Для табличной функции х 1 1,7 4 5 6,26 у 6,3 1,74 4 1 6 1. Построить

Для табличной функции х 1 1,7 4 5 6,26 у 6,3 1,74 4 1 6 1. Построить интерполяционный многочлен (Лагранжа или Ньютона по выбору). 2. Найти точки экстремума и корни многочлена, используя один из итерационных методов по выбору. 3. Построить график многочлена.

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа.
Число узлов равно пяти, следовательно, многочлен Лагранжа будет многочленом четвертой степени.
L4x=6,3∙x-1,7x-4x-5x-6,261-1,71-41-51-6,26+1,74∙x-1x-4x-5x-6,261,7-11,7-41,7-51,7-6,26+4∙x-1x-1,7x-5x-6,264-14-1,74-54-6,26+x-1x-1,7x-4x-6,265-15-1,75-45-6,26+6∙x-1x-1,7x-4x-56,26-16,26-1,76,26-46,26-5
После преобразований получим
L4x=0.35499x4-5.0799x3+25.036x2-49.4434x+35.4323
2. Найдем точки экстремума и корни многочлена, используя один из итерационных методов по выбору.
Найдем критические точки – нули производной.
L'4x=1.41199x3-15.2397x2+50.072x-49.4434
L''4x=4.25994x2-30.4794x+50.072
Отделим корни аналитически, найдем знаки первой и второй производных:
х  L'4x
 L''4x
0 -49,4434 50,072
1 -13,1991 23,85254
2 1,037784 6,15296
3 1,739246 -3,02674
4 -2,62273 -3,68656
5 -3,57615 4,1735
6 7,350968 20,55344
7 38,63061 45,45326
8 98,73478 78,87296
Т.к

. на промежутках (1;2), (3;4) и (5;6) производная меняет знак, а вторая производная знакопостоянна, то на этих промежутках находится по одному корню. Причем, на промежутках (1;2), (5;6) – минимум исходной функции (производная меняет знак с «-» на «+»), на промежутке (1;2) соответственно максимум.
Найдем корни методом касательных.
Выберем начальное приближение из условия
L'''4x=8.50988x-30.4794
L'''4x<0 при х ϵ (1;3) и L'''4x>0 при х ϵ (5;6)
Следовательно, на промежутке х ϵ (1;2) х0=1, на промежутке х ϵ (3;4) х0=4; на промежутке х ϵ (5;6) х0=6.
xn+1=xn-1.41199(xn)3-15.2397(xn)2+50.072(xn)-49.44344.25994(xn)2-30.4794(xn)+50.072
Результаты расчетов представим в таблице:
n x F(x) F'(x) |xn+1-xn|
0 1 -13,1991 23,85254 0,553363
1 1,553363 -3,14344 13,0054 0,241703
2 1,795065 -0,49993 9,08612 0,055021
3 1,850086 -0,02713 8,263486 0,003283
4 1,853369 -0,00035 8,215222 0,00004
5 1,853411 0,00000 8,214598 0,00000
n x F(x) F'(x) |xn+1-xn|
0 4 -2,622728 -3,68656 0,71143
1 3,28857 0,626734573 -4,091699594 0,153172
2 3,441743 -0,065311792 -4,368737642 0,01495
3 3,426793 0,004088244 -4,350501093 0,00094
4 3,427732 -0,000264883 -4,351703494 0,00006
5 3,427672 0,00002 -4,351625838 0,00000
n x F(x) F'(x) |xn+1-xn|
0 6 7,350968 20,55344 0,357651
1 5,642349 1,545411 13,71647 0,112668
2 5,52968 0,19382 11,7884 0,016442
3 5,513239 0,014245 11,51608 0,001237
4 5,512002 0,000913 11,49569 0,00008
5 5,511922 0,00006 11,49438 0,00001
Получаем: х= 1,853411±0,0001 – минимум; х=3,427672±0,0001 – максимум; х=5,511922±0,0001 – минимум.
Найдем корни многочлена.
Отделяем корни графически.
Из представленного графика видно, что полином не имеет действительных корней.
3