1 Вычислить двумя способами (непосредственно и используя теорему Стокса) циркуляцию скорости по замкнутому квадратному

1 Вычислить двумя способами (непосредственно и используя теорему Стокса) циркуляцию скорости по замкнутому квадратному контуру (x=±1, y=±1, z=0) при обходе его против часовой стрелки в плоском течении с полем вектора скорости V=x+y2i+(x2-y)j.

Способ 1. Циркуляцией скорости по замкнутому контуру L это криволинейный интеграл
L Vdr=L vxdx+vydy+vzdz.
В нашем случае V=vx, vy, vz=x+y2;x2-y;0.
L Vdr=AB+BC+CD+DA Vdr=
=-11x2-yx=1dy+1-1x+y2y=1dx+1-1x2-yx=-1dy+-11x+y2y=-1dx=
=-111-ydy+1-1x+1dx+1-11-ydy+-11x+1dx=
=-111-ydy--11x+1dx--111-ydy+-11x+1dx=0.
Способ 2 . По теореме Стокса циркуляцию скорости можно вычислить с помощью поверхностного интеграла
L Vdr=S rot V∙dS=S rotVndS,
где S − любая поверхность натянутая на контур L.
rot V=ijk∂∂x∂∂y∂∂zvxvyvz=∂vz∂y-∂vy∂zi+∂vx∂z-∂vz∂xj+∂vy∂x-∂vx∂yk=
(учитывая, что vz=0,∂vx∂z=0,∂vy∂z=0)
=∂vy∂x-∂vx∂yk=∂(x2-y)∂x-∂x+y2∂yk=2x-2yk.
Если взять площадку S, лежащую в плоскости xy, то
rot Vn=rot Vz=2x-2y.
Следовательно,
L Vdr=S rot VzdS=-11-112x-2ydxdy=2-11-11xdxdy-2-11-11ydydx=
=-11x2-11=0dy--11y2-11=0dx=0.
Ответ: Циркуляция скорости равна
L Vdr=0.

. По теореме Стокса циркуляцию скорости можно вычислить с помощью поверхностного интеграла
L Vdr=S rot V∙dS=S rotVndS,
где S − любая поверхность натянутая на контур L.
rot V=ijk∂∂x∂∂y∂∂zvxvyvz=∂vz∂y-∂vy∂zi+∂vx∂z-∂vz∂xj+∂vy∂x-∂vx∂yk=
(учитывая, что vz=0,∂vx∂z=0,∂vy∂z=0)
=∂vy∂x-∂vx∂yk=∂(x2-y)∂x-∂x+y2∂yk=2x-2yk.
Если взять площадку S, лежащую в плоскости xy, то
rot Vn=rot Vz=2x-2y.
Следовательно,
L Vdr=S rot VzdS=-11-112x-2ydxdy=2-11-11xdxdy-2-11-11ydydx=
=-11x2-11=0dy--11y2-11=0dx=0.
Ответ: Циркуляция скорости равна
L Vdr=0.