии признается статистически незначимым.