Дана функция распределения абс. непрерывной случайной величины ξ: Fx=0;x≤0sin4x,x∈0;c1,x>c Найти c, E(ξ), D(ξ), энтропию ξ и

Дана функция распределения абс. непрерывной случайной величины ξ: Fx=0;x≤0sin4x,x∈0;c1,x>c Найти c, E(ξ), D(ξ), энтропию ξ и распределение η=sin3ξ.

Неизвестную константу находим из условия непрерывности и монотонности функции распределения, т.е. в нашем случае:
sin4c=1 c=π8
Получили следующую функцию распределения:
Fx=0;x≤0sin4x,x∈0;π81,x>π8
Найдем плотность распределения, используя связь с функцией распределения:
fx=F'x
Дифференцируем и получаем:
fx=0;x≤04cos4x,x∈0;π80,x>π8
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины вычисляются по формуле:
Eξ=-∞∞xfxdx; Dξ=-∞∞x2fxdx-Eξ2
В нашем случае имеем:
Eξ=0π84xcos4xdx=xsin4x+14cos4x0π8=π8-14=π-28
Dξ=0π84x2cos4xdx-π-282=
=x2sin4x+x2cos4x-18sin4x0π8-π-2264
=π264-18-π-2264=π-316
Энтропия непрерывной случайной величины:
Hξ=--∞∞fxlog2fxdx
В нашем случае имеем:
Hξ=-0π84cos4xlog24cos4xdx
Интеграл не выражается в элементарных функция, численное вычисление дает результат:
Hξ≈0,4427
Найдем распределение η=sin3ξ