Дана функция fx=0, x≤0,ax2, 0<x≤3, 0, x>3. При каком значении параметра a заданная функция является

Дана функция fx=0, x≤0,ax2, 0&lt;x≤3, 0, x&gt;3. При каком значении параметра a заданная функция является (Решение → 11121)

Дана функция fx=0, x≤0,ax2, 0<x≤3, 0, x>3. При каком значении параметра a заданная функция является плотностью вероятностей некоего распределения. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность события A=-1≤X≤2. Построить графики плотности и функции распределения.



Дана функция fx=0, x≤0,ax2, 0&lt;x≤3, 0, x&gt;3. При каком значении параметра a заданная функция является (Решение → 11121)

Найдем параметр a.
Плотность распределения fx должна удовлетворять условию
-∞∞fxdx=1
Для заданной функции
-∞∞fxdx=-∞00dx+03ax2dx+3∞0dx=a03x2dx=ax3303=9a=1
9a=1 ⟹a=19
Плотность распределения имеет вид
fx=0, x≤0,19x2, 0<x≤3, 0, x>3.
Найдем функцию распределения Fx . Используем формулу
Fx=-∞xfxdx
Если -∞<x≤0, то fx=0, следовательно,
Fx=-∞x0dx=0
Если 0<x≤3, то
Fx=-∞00dx+0x19x2dx=x3270x=x327
Если 3<x<+∞, то
Fx=-∞00dx+0319x2dx+3x0dx=x32703=1
Функция распределения имеет вид
Fx=0, x≤0,x327, 0<x≤3, 1, x>3.
Математическое ожидание
MX=-∞∞xfxdx=-∞0x∙0dx+03x∙19x2dx+3∞x∙0dx=1903x3dx=x43603=8136=94=2,25
Дисперсия
DX=-∞∞x2fxdx-MX2=-∞0x2∙0dx+03x2∙19x2dx+3∞x2∙0dx-8116=1903x4dx-8116=x54503-8116=24345-8116=275-8116=432-40580=2780=0,3375
Найдем вероятность события A=-1≤X≤2.
Вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале a,b, равна приращению функции распределения на этом интервале
Pa≤X≤b=Fb-Fa
Положив, a=-1, b=2, получим
PA=P-1≤X≤2=F2-F-1=2327-0=827≈0,2963



. Используем формулу
Fx=-∞xfxdx
Если -∞<x≤0, то fx=0, следовательно,
Fx=-∞x0dx=0
Если 0<x≤3, то
Fx=-∞00dx+0x19x2dx=x3270x=x327
Если 3<x<+∞, то
Fx=-∞00dx+0319x2dx+3x0dx=x32703=1
Функция распределения имеет вид
Fx=0, x≤0,x327, 0<x≤3, 1, x>3.
Математическое ожидание
MX=-∞∞xfxdx=-∞0x∙0dx+03x∙19x2dx+3∞x∙0dx=1903x3dx=x43603=8136=94=2,25
Дисперсия
DX=-∞∞x2fxdx-MX2=-∞0x2∙0dx+03x2∙19x2dx+3∞x2∙0dx-8116=1903x4dx-8116=x54503-8116=24345-8116=275-8116=432-40580=2780=0,3375
Найдем вероятность события A=-1≤X≤2.
Вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале a,b, равна приращению функции распределения на этом интервале
Pa≤X≤b=Fb-Fa
Положив, a=-1, b=2, получим
PA=P-1≤X≤2=F2-F-1=2327-0=827≈0,2963

Дана функция fx=0, x≤0,ax2, 0<x≤3, 0, x>3. При каком значении параметра a заданная функция является (Решение → 11121)

Дана функция fx=0, x≤0,ax2, 0<x≤3, 0, x>3. При каком значении параметра a заданная функция является (Решение → 11121)