Для табличной функции: x 1 2,7 4 5 6,06 y 5,3 1,94 4 1 6 1. Построить интерполяционный многочлен

Для табличной функции: x 1 2,7 4 5 6,06 y 5,3 1,94 4 1 6 1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. 2. Найти точки экстремума и корни многочлена, используя один из итерационных методов по выбору. 3. Построить график многочлена.

1. Построим интерполяционный многочлен Лагранжа.
Число узлов равно пяти, следовательно, многочлен Лагранжа будет многочленом четвертой степени.
L4x=5.3∙x-2.7x-4x-5x-6.061-2.71-41-51-6.06+1.94∙x-1x-4x-5x-6.062.7-12.7-42.7-52.7-6.06+
+4∙x-1x-2.7x-5x-6.064-14-2.74-54-6.06+1∙x-1x-2.7x-4x-6.065-15-2.75-44-6.06+
+6∙x-1x-2.7x-4x-56.06-16.06-2.76.06-46.06-5.
После преобразований, получим
L4x=0,4947x4-7.0779x3+35.0131x2-68.9127x+45.7828
2. Найдем точки экстремума и корни многочлена, используя один из итерационных методов по выбору.
Найдем критические точки – нули производной.
L4'x=1.9788x3-21.2338x2+70.0262x-68.9127.
L4''x=5.9365x2-42.4676x+70.0262.
Отделим корни аналитически, найдем знаки первой и второй производных:
 x
 L4'x
 L4''x
0 -68,9127 70,0262
1 -18,1415 33,4951
2 2,0349 8,837
3 3,4893 -3,9481
4 -1,9055 -4,8602
5 -2,2767 6,1007
6 14,2485 28,9346
7 59,5429 63,6415
8 145,4793 110,2214
Т.к. на промежутках (1;2), (3;4) и (5;6) производная меняет знак, а вторая производная знакопостоянна, на этих промежутках находится по одному корню

. Причем корень на промежутках (1,2) и (5,6) – минимумы исходной функции (производная меняет знак с «-» на «+»), на промежутке (2;3), соответственно – максимум (производная меняет знак с «+» на «-»).
Корни будем искать методом касательных.
xn+1=xn-fxnf'xn, n=0,1,2,3,…
Выберем начальное приближение из условия: fxf''x>0.
L4'''x=11.8730x-42.4676.
L4'''x<0 при x∈1;3 и L4'''x>0 при x∈5;6.
Следовательно, на промежутке x∈1;2 x0=1;на промежутке 3;4 x0=4; на промежутке x∈5;6 x0=6.
xn+1=xn-1.9788xn3-21.2338xn2+70.0262xn-68.91275.9365xn2-42.4676xn+70.0262
Результаты расчетов представим в таблице:
n
xn
fxn
f'xn
xn+1-xn
0 1 -18,1415 33,4951
1 1,541616535 -4,1731266 18,66602196 0,541616535
2 1,76518461 -0,58183914 13,56044812 0,223568075
3 1,80809168 -0,01965712 12,64846493 0,04290707
4 1,80964579 -0,00002586 12,61584274 0,00155411
5 1,80964784 0,00000000 12,61579973 0,00000205
6 1,80964784 0,00000000 12,61579972 0,00000000
n
xn
fxn
f'xn
xn+1-xn
0 4 -1,9055 -4,8602  
1 3,607937945 0,267470563 -5,917561413 -0,392062055
2 3,653137402 0,000500541 -5,888734384 0,045199457
3 3,65322240 -0,00000011 -5,88865732 0,00008500
4 3,65322238 0,00000000 -5,88865734 -0,00000002
n
xn
fxn
f'xn
xn+1-xn
0 6 14,2485 28,9346
1 5,507561881 3,253674401 16,20653169 -0,492438119
2 5,306798728 0,446553648 11,84357662 -0,200763153
3 5,26909444 0,01459935 11,07756910 -0,03770429
4 5,26777652 0,00002110 11,05109930 -0,00131792
5 5,26777461 0,00000001 11,05106096 -0,00000191
6 5,26777461 0,00000000 11,05106095 0,00000000
Получаем: x=1.8096±0.0001-минимум; x=3.6532±0.0001-максимум;
x=5,2678±0.0001-минимум.
Найдем корни многочлена.
Отделим корни графически:
Из графика видно, что уравнение имеет два корня, по одному на промежутках (1;2) и (2;3).
Выберем начальное приближение из условия: fxf''x>0.
На промежутке x∈1;2: L41L4''1>0⟹x0=1; на промежутке 2;3 вторая производная
меняет знак, сузим его до 2;2.5, тогда L42,5L4''2,5>0 x0=2,5.
xn+1=xn-0,4947xn4-7.0779xn3+35.0131xn2-68.9127xn+45.78281.9788xn3-21.2338xn2+70.0262xn-68.9127
Результаты расчетов представим в таблице:
n
xn
fxn
f'xn
xn+1-xn
0 1 5,3 -18,1415  
1 1,29214784 1,30590096 -9,61230553 0,29214784
2 1,42800504 0,22015749 -6,45262721 0,13585720
3 1,46212409 0,01234595 -5,73425711 0,03411905
4 1,46427711 0,00004822 -5,68991109 0,00215302
5 1,46428558 0,00000000 -5,68973677 0,00000847
n
xn
fxn
f'xn
xn+1-xn
0 2,5 1,06495625 4,3603  
1 2,25576078 0,06129328 3,71572501 -0,24423922
2 2,23926514 0,00060705 3,64039803 -0,01649565
3 2,23909839 -0,00000002 3,63961459 -0,00016675
4 2,23909839 0,00000000 3,63961461 0,00000001
Получаем корни:
x=1.4643±0.0001; x=2.2391±0.0001;
3