Дифференциальная функция распределения fx НСВ X задана графиком: Требуется: 1) Найти коэффициент a. 2) Задать плотность распределения

Дифференциальная функция распределения fx НСВ X задана графиком: Требуется: 1) Найти коэффициент a. 2) Задать плотность распределения fx аналитически. 3) Найти функцию распределения Fx и построить ее график. 4) Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение этой СВ X. 5) Вычислить моду, медиану, а также коэффициенты асимметрии и эксцесса 6) Указать формулы для вычисления вероятность попадания СВ X в заданный интервал для ДСВ и НСВ. Вычислить P-10≤x≤10.

1) Коэффициент a найдем, используя условие нормировки:
-∞∞fxdx=1
Т.к. геометрический смысл определенного интеграла – площадь фигуры под графиком функции (два прямоугольных треугольника в нашем случае), то:
-∞∞fxdx=a280+23=1032a a=2103
2) Запишем уравнения прямых по координатам двух точек x1;y`1,x2;y2 по формуле:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1
- левая сторона (точки -80;0, 0,a):
x+8080=ya y=a80x+80=x4120+2103
- правая сторона:
x-23-23=ya y=-a23x-23=-2x2369+2103
Тогда плотность распределения:
fx=0;x≤-80x4120+2103;-80<x≤0-2x2369+2103;0<x≤230;x>23
3) Найдем функцию распределения Fx по формуле:
Fx=-∞xftdt
На интервале x≤-80 имеем Fx=0, а на интервале x>23 Fx=1.
На интервале -80<x≤0:
Fx=-80xt4120+2103dt=t28240+2t103-80x=x28240+2x103+80103
На интервале 0<x≤23:
Fx=F0+0x-2t2369+2103dt=80103+-t22369+2t1030x=
=-x22369+2x103+80103
Получили:
Fx=0;x≤-80x28240+2x103+80103;-80<x≤0-x22369+2x103+80103;0<x≤231;x>23
Графически:
4) Вычисляем числовые характеристики:
- математическое ожидание:
Mx=-800xx4120+2103dx+023x-2x2369+2103dx=
=x312360+x2103-800+-2x37107+x2103023=-19
- дисперсия:
Dx=-800x2x4120+2103dx+023x2-2x2369+2103dx-(-19)2=
=x416480+2x3309-800+-x44738+2x3309023-361=50896-361=29236≈487,167
- среднеквадратическое отклонение:
σx=D=487,167≈22,072
5) мода непрерывной случайной величины есть точка, в которой наблюдается максимум дифференциальной функции, т.е