Дана функция z=x2+xy+y2, точка M0(1;1) и вектор s=2i-j Найти: grad z в точке M0 Производную в точке

Дана функция z=x2+xy+y2, точка M0(1;1) и вектор s=2i-j Найти: grad z в точке M0 Производную в точке M0 по направлению вектора s Уравнение касательной к плоскости и нормали к поверхности в точке (x0,y0,z0)

Вектор градиента равен:
grad z=∂z∂xi+∂z∂yj
Найдем частные производные:
∂z∂x=y=const=(x2+xy+y2)x'=2x+y ∂z∂xM0=3
∂z∂y=x=const=(x2+xy+y2)y'=x+2y ∂z∂yM0=3
Тогда вектор градиента:
grad z=2x+yi+(x+2y)j
Вектор градиента в точке M0
grad z=3i+3j
Найдем производную функции по направлению вектора s
∂z∂sM0=∂z∂xM0cosα+∂z∂yM0cosβ
s=22+(-1)2=5
cosα=sxs=25 cosβ=sys=-15
∂z∂sM0=3∙25+3∙-15=35
Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0:
z-z0=∂z∂xM0x-x0+∂z∂yM0(y-y0)
z0=12+1∙1+12=3
z-3=3x-1+3y-1
3x+3y-z-3=0
Уравнение нормали:
x-x0∂z∂xM0=y-y0∂z∂xM0=z-z0-1
x-13=y-13=z-3-1