Частица движется в плоскости xy со скоростью v = ai+2bxj, где i, j –

Частица движется в плоскости xy со скоростью v = ai+2bxj, где i, j – орты осей x, y соответственно, a, b – постоянные. В начальный момент времени частица находилась в начале координат. Найти уравнение траектории частицы, радиус кривизны траектории в зависимости от х. Найти: yx, R-?

В векторном виде скорость имеет вид v=vxi+vyj, где vx и vy – компоненты вектора скорости при проецировании на оси x и y. Следовательно,
vx=avy=2bx
Отсюда выразим координаты:
x=vxdt=at+C1
y=vydt=2bxdt=2bat+C1dt=abt22+bC1t+C2
Из начальных условия находим C1 и C2:
xt=0=0yt=0=0
a∙0+C1=0ab∙022+bC1∙0+C2=0
C1=0C2=0
Уравнение движения в параметрическом виде:
x=aty=abt22
Из первого уравнения выразим t и подставим во второе:
t=xa
y=abxa22=b2a∙x2
Следовательно, уравнение траектории имеет вид: y=b2a∙x2.
Ускорение w=wτ∙τ+wn∙n, где τ – орт касательной, n – орта нормали, wτ=v – касательная составляющая, wn=v2R – нормальная составляющая, R – искомый радиус кривизны