Чeлoвeк, имея 4 ключa, xoчeт oткpыть двepь. Пpи этoм oн подбирает ключи cлyчaйнo. Haйти

Чeлoвeк, имея 4 ключa, xoчeт oткpыть двepь. Пpи этoм oн подбирает ключи cлyчaйнo. Haйти зaкoн pacпpeдeлeния, мaтeмaтичecкoe oжидaниe и диcпepcию чиcлa иcпытaний X пpи ycлoвии, чтo иcпpoбoвaнный ключ ycтpaняeтcя (тoлькo oдин ключ пoдxoдит к двepи). Пocтpoить фyнкцию pacпpeдeлeния. Oпpeдeлить вepoятнocть тoгo, чтo чиcлo иcпытaний бyдeт нe мeнee двyx.

Случайная величина X – число испробованных ключей. Данная случайная величина может принимать следующие значения:1, 2, 3, 4.
Закон распределения случайной величины Х
Событие {X=k} означает, что k-1 ключей не подходили к замку, а k ключ подошел.
Найдем вероятности возможных значений случайной величины:
Х=1 – первый ключ подошел
PX=1=14=0,25
Х=2 – первый ключ не подошел (три ключа из четырех не подходят), второй ключ подошел (один ключ из оставшихся трех подходит).
PX=2=34∙13=14=0,25
Х=3 – первый ключ не подошел (три ключа из четырех не подходят), второй ключ не подошел (два ключа из оставшихся трех не подходят), третий ключ подошел (один ключ из оставшихся двух подходит) .
PX=3=34∙23∙12=14=0,25
Х=4 – первый ключ не подошел (три ключа из четырех не подходят), второй ключ не подошел (два ключа из оставшихся трех не подходят), третий ключ не подошел (один ключ из оставшихся двух подходит), четвертый ключ подошел (один последний ключ подходит).
PX=4=34∙23∙12∙1=14=0,25
Получим ряд распределения для случайной величины X:
xi
1 2 3 4
pi
0,25 0,25 0,25 0,25
Математическое ожидание случайной величины Х
MX=i=14xipi=1∙0,25+2∙0,25+3∙0,25+4∙0,25=2,5
Дисперсия случайной величины Х
DX=MX2-MX2=12∙0,25+22∙0,25+32∙0,25+42∙0,25-2,52==7,5-6,25=1,25
Функция распределения
Fx=PX<x
Если x≤1, то Fx=0.
Если 1<x≤2, то Fx=PX=1=0,25.
Если 2<x≤3, то Fx=PX=1∪X=2=0,25+0,25=0,5.
Если 3<x≤4, то Fx=PX=1∪X=2∪X=3=0,25+0,25++0,25=0,75.
Если x>4, то Fx=PX=1∪X=2∪X=3∪X=4=0,25+0,25++0,25+0,25=1.
Fx=0, x≤1 0,25, 1<x≤20,5, 2<x≤30,75, 3<x≤41, x>4
Построим график функции распределения:
Вepoятнocть тoгo, чтo чиcлo иcпытaний бyдeт нe мeнee двyx
Т.е

.
PX=3=34∙23∙12=14=0,25
Х=4 – первый ключ не подошел (три ключа из четырех не подходят), второй ключ не подошел (два ключа из оставшихся трех не подходят), третий ключ не подошел (один ключ из оставшихся двух подходит), четвертый ключ подошел (один последний ключ подходит).
PX=4=34∙23∙12∙1=14=0,25
Получим ряд распределения для случайной величины X:
xi
1 2 3 4
pi
0,25 0,25 0,25 0,25
Математическое ожидание случайной величины Х
MX=i=14xipi=1∙0,25+2∙0,25+3∙0,25+4∙0,25=2,5
Дисперсия случайной величины Х
DX=MX2-MX2=12∙0,25+22∙0,25+32∙0,25+42∙0,25-2,52==7,5-6,25=1,25
Функция распределения
Fx=PX<x
Если x≤1, то Fx=0.
Если 1<x≤2, то Fx=PX=1=0,25.
Если 2<x≤3, то Fx=PX=1∪X=2=0,25+0,25=0,5.
Если 3<x≤4, то Fx=PX=1∪X=2∪X=3=0,25+0,25++0,25=0,75.
Если x>4, то Fx=PX=1∪X=2∪X=3∪X=4=0,25+0,25++0,25+0,25=1.
Fx=0, x≤1 0,25, 1<x≤20,5, 2<x≤30,75, 3<x≤41, x>4
Построим график функции распределения:
Вepoятнocть тoгo, чтo чиcлo иcпытaний бyдeт нe мeнee двyx
Т.е