Чаеразвесочная фабрика выпускает чай сорта А и Б, смешивая 3 ингредиента: I, II, III.

Чаеразвесочная фабрика выпускает чай сорта А и Б, смешивая 3 ингредиента: I, II, III. В таблице приведены нормы расхода ингредиентов, объем запасов каждого ингредиента и прибыль от реализации 1 т чая сорта А и Б. Составить план производства с целью максимизации суммарной прибыли. Ингредиенты Нормы расхода (т/т) Нормы расхода (т/т) Объём запасов(т) А Б I 0,5 0,2 600 II 0,4 0,6 870 III 0,1 0,2 430 Прибыль от реализации 1 т (д.е.) 260 240 Указать избыточные и дефицитные ресурсы. 2. Построить двойственную задачу и решить геометрическим способом, принимая во внимание результаты решения п.1.

Пусть чая сорта А необходимо выпускать х1 т, сорта В – х2, тогда ограничения
по ингредиенту I: 0.5x1+0.2x2≤600,
по ингредиенту II:0.4x1+0.6x2≤870,  
по ингредиенту III: 0.1x1+0.2x2≤430,
по неотрицательности переменных: 
x1 ≥ 0,
x2 ≥ 0.
Прибыль от реализации находится как F=260x1+240x2, которую необходимо максимизировать.
Математическая модель имеет вид:
F = 260x1+240x2 → max,
0.5x1+0.2x2≤600, 0.4x1+0.6x2≤870, 0.1x1+0.2x2≤430, x1 ≥ 0,
x2 ≥ 0.
Необходимо найти максимальное значение целевой функции F=260x1+240x2 → max при системе ограничений: 
0.5x1+0.2x2≤600, (1) 0.4x1+0.6x2≤870, (2) 0.1x1+0.2x2≤430, (3) x1 ≥0, (4) x2 ≥0, (5) 
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом). 
Построим уравнение 0.5x1+0.2x2 = 600 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 3000. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 1200. Соединяем точку (0;3000) с (1200;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 0.5 ∙ 0 + 0.2 ∙ 0 - 600 ≤ 0, т.е. 0.5x1+0.2x2 - 600≤ 0 в полуплоскости ниже прямой. 
Построим уравнение 0.4x1+0.6x2 = 870 по двум точкам

. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 1450. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 2175. Соединяем точку (0;1450) с (2175;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 0.4 ∙ 0 + 0.6 ∙ 0 - 870 ≤ 0, т.е. 0.4x1+0.6x2 - 870≤ 0 в полуплоскости ниже прямой. 
Построим уравнение 0.1x1+0.2x2 = 430 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 2150. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 4300. Соединяем точку (0;2150) с (4300;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 0.1 ∙ 0 + 0.2 ∙ 0 - 430 ≤ 0, т.е. 0.1x1+0.2x2 - 430≤ 0 в полуплоскости ниже прямой. 
Шаг №2. Границы области допустимых решений. 
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. 
Обозначим границы области многоугольника решений. 
Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 260x1+240x2 → max. Построим прямую, отвечающую значению функции F = 260x1+240x2= 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (260;240)