Для толстостенного сосуда, находящегося в условиях воздействия давления (p1 и/или p2) требуется: 1. Построить

Для толстостенного сосуда, находящегося в условиях воздействия давления (p1 и/или p2) требуется: 1. Построить эпюры окружных и радиальных напряжений от давления по радиусу сечения. 2. Изобразить элемент, вырезанный в опасной точке. Проверить прочность сосуда. Исходные данные Вариант r1,см r2,см p1,МПа p2,МПа σт, МПа Критерий прочности 3 7 12 25 0 180 Мизеса -16666296545Рис. 1. Исходный рисунок p1 p2 2r1 2r2 00Рис. 1. Исходный рисунок p1 p2 2r1 2r2

В задании не задано, сосуд открытый, или закрытый. Расчеты выполним для закрытого цилиндрического сосуда.
Теория
***
В прикладной теории упругости рассматриваются толстостенные цилиндрические оболочки, т.к. в мех. системах многие детали имеют именно форму закрытых цилиндров с толстыми стенами, находящимся под действием равномерно распределенного внутреннего и/или внешнего давления.
В отличие от тонкостенных цилиндров для толстостенных нельзя принимать распределение окружных напряжений равномерным по толщине стенки, кроме того, здесь радиальные напряжения соизмеримы с окружными, и их необходимо учитывать. Для закрытого цилиндра (цилиндра или трубы с днищами, рис. 2), находящегося под действием внутреннего и наружного давления напряженное состояние для произвольной точки – трехосное, главными являются окружное σt, радиальное σr и осевое σz (меридиональное) напряжения. Напряжения σr и σt изменяются по толщине стенки цилиндра по гиперболическому закону, осевые напряжения σz распределены по поперечному сечению цилиндра равномерно.
Величины указанных напряжений определяют по формулам Ляме: centertopРис. 2. Толстостенный цилиндр
00Рис. 2. Толстостенный цилиндр
σt=p1r12-p2r22r22-r12+(p1-p1)r12r22r22-r12r2; (1)
σr=p1r12-p2r22r22-r12-(p1-p1)r12r22r22-r12r2; (2)
σz=p1r12-p2r22r22-r12

. (3)
leftbottomРис. 3.Эпюры
напряжений
00Рис. 3.Эпюры
напряжений
В этих формулах r- расстояние от рассматриваемой точки до оси цилиндра; остальные обозначения ясны из рисунка 2.
Характер эпюр напряжений σt, σr и σz показан на рис. 3.
При открытом цилиндре σz=0.
***
В теории пластичности разработаны несколько теорий (моделей) прочности.
В модели прочности Мизеса (IV теория прочности) отображается наступление текучести материала. Это энергетическая модель прочности. Количество энергии формоизменения одинаково как при простом растяжении, так и при сложном напряженном состоянии.
Напряжения определяются по формуле
σпр.IV=12σ1-σ22+σ2-σ32+σ3-σ12, (4)
где σ1, σ2 и σ3- главные напряжения (σ1=σt, σ2=σr и σ3=σz).
Расчеты 
***
По формулам Ляме (1), (2) и (3) получим:
σt=p1r12-p2r22r22-r12+p1-p2r12r22r22-r12r2=
=25∙106∙7∙10-22-0∙r2212∙10-22-7∙10-22+25∙106-0∙12∙10-22∙7∙10-2212∙10-22-7∙10-22r2=
=12,895+0,186r2;
σt=12,895+0,186r2.
σr=p1r12-p2r22r22-r12-p1-p2r12r22r22-r12r2=12,895-0,186r2;
σr=12,895-0,186r2.
σz=p1r12-p2r22r22-r12=12,895 МПа;
σz=12,895 МПа.
Построим эпюры главных напряжений (рис