Исследовать сходимость рядов. n=2∞3n2n-1!;n=0∞n2n+1!;n=1∞ln3n3n; n=0∞2n21+n3 ;n=1∞n2+12 n2n;n=1∞3n2+4n.

Исследовать сходимость рядов. n=2∞3n2n-1!;n=0∞n2n+1!;n=1∞ln3n3n; n=0∞2n21+n3 ;n=1∞n2+12 n2n;n=1∞3n2+4n.

А) Применим признак Даламбера.
limn→∞un+1un=limn→∞3n+12n+1!3n2n-1!=limn→∞32n2n+1=0<1.
Согласно признаку Даламбера ряд сходится.
б) Применим признак Даламбера.
limn→∞un+1un=limn→∞n+12n+2!n2n+1!=limn→∞1n+2=0<1.
Согласно признаку Даламбера ряд сходится.
в) Применим интегральный признак сходимости . Найдем интеграл от общего члена ряда
1∞ln3xdx3x=16ln23x∞1
Интеграл расходится, значит, согласно интегральному признаку расходится
ряд.
г) Применим интегральный признак сходимости.
1∞2x2dx1+x3=23ln1+x3∞1
Интеграл расходится, значит, согласно интегральному признаку расходится
ряд.
д) Применим признак Коши.
limn→∞nun=limn→∞ n2+12n2=12<1.
Согласно признаку Коши ряд сходится.
е) Проверим соответствие ряда необходимому признаку сходимости.
limn→∞un=limn→∞3n2+4n=∞≠0.
Необходимый признак сходимости не выполняется, ряд расходится.

. Найдем интеграл от общего члена ряда
1∞ln3xdx3x=16ln23x∞1
Интеграл расходится, значит, согласно интегральному признаку расходится
ряд.
г) Применим интегральный признак сходимости.
1∞2x2dx1+x3=23ln1+x3∞1
Интеграл расходится, значит, согласно интегральному признаку расходится
ряд.
д) Применим признак Коши.
limn→∞nun=limn→∞ n2+12n2=12<1.
Согласно признаку Коши ряд сходится.
е) Проверим соответствие ряда необходимому признаку сходимости.
limn→∞un=limn→∞3n2+4n=∞≠0.
Необходимый признак сходимости не выполняется, ряд расходится.