Исследовать систему на совместность и найти решение или общее решение (в зависимости от того,

Исследовать систему на совместность и найти решение или общее решение (в зависимости от того, единственное решение или нет). Используя результат предыдущего пункта, найти общее решение соответствующей однородной системы и записать его в векторной форме

По условию дана обычная неоднородная система уравнений
Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
В матрице 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например, 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го

.
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
В матрице 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например, 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
rang(A) = rang(B) = 2. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
неизвестные x3,x4 – зависимые (базисные), а x1,x2 – свободные.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
- 8x4 = - 8
x3 - 3x4 = - 3 - x1 + 2x2
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x3,x4 через свободные x1,x2, то есть нашли общее решение:
x4 = 1
x3 = - x1 + 2x2
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений