Исследовать сходимость знакочередующихся рядов. n=1∞-1nn+23n+5n

Исследовать сходимость знакочередующихся рядов. n=1∞-1nn+23n+5n

Проверим выполнение условий теоремы Лейбница:
1)Каждый последующий член ряда должен быть по модулю меньше предыдущего, проверим:
-38>411>-514>…
Видим, что данное условие выполняется.
2)Общий член ряда должен стремиться к нулю, найдём предел:
limn→∞un=limn→∞n+23n+5n=0
Так как оба условия выполняются, делаем вывод, что ряд сходящийся.
Теперь рассмотрим ряд из абсолютных величин данного ряда, исследуем его на сходимость при помощи радикального признака Коши, получим:
limn→∞nun=limn→∞nn+23n+5n=limn→∞n+23n+5=13<1
Так как полученный предел меньше единицы, делаем вывод, что ряд из абсолютных величин сходится, значит, исходный ряд является абсолютно сходящимся.