Для табличной функции: x 1 2,4 4 5 6,12 y 5,6 1,88 4 1 6 1. Построить интерполяционный многочлен

Для табличной функции: x 1 2,4 4 5 6,12 y 5,6 1,88 4 1 6 1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. 2. Найти точки экстремума и корни многочлена, используя один из итерационных методов по выбору. 3. Построить график многочлена.

1. Построим интерполяционный многочлен Лагранжа.
Число узлов равно пяти, следовательно, многочлен Лагранжа будет многочленом четвертой степени.
L4x=5.6∙x-2.4x-4x-5x-6.121-2.41-41-51-6.12+1.88∙x-1x-4x-5x-6.122.4-12.4-42.4-52.4-6.12+
+4∙x-1x-2.4x-5x-6.124-14-2.44-54-6.12+1∙x-1x-2.4x-4x-6.125-15-2.45-45-6.12+
+6∙x-1x-2.4x-4x-56.12-16.12-2.46.12-46.12-5.
После преобразований, получим
L4x=0.41823x4-5.93380x3+29.02679x2-56.60729x+38.69607.
2. Найдем точки экстремума и корни многочлена, используя один из итерационных методов по выбору.
Найдем критические точки – нули производной.
L4'x=1.67292x3-17.80140x2+58.05358x-56.60729.
L4''x=5.01876x2-35.60280x+58.05358.
Отделим корни аналитически, найдем знаки первой и второй производных:
x
L4'x
L4''x
0 -56,60729 58,05358
1 -14,68219 27,46954
2 1,67763 6,92302
3 2,50969 -3,58598
4 -2,14849 -4,05746
5 -2,25939 5,50858
6 12,21451 25,11214
7 51,31073 54,75322
Т.к

. на промежутках (1;2), (3;4) и (5;6) производная меняет знак, а вторая производная знакопостоянна, на этих промежутках находится по одному корню. Причем корень на промежутках (1,2) и (5,6) – минимумы исходной функции (производная меняет знак с «-» на «+»), на промежутке (2;3), соответственно – максимум (производная меняет знак с «+» на «-»).
Корни будем искать методом касательных.
xn+1=xn-fxnf'xn, n=0,1,2,3,…
Выберем начальное приближение из условия: fxf''x>0.
L4'''x=10.03752x-35.60292.
L4'''x<0 при x∈1;2 и L4'''x>0 при x∈5;6.
На промежутке x∈3;4 вторая производная не сохраняет знак