Дана функция z=f(x, y). Требуется: Найти частные производные ∂z∂x и ∂z∂y; Найти полный дифференциал dz; Показать, что

Дана функция z=f(x, y). Требуется: Найти частные производные ∂z∂x и ∂z∂y; Найти полный дифференциал dz; Показать, что для данной функции справедливо равенство ∂2z∂x∂y=∂2z∂y∂x z= ex+3y+cosxy

Ищем частные производные 1-го порядка:
∂z∂x=ex+3y+cosxyx'=При нахождении частной производнойпо x считаем y постоянной=
=ex+3y-y∙sinxy
∂z∂y=ex+3y+cosxyx'=При нахождении частной производнойпо y считаем x постоянной=
=ex+3y-x∙sinxy
Полный дифференциал функции двух переменных найдём по формуле:
dz=∂z∂xdx+∂z∂ydy
Имеем:
dz=ex+3y-y∙sinxydx+ex+3y-x∙sinxydy
Вычислим смешанные частные производные:
∂2z∂x∂y=ex+3y-y∙sinxyy'=ex+3y-x∙y∙cosxy
∂2z∂y∂x=ex+3y-x∙sinxyx'=ex+3y-x∙y∙cosxy
Следовательно, выполнено равенство для смешанных производных:
∂2z∂x∂y=∂2z∂y∂x