Дисперсия оценок. Для линейной модели регрессии с константой рассмотрим оценку коэффициента наклона β β''=xiyixi2 Будет ли

Дисперсия оценок. Для линейной модели регрессии с константой рассмотрим оценку коэффициента наклона β β''=xiyixi2 Будет ли эта оценка с меньшей дисперсией, чем у МНК-оценки? Найдите Varβ''

Покажем, что любая другая линейная несмещенная оценка имеет большую дисперсию.
Пусть
β''=ciyi
Произвольная, линейная по у несмещенная оценка параметра β
Представим ее коэффициенты ci=ωi+θi
β''=ωiyi, ωi=xixi2
Т.к .
Mβ''=Mβ''=β
0=Mβ''-Mβ''=Mβ''-β''=Mθiyi=θiMyi=θiβxi=
=βθixi
Так как это равенство должно быть выполнено для произвольных значений β, получаем, что
θixi=0
Varβ''=Varciyi=ci2Var(yi)=σ2ωi+θi2=σ2ωi2+2ωiθi+θi2
По условию ωi=xixi2
Поэтому:
ωiθi=θixixi2=0
Т.к

.
Mβ''=Mβ''=β
0=Mβ''-Mβ''=Mβ''-β''=Mθiyi=θiMyi=θiβxi=
=βθixi
Так как это равенство должно быть выполнено для произвольных значений β, получаем, что
θixi=0
Varβ''=Varciyi=ci2Var(yi)=σ2ωi+θi2=σ2ωi2+2ωiθi+θi2
По условию ωi=xixi2
Поэтому:
ωiθi=θixixi2=0
Т.к