Дана функция и две точки и . Найти: 1) в точке : 2) производную

Дана функция и две точки и . Найти: 1) в точке : 2) производную в точке по направлению вектора . 9 , Дано: z=arctgx2y;A2;-1, B(8;7) Найти: 1) в точке : 2) производную в точке по направлению вектора

Запишем общую формулу для вычисления градиента функции в точке для функции двух переменных:
grad z=∂u∂xi+∂u∂yj;grad z=(z'x;z'y)
Следовательно, вычислим частные производные функции и найдем значения этих частных производных в точке
z'x=(arctgx2y)'x=11+(x2y)2∙x2y'x=2x1+(x2y)2
z'y=(arctgx2y)'y=11+(x2y)2∙x2y'y=11+x2y2∙1=11+x2y2
z'xA=2∙21+(22∙(-1))2=41+16=417

z'YA=11+(22∙(-1))2=11+16=117
вычислим в точке A2;-1:
grad z=417;117
Запишем общую формулу для вычисления производной по направлению для функции двух переменных через градиент
z'ABA=z'xcosα+z'ycosβ,где cosα=axAB, cosβ=ayAB, ax;ay=AB
Координаты вектора ABопределяются по формуле
AB=xB-xA;yB-yA=8-2;7--1=(6;8)
AB=62+82=36+64=100=10
cosα=axAB=610=0,6
cosβ=ayAB=810=0,8
z'xA=2∙21+(22∙(-1))2=41+16=417

z'YA=11+(22∙(-1))2=11+16=117
найдем производную в точке A2;-1 по направлению вектора .
z'ABA=z'xcosα+z'ycosβ=417∙610+117∙810=24170+8170=32170=1685
Ответ:
grad z=417;117
z'ABA=1685