Для заданной плотности вероятности непрерывной случайной величины: а) найти значение константы; б) найти функцию распределения и

Для заданной плотности вероятности непрерывной случайной величины: а) найти значение константы; б) найти функцию распределения и построить ее график (бонусное задание); в) найти математическое ожидание и дисперсию; г) определит вероятность того, что значения случайной величины попадают в интервал (1;3) fx=0, при x≤-π2Ccosx, при -π2<x≤π20, при x>π2

Значение константы найдем, исходя из того, что:
-∞∞fxdx=1
-∞∞fxdx=-π2π2Ccosxdx=Csinxπ2-π2=Csinπ2-Csin-π2=2Csinπ2=2C
2C=1 => C=12
fx=0, при x≤-π212cosx, при -π2<x≤π20, при x>π2
Найдем функцию распределения по формуле:
Fx=-∞xftdt
При x≤-π2:
Fx=-∞x0∙dt=0
при -π2<x≤π2
Fx=-∞-π20∙dt+12-π2xcostdt=12sintx-π2=12sinx+12
при x>3
Fx=-∞-π20∙dt+12-π2π2costdt+π2x0∙dt=1
Fx=0, x≤-π212sinx+12, -π2<x≤π2 1, x>π2
Построим графики функций:
Математическое ожидание найдем по формуле:
MX=-∞∞x∙fxdx=12-π2π2xcosxdx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x dv=cosxdx
du=dx v=sinx
=12xsinxπ2-π2-12-π2π2sinxdx=π4-π4+12cosxπ2-π2=cosπ2-cos-π2=0
Дисперсию найдем по формуле:
DX=-∞∞x2∙fxdx-(Mx)2=12-π2π2x2cosxdx
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x2 dv=cosxdx
du=2xdx v=sinx
=12x2sinxπ2-π2--π2π2x∙sinxdx=π28+π28--π2π2x∙sinxdx=π24--π2π2x∙sinxdx=
Применим формулу интегрирования по частям еще раз:
u=x dv=sinxdx
du=dx v=-cosx
=π24-xcosxπ2-π2--π2π2cosxdx=π24-sinxπ2-π2=π24-1-1=π2-84≈0,467
σX=D(X)=0,467≈0,683
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал найдем по формуле:
Pα<X<β=Fβ-F(α)
P1<X<3=F3-F1=1-12sin1-12=12-sin1