Имеются поквартальные данные о численности занятых на предприятиях машиностроения в некотором городе: № квартала 1

Имеются поквартальные данные о численности занятых на предприятиях машиностроения в некотором городе: № квартала 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Численность занятых (тыс. чел.) 232 220 209 197 187 175 164 155 146 1) Обоснуйте выбор вида уравнения тренда и определите его параметры, объясните полученное уравнение. 2) Определите коэффициент автокорреляции первого порядка и дайте его интерпретацию. 3) Дайте прогноз уровня ряда на следующий календарный период времени (дату). 4) Сделайте выводы.

Построим по исходным данным корреляционное поле
Наблюдается четко выраженный тренд по снижению численности занятых, по виду линейный.
Будем искать уравнение линейного тренда в виде
Yt=a+b∙t
t – номер квартала
Параметры a и b уравнения тренда определяются методом наименьших квадратов; воспользуемся инструментом Анализ данных в Microsoft Excel.
В результате регрессионного анализа получаем следующие результаты

Коэффициент корреляции R говорит об очень высокой силе связи между переменными
Коэффициент детерминации R2 показывает, что изменение Yt – численности занятых на 99,83% объясняется влиянием времени t.
Выберем уровень значимости 5% (то есть выводы о модели будем делать с надежностью 95%).
Вероятность выполнения нулевой гипотезы о том, что уравнение в целом незначимо менее 5%:
С надежностью 95% линейное уравнение в целом значимо.
По найденным коэффициентам
записываем уравнение
Yt=241,4722-10,85∙t
Коэффициент b=-10,85 показывает, что в каждом следующем квартале t Численность занятых Yt будет ниже в среднем на 10,85 тыс. чел.
Вероятность выполнения нулевой гипотезы для коэффициента b при факторе t менее 5%:

следовательно, с надежностью 95% делаем вывод, что фактор t значим, то есть время оказывает влияние на зависимую переменную.
Средняя ошибка аппроксимации
А =19Yi-YiYi= 0,535%
говорит об очень высокой точности модели.
На графике сравнения фактических и предсказанных значений зависимой переменной Yt видно, что исходные очень точно описываются построенной моделью – расчетные точки почти совпали с точками фактических наблюдений.
Таким образом, построенная модель линейного тренда обладает очень высоким качеством и может использоваться для прогнозирования.
Однако, при проведении прогнозов по линейному уравнению с отрицательным коэффициентом, обозначающим постоянную скорость снижения зависимой переменной, особенно в долгосрочном периоде, можно получить отрицательное значение Yt. Так, используя полученное нами уравнение, уже при t = 23 Численность занятых Yt станет равной –8,08 тыс

. чел.
Поэтому линейное уравнение полученного нами тренда, хотя и обладает высоким качеством, не может быть признано наилучшим.
Альтернативой линейному тренду по исходным данным может служить экспоненциальный тренд
Yt=a∙eb∙t
который, в случае (предположительно) a>0 и b<0, не даст отрицательного значения Yt, так как при достаточно больших t будет происходить снижение Численности занятых Yt до значений, близких к 0.
Уравнение экспоненциального тренда является нелинейным как по переменным, так и по параметрам.
Чтобы оценить параметры нелинейного уравнения методом наименьших квадратов, необходимо провести линеаризацию, то есть путем преобразования уравнения и/или замены переменных привести его к линейному виду.
Прологарифмируем обе части уравнения экспоненциального тренда и по правилам работы с логарифмами получим
lnYt=lna+b∙t
Далее проводим замену переменных
Yt'=lnYt
и переобозначаем a'=lna
После замены уравнение примет вид
Yt'=a'+b∙t
При построении регрессии инструментом Анализ данных в Microsoft Excel, необходимо вычислить значения новой переменной Yt' и провести регрессионный анализ с этими новыми значениями:
В результате регрессионного анализа получаем следующие результаты
Индекс детерминации R2 = 99,88% экспоненциальной модели получился выше чем в линейной (99,83%).
Вероятность выполнения нулевой гипотезы о том, что уравнение в целом незначимо менее 5%, следовательно с надежностью 95% уравнение в целом значимо.
Коэффициенты линеаризованного уравнения
позволяют записать линеаризованное уравнение
Yt'=5,5132-0,0584∙t
а затем и исходное нелинейное уравнение путем возврата от логарифма к исходной переменной:
Yt=e5,5132∙e-0,0584∙t
Yt=247,9∙e-0,0584∙t
Коэффициент b=-0,0584 показывает, что в каждом следующем квартале t Численность занятых Yt будет ниже в среднем на 5,84%.
Вероятность выполнения нулевой гипотезы для коэффициента при факторе t менее 5%:

следовательно, с надежностью 95% делаем вывод, что коэффициент значим.
Для расчета средней ошибки аппроксимации вычислим значения зависимой переменной Yt – Численность занятых, подставляя в уравнение
Yt=247,9∙e-0,0584∙t
номера кварталов t:
Средняя ошибка аппроксимации
А =19Yi-YiYi= 0,459%
получилась ниже, чем по линейной модели.
На графике сравнение фактических и предсказанных значений зависимой переменной Y видно, что исходные данные очень точно описываются построенной моделью:
Таким образом, уравнение экспоненциального тренда получилось чуть более точным, чем уравнение линейного тренда, а также с точки зрения экономики более осмысленным.
2) Определим коэффициент автокорреляция первого порядка.
Если во временном ряде есть тенденция, то значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений